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2019-2020学年上海市杨浦区高考数学一模试卷
2019-2020学年上海市杨浦区高考数学一模试卷
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上海市杨浦区高考数学一模试卷 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)计算的结果是 .2.(4分)已知集合A={1,2,m},B={3,4},若A∩B={3},则实数m= .3.(4分)已知,则= .4.(4分)若行列式,则x= .5.(4分)已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则x+y= .6.(4分)在的二项展开式中,常数项等于 .7.(5分)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是 .8.(5分)数列{an}的前n项和为Sn,若点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上,则an= .9.(5分)在△ABC中,若sinA、sinB、sinC成等比数列,则角B的最大值为 .10.(5分)抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 .11.(5分)已知函数,x∈R,设a>0,若函数g(x)=f(x+α)为奇函数,则α的值为 .12.(5分)已知点C、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若,则实数λ的取值范围为 . 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)第15页共15页,13.(5分)在复平面内,复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.(5分)给出下列函数:①y=log2x;②y=x2;③y=2|x|;④y=arcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是( )A.①②B.②③C.①③D.②④15.(5分)“t≥0”是“函数f(x)=x2+tx﹣t在(﹣∞,+∞)内存在零点”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5分)设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足•=0,•=0,•=0,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积,则S1+S2+S3的最大值是( )A.B.2C.4D.8 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17.(14分)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域;(2)怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?第15页共15页,18.(14分)如图,已知圆锥的侧面积为15π,底面半径OA和OB互相垂直,且OA=3,P是母线BS的中点.(1)求圆锥的体积;(2)求异面直线SO与PA所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)19.(14分)已知函数的定义域为集合A,集合B=(a,a+1),且B⊆A.(1)求实数a的取值范围;(2)求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数.20.(16分)设直线l与抛物线Ω:y2=4x相交于不同两点A、B,O为坐标原点.(1)求抛物线Ω的焦点到准线的距离;(2)若直线l又与圆C:(x﹣5)2+y2=16相切于点M,且M为线段AB的中点,求直线l的方程;(3)若,点Q在线段AB上,满足OQ⊥AB,求点Q的轨迹方程.21.(18分)若数列A:a1,a2,…,an(n≥3)中(1≤i≤n)且对任意的2≤k≤n﹣1,ak+1+ak﹣1>2ak恒成立,则称数列A为“U﹣数列”.(1)若数列1,x,y,7为“U﹣数列”,写出所有可能的x、y;(2)若“U﹣数列”A:a1,a2,…,an中,a1=1,an=2017,求n的最大值;(3)设n0为给定的偶数,对所有可能的“U﹣数列”A:a1,a2,…,,记,其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数,求M的最小值. 第15页共15页,2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)计算的结果是 1 .【解答】解:当n→+∞,→0,∴=1,故答案为:1. 2.(4分)已知集合A={1,2,m},B={3,4},若A∩B={3},则实数m= 3 .【解答】解:∵集合A={1,2,m},B={3,4},A∩B={3},∴实数m=3.故答案为:3. 3.(4分)已知,则= ﹣ .【解答】解:∵,∴=.故答案为:﹣. 4.(4分)若行列式,则x= 2 .【解答】解:∵,∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1∴x=2故答案为:2第15页共15页, 5.(4分)已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则x+y= 6 .【解答】解:∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式,解得x=4,y=2,∴x+y=6.故答案为:6. 6.(4分)在的二项展开式中,常数项等于 ﹣160 .【解答】解:展开式的通项为Tr+1=x6﹣r(﹣)r=(﹣2)rx6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3常数项为(﹣2)3=﹣160故答案为:﹣160 7.(5分)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是 .【解答】解:基本事件共6×6个,点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个,故P==.故答案为:. 8.(5分)数列{an}的前n项和为Sn,若点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上,则an= 2n﹣1 .第15页共15页,【解答】解:由题意得n=log2(Sn+1)⇒sn=2n﹣1.n≥2时,an=sn﹣sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1,当n=1时,a1=s1=21﹣1=1也适合上式,∴数列{an}的通项公式为an=2n﹣1;故答案为:2n﹣1 9.(5分)在△ABC中,若sinA、sinB、sinC成等比数列,则角B的最大值为 .【解答】解:∵在△ABC中,sinA、sinB、sinC依次成等比数列,∴sin2B=sinAsinC,利用正弦定理化简得:b2=ac,由余弦定理得:cosB==≥=(当且仅当a=c时取等号),则B的范围为(0,],即角B的最大值为.故答案为:. 10.(5分)抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 .【解答】解:∵抛物线y2=﹣8x的焦点F(﹣2,0)与双曲线﹣y2=1的左焦点重合,∴a2+1=4,解得a=,∴双曲线的渐近线方程为y=,∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为,故答案为:.第15页共15页, 11.(5分)已知函数,x∈R,设a>0,若函数g(x)=f(x+α)为奇函数,则α的值为 .【解答】解:函数,=,=s,函数g(x)=f(x+α)=为奇函数,则:(k∈Z),解得:,故答案为: 12.(5分)已知点C、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若,则实数λ的取值范围为 .【解答】解:假设CD的斜率存在时,设过点M(0,2)得直线方程为y=kx+2,联立方程,整理可得(1+4k2)x2+16kx+12=0,设C(x1,y1),N(x2,y2),则△=(16k)2﹣4×(1+4k2)×12≥0,整理得k2≥,x1+x2=﹣,x1x2=,(*)由,可得,x1=λx2代入到(*)式整理可得==,由k2≥,可得4≤≤,解可得<λ<3且λ≠1,当M和N点重合时,λ=1,当斜率不存在时,则D(0,1),C(0,﹣1),或D(0,1),C(0,﹣1),则λ=第15页共15页,或λ=3∴实数λ的取值范围.故答案为:. 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)在复平面内,复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:∵=,∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2),位于第三象限.故选:C. 14.(5分)给出下列函数:①y=log2x;②y=x2;③y=2|x|;④y=arcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是( )A.①②B.②③C.①③D.②④【解答】解:①y=log2x的定义域为(0,+∞),定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数;②y=x2;是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.③y=2|x|是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.④y=arcsinx是奇函数,图象关于y轴不对称,不满足条件,故选:B. 15.(5分)“t≥0”是“函数f(x)=x2+tx﹣t在(﹣∞,+∞)内存在零点”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【解答】解:t≥0⇒△=t2+4t≥0⇒函数f(x)=x2+tx﹣t在(﹣∞,+∞)内存在零点,函数f(x)=x2+tx﹣t在(﹣∞,+∞)内存在零点⇒△=t2+4t≥0⇒t≥0或t≤第15页共15页,﹣4.∴“t≥0”是“函数f(x)=x2+tx﹣t在(﹣∞,+∞)内存在零点”的充分非必要条件.故选:A. 16.(5分)设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足•=0,•=0,•=0,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积,则S1+S2+S3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【解答】解:设AB=a,AC=b,AD=c,因为AB,AC,AD两两互相垂直,扩展为长方体,它的对角线为球的直径,所以a2+b2+c2=4R2=4所以S△ABC+S△ACD+S△ADB=(ab+ac+bc)≤(a2+b2+c2)=2即最大值为:2故选:B. 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17.(14分)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域;(2)怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?第15页共15页,【解答】解:(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,它的面积y=x(l﹣3x);由x>0,且l﹣3x>0,可得函数的定义域为(0,l);(2)y=x(l﹣3x)=×3x(1﹣3x)≤×()2=,当x=时,这块长方形场地的面积最大,这时的长为l﹣3x=l,最大面积为. 18.(14分)如图,已知圆锥的侧面积为15π,底面半径OA和OB互相垂直,且OA=3,P是母线BS的中点.(1)求圆锥的体积;(2)求异面直线SO与PA所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)【解答】(本题满分(14分),第1小题满分(7分),第2小题满分7分)解:(1)由题意,π•OA•SB=15π,解得BS=5,…(2分)故…(4分)从而体积.…(7分)(2)如图,取OB中点H,连结PH、AH.由P是SB的中点知PH∥SO,则∠APH(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角.…(10分)第15页共15页,∵SO⊥平面OAB,∴PH⊥平面OAB,∴PH⊥AH.在△OAH中,由OA⊥OB,得,…(11分)在Rt△APH中,∠AHP=90O,,…(12分)则,∴异面直线SO与PA所成角的大小.…(14分) 19.(14分)已知函数的定义域为集合A,集合B=(a,a+1),且B⊆A.(1)求实数a的取值范围;(2)求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数.【解答】解:(1)令,解得﹣1<x<1,所以A=(﹣1,1),因为B⊆A,所以,解得﹣1≤a≤0,即实数a的取值范围是[﹣1,0];(2)证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1),定义域关于原点对称,f(﹣x)=ln=ln()﹣1=﹣ln=﹣f(x),而,,所以,所以函数f(x)是奇函数但不是偶函数. 20.(16分)设直线l与抛物线Ω:y2第15页共15页,=4x相交于不同两点A、B,O为坐标原点.(1)求抛物线Ω的焦点到准线的距离;(2)若直线l又与圆C:(x﹣5)2+y2=16相切于点M,且M为线段AB的中点,求直线l的方程;(3)若,点Q在线段AB上,满足OQ⊥AB,求点Q的轨迹方程.【解答】解:(1)根据题意,抛物线Ω的方程为y2=4x,则p=2,故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2;(2)设直线l:x=my+b当m=0时,x=1和x=9符合题意;当m≠0时,A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足方程组,所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2.△=16(m2+b)>0,y1+y2=4m,所以,所以线段AB的中点M(2m2+b,2m)因为kAB•kCM=﹣1,,所以,得b=3﹣2m2所以△=16(m2+b)=16(3﹣m2)>0,得0<m2<3因为,所以m2=3(舍去)综上所述,直线l的方程为:x=1,x=9(3)设直线AB:x=my+b,A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足方程组,所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2△=16(m2+b)>0,y1+y2=4m,y1y2=﹣4b第15页共15页,所以,得b=0或b=4b=0时,直线AB过原点,所以Q(0,0);b=4时,直线AB过定点P(4,0)设Q(x,y),因为OQ⊥AB,所以(x≠0),综上,点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0 21.(18分)若数列A:a1,a2,…,an(n≥3)中(1≤i≤n)且对任意的2≤k≤n﹣1,ak+1+ak﹣1>2ak恒成立,则称数列A为“U﹣数列”.(1)若数列1,x,y,7为“U﹣数列”,写出所有可能的x、y;(2)若“U﹣数列”A:a1,a2,…,an中,a1=1,an=2017,求n的最大值;(3)设n0为给定的偶数,对所有可能的“U﹣数列”A:a1,a2,…,,记,其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数,求M的最小值.【解答】解:(1)x=1时,,所以y=2或3;x=2时,,所以y=4;x≥3时,,无整数解;所以所有可能的x,y为,或.(2)n的最大值为65,理由如下:一方面,注意到:ak+1+ak﹣1>2ak⇔ak+1﹣ak>ak﹣ak﹣1.对任意的1≤i≤n﹣1,令bi=ai+1﹣ai,则bi∈Z且bk>bk﹣1(2≤k≤n﹣1),故bk≥bk﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立.(*)第15页共15页,当a1=1,an=2017时,注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0,得(2≤i≤n﹣1)即bi≥i﹣1,此时an﹣a1=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)=bn﹣1+bn﹣2+…+b1≥0+1+2+…+(n﹣2)=,(**)即,解得:﹣62≤n≤65,故n≤65.另一方面,为使(**)取到等号,所以取bi=i﹣1(1≤i≤64),则对任意的2≤k≤64,bk>bk﹣1,故数列{an}为“U﹣数列”,此时由(**)式得,所以a65=2017,即n=65符合题意.综上,n的最大值为65.(3)M的最小值为,证明如下:当n0=2m(m≥2,m∈N*)时,一方面:由(*)式,bk+1﹣bk≥1,bm+k﹣bk=(bm+k﹣bm+k﹣1)+(bm+k﹣1﹣bm+k﹣2)+…+(bk+1﹣bk)≥m.此时有:(a1+a2m)﹣(am+am+1)=(a2m﹣am+1)﹣(am﹣a1)=(bm+1+bm+2+…+b2m﹣1)﹣(b1+b2+…+bm﹣1)=(bm+1﹣b1)+(bm+2﹣b2)+…+(b2m+1﹣bm﹣1)≥m+m+…+m=m(m﹣1).即(a1+a2m)≥(am+am+1)+m(m﹣1)故因为,所以,另一方面,当b1=1﹣m,b2=2﹣m,…,bm﹣1=﹣1,bm=0,bm+1=1,b2m﹣1第15页共15页,=m﹣1时,ak+1+ak﹣1﹣2ak=(ak+1﹣ak)﹣(ak﹣ak﹣1)=bk﹣bk﹣1=1>0取am=1,则am+1=1,a1>a2>a3>…>am,am+1<am+2<…<a2m,且此时.综上,M的最小值为. 第15页共15页
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