上海市杨浦区2022中考数学一模试卷

上海市杨浦区2022中考数学一模（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像向下平移2个单位，下列结论中，正确的是（A）开口方向不变；（B）顶点不变；（C）与x轴的交点不变；（D）与y轴的交点不变．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果，AC=1，那么AB等于（A）；（B）；（C）；（D）．3．已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（A）；（B）；（C）；（D）．4．已知点是线段上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（A）；（B）；（C）；（D）．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点O的直线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是（A）；（B）；（C）；（D）．6．如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE=∠C，下列结论中，错误的是D第6题图AEFGCB第5题图FEODCBA（A）；（B）；（C）；（D）.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知，那么▲．8．▲．89．已知抛物线，它与y轴的交点坐标为▲．10．二次函数图像上的最低点的纵坐标为▲．11．已知的长度为2，的长度为4，且和方向相反，用向量表示向量=▲．12．如果两个相似三角形对应边之比是4∶9，那么它们的周长之比等于▲．13．已知在△ABC中，AB=10，BC=16，∠B=60°，那么▲．14．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点G是△ABC的重心，那么点G到斜边AB的距离是▲．第18题图CBAabc第17题图CBACA30°B60°第16题图15．在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为▲米．16．如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于▲海里．17．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为▲．18．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，联结BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么的值为▲.ABCDE第19题图）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）如图，已知在中，点D、E分别在边AB、AC上，，且．（1）如果，求AE的长；（2）设，，试用、的线性组合表示向量.20．（本题满分10分，每小题各5分）已知二次函数.（1）用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；8（2）如果将该函数图像沿轴向下平移5个单位，所得新抛物线与轴正半轴交于点A，与轴交于点B，顶点为C，求△ABC的面积．21．（本题满分10分，每小题各5分）第21题图ADBEC如图，已知在中，CD⊥AB，垂足为点D，AD=2，BD=6，tan∠B=，点E是边BC的中点.（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值.22．（本题满分10分）CABED第22题图如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡顶D到BC的距离DE=20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）FADBCE第23题图23．（本题满分12分，每小题各6分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，AE∥CD，DE∥AB，过点C作CF//AD，交线段AE于点F，联结BF.（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如果射线BF经过点D，求证：.24．（本题满分12分，每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP、BC，AP与线段BC相交于点F．Oxy123412345-1-2-3-1-2-3第24题图（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；（3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF=PH，求线段PH的长度．825.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，点D为射线AB上一动点，且BD<ad，点b关于直线cd的对称点为点e，射线ae与射线cd交于点f.（1）当点d在边ab上时，①求证：∠afc=45°；②延长af与边cb的延长线相交于点g，如果△ebg与△bdc相似，求线段bd的长；第25题图abcedf（2）联结ce、be，如果，求的值.备用图abc2021学年第一学期初三数学期末质量检测答案2022.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．a；2.d；3.c；4.c；5.b；6.d.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．；8．0；9．；10．－4；11．；12．4∶9；13．14；14．；15．15；16．；17．3；18．.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：∵de bc="">0，∴开口向上；对称轴：直线x=1；顶点（1，3）.（3分）（2）∵函数图像沿轴向下平移5个单位后解析式是：.（1分）∴新抛物线与轴正半轴交于点A（2，0），与轴交于点B（0，0），顶点为C（1，-2）．（3分）8∴△ABC的面积=.（1分）21．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°.∴在Rt△BDC中，.（1分）又∵BD=6，.∴.∴CD=4.（2分）在Rt△ACD中，，∴.（2分）（2）过E作EF⊥AB，垂足为点F.∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴EF//CD.又∵点E是边BC的中点，∴点F是BD的中点.（1分）∴.（1分）∴.（1分）∴AF=AD+DF=.在Rt△AEF中，，∴.（1分）.（1分）22．解：在Rt△CDE中，斜坡CD的坡度i＝=1：3，∴.（1分）∵DE=20米，∴CE=60米.（1分）又∵BC=100米，∴BE=40米.（1分）过D作DH⊥AB，垂足为点H.（1分）∴DH=EB=40米；BH=DE=20米.（1分）在Rt△ADH中，，（1分）∴.（1分）∴AB=AH+BH=47.6+20=67.6≈68.（2分）答：建筑物AB的高度约为68米.（1分）23．证明：（1）∵AE//CD，∴∠AEB=∠BCD.（1分）∵∠ABC=∠BCD，∴∠ABC=∠AEB.∴AB=AE.（1分）同理DE=DC.∵AE//CD，CF//AD，∴.四边形AFCD是平行四边形.（1分）∴AF=DC.∴AF=DE.（1分）∵DE//AB，∴∠BAF=∠AED.（1分）∴△ABF≌△EAD.（1分）8（2）∵△ABF≌△EAD，∴∠ABF=∠DAE，BF=AD.（2分）又∵∠ADF=∠BDA，∴△DAF∽△DBA.（1分）∴.（1分）又∵BF=AD，∴.∵AE//CD，∴.（1分）∴.∴.（1分）24.解：（1）∵抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点C∴（2分）∴（1分）∴.（1分）（2）∵抛物线的对称轴与BC交于点E，∵EA=EB，∴∠EAB=∠EBA.在Rt△BOC中，，∴.（1分）∵点F与点E重合，∴∠EAB=∠PAB.∵点P在抛物线上，∴设点P.（1分）∴PG=，则AG=m+1.在Rt△PAG中，，∴.（1分）解得．∴点P的坐标是（3，2）.（1分）（3）设直线AP与y轴相交于点Q.∵CQ//PH，∴.∵PF=PH，∴CQ=FQ.∴∠FCQ=∠CFQ.∵与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∴.∴.∴∠ACB=90°.∴∠ACQ+∠FCQ=90°，∠CAQ+∠CFQ=90°，∴∠ACQ=∠CAQ.∴CQ=AQ.∴FQ=AQ.（1分）过F作FK⊥x轴，垂足为点K.8∵CQ//FK，∴.∴OA=OK=1.∴.在Rt△AEK中，.（1分）∵FK//PG，∴∠AFK=∠APG.在Rt△PAG中，，∴.解得．∴点P的坐标是.（1分）∵PG⊥x轴，∴点H的坐标是.∴.（1分）25．解：（1）联结CE、BE.∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴CF垂直平分BE.（1分）∴EC=BC.∴∠ECF=∠BCF.（1分）设∠ECF=∠BCF=α，∵∠ACB=90°，∴∠ACE=90°-2α.∵AC=BC，∴AC=EC.∴∠CAE=∠CEA=.（1分）∵∠CEA=∠ECF+∠AFC，∴∠AFC=∠CEA-∠ECF=45°+α-α=45°.（1分）（2）∵∠ECF=∠BCF=α，∴∠CEB=90°-α.∵∠AEB=∠AEC+∠CEB，∴∠AEB=（45°+α）+（90°-α）=135°.∴∠BEG=45°在Rt△ABC中，∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC.∵∠ACB=90°∴∠BAC=∠ABC=45°.∴∠BEG=∠ABC=45°（1分）∵∠EBG>∠BCD，∴当△EBG与△BDC相似时，只有∠BGE=∠BCD.（1分）∵∠AFC=∠BCD+∠BGE=45°，∴∠BCD=∠BGE=22.5°.∴∠ACD=90°-∠BCD=67.5°.又∵∠ADC=∠BCD+∠ABC=67.5°，∴∠ACD=∠ADC=67.5°.（1分）∴AD=AC=5.∴.（1分）（3）i）当点D在边AB上时，过E作.8在△ACE中，.又∵，∴.（1分）在Rt△CEH中，，∴.（1分）∴.在Rt△AEH中，，∴.在Rt△BEK中，，∴.在Rt△BEF中，，∴.∴.（2分）ii）当点D在边AB的延长线上时，同理可得.（2分）*请在题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效8</ad，点b关于直线cd的对称点为点e，射线ae与射线cd交于点f.（1）当点d在边ab上时，①求证：∠afc=45°；②延长af与边cb的延长线相交于点g，如果△ebg与△bdc相似，求线段bd的长；第25题图abcedf（2）联结ce、be，如果，求的值.备用图abc2021学年第一学期初三数学期末质量检测答案2022.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．a；2.d；3.c；4.c；5.b；6.d.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．；8．0；9．；10．－4；11．；12．4∶9；13．14；14．；15．15；16．；17．3；18．.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：∵de>