河北省2022年中考数学总复习第二编专题突破篇专题10解直角三角形或相似的计算与实践精练试题

专题十　解直角三角形或相似的计算与实践一、选择题1．(2022重庆中考A卷)若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　A　)A．3∶2B．3∶5C．9∶4D．4∶92．(2022兰州中考)如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5m，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3m，小明身高EF＝1.6m，则凉亭的高度AB约为(　A　)A．8.5mB．9mC．9.5mD．10m3．(2022滨州中考)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为(　A　)A．2＋B．2C．3＋D．3(第3题图)　　(第4题图)4．(2022眉山中考)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则可求得井深为(　B　)A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺5．(2022通辽中考)志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费(　C　)A．540元B．1080元C．1620元D．1800元6．(2022绥化中考)如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为(　A　)A．2∶3B．3∶27\nC．4∶5D．4∶9(第6题图)　　　(第7题图)7．(2022湖州中考)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于(　A　)A．1B.C.D．28．(2022四市中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为(　B　)A．60海里B．60海里C．30海里D．30海里(第8题图)　　　(第9题图)9．(2022长沙中考)如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C，D重合)，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为(　B　)A.　　　　　　B.C.D．随H点位置的变化而变化二、填空题10．(2022宁波中考)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500m7\n则这名滑雪运动员的高度下降了__280__m．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)(第10题图)　　　(第11题图)11．(2022北京中考)如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝__3__．12．(2022广州中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝__17__．(第12题图)　　　(第13题图)13．(2022无锡中考)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__3__．14．(2022贵港中考)如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP′的值为____．三、解答题15．(2022宜宾中考)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B，C测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC长为100m．求河的宽度．(结果保留根号)7\n解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠β＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC.设AD＝DC＝xm，则tan30°＝＝，解得x＝50(＋1)．答：河的宽度为50(＋1)m.16．(2022眉山中考)如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交DC于G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求的值．解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°.∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE.在△BCG与△DCE中，∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴BG＝DE；(2)设CG＝1，∵G为CD的中点，∴GD＝CG＝1.由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG＝CE＝1，∴由勾股定理可知：DE＝BG＝.∵sin∠CDE＝＝，∴GF＝.∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴＝＝，7\n∴BH＝，GH＝，∴＝.17．(2022盐城中考)【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为________．(用含a，h的代数式表示)【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC＝，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．解：【探索发现】；【拓展应用】；【灵活应用】如答图①，延长BA，DE交于点F，延长BC，ED交于点G，延长AE，CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K.答图①由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，∴EH＝20，DH＝16，7\n∴AE＝EH，CD＝DH.在△AEF和△HED中，∵∴△AEF≌△HED(ASA)，∴AF＝DH＝16.同理△CDG≌△HDE，∴CG＝HE＝20，∴BI＝＝24.∵BI＝24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上．过点K作KL⊥BC于点L.由【探索发现】知矩形的最大面积为S△FBG＝××BG·BF＝×(40＋20)×(32＋16)＝720.答：该矩形的面积为720.【实际应用】如答图②，延长BA，CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H.答图②∵tanB＝tanC＝，∴∠B＝∠C，∴EB＝EC.∵BC＝108cm，且EH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝54cm.∵tanB＝＝，∴EH＝BH＝×54＝72cm，在Rt△BHE中，BE＝＝90cm，∵AB＝50cm，∴AE＝40cm，7\n∴＝＝45cm，∴BE的中点Q在线段AB上．∵CD＝60cm，∴ED＝30cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB，CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC·EH＝×108×72＝1944cm2.7