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2019-2020学年上海市崇明区高考数学一模试卷
2019-2020学年上海市崇明区高考数学一模试卷
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上海市崇明区高考数学一模试卷 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分)1.(4分)已知集合A={1,2,5},B={2,a},若A∪B={1,2,3,5},则a= .2.(4分)抛物线y2=4x的焦点坐标为 .3.(4分)不等式<0的解是 .4.(4分)若复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),则z= .5.(4分)在代数式(x﹣)7的展开式中,一次项的系数是 .(用数字作答)6.(4分)若函数y=2sin(ωx﹣)+1(ω>0)的最小正周期是π,则ω= .7.(5分)若函数f(x)=xa的反函数的图象经过点(,),则a= .8.(5分)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为27πcm3,则该几何体的侧面积为 cm2.9.(5分)已知函数y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=2x﹣ax,且f(2)=2,则a= .10.(5分)若无穷等比数列{an}的各项和为Sn,首项a1=1,公比为a﹣,且Sn=a,则a= .11.(5分)从5男3女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人志愿者服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答)12.(5分)在ABC中,BC边上的中垂线分别交BC,AC于点D,E.若•=6,||=2,则AC= . 第17页共17页,二、选择题(本大题共有4题,满分20分)13.(5分)展开式为ad﹣bc的行列式是( )A.B.C.D.14.(5分)设a,b∈R,若a>b,则( )A.<B.lga>lgbC.sina>sinbD.2a>2b15.(5分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.(5分)直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A,B两点,设P为双曲线上任一点,若=a+b(a,b∈R,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )A.a2+b2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a﹣b|≥2 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)17.(14分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,A1C与底面ABCD所成的角为60°,(1)求四棱锥A1﹣ABCD的体积;(2)求异面直线A1B与B1D1所成角的大小.18.(14分)已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1.第17页共17页,(1)求f(x)的最大值及该函数取得最大值时x的值;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若a=,b=,且f()=,求边c的值.19.(14分)2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从2017年起,在今后的若干年内,每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的基础上增长50%.记2016年为第1年,f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注:含第n年,累计利润=累计净收入﹣累计投入,单位:千万元),且当f(n)为正值时,认为该项目赢利.(1)试求f(n)的表达式;(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.20.(16分)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:+y2=1(a>0,a≠1)的两个焦点分别是F1,F2,直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆交于A,B两点.(1)若M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,求a的值;(2)若k=1,且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,求a与m满足的关系;(3)若a=2,且kOA•kOB=﹣,求证:△OAB的面积为定值.21.(18分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”.(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,求常数k的最小值;(2)判断函数f(x)=log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由;(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1.第17页共17页, 第17页共17页,上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分)1.(4分)已知集合A={1,2,5},B={2,a},若A∪B={1,2,3,5},则a= 3 .【解答】解:∵集合A={1,2,5},B={2,a},A∪B={1,2,3,5},∴a=3.故答案为:3. 2.(4分)抛物线y2=4x的焦点坐标为 (1,0) .【解答】解:∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程,p=2∴焦点坐标为:(1,0)故答案为:(1,0) 3.(4分)不等式<0的解是 (﹣1,0) .【解答】解:不等式<0,即x(x+1)<0,求得﹣1<x<0,故答案为:(﹣1,0). 4.(4分)若复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),则z= 1﹣i .【解答】解:由iz=1+i,得z==1﹣i故答案为:1﹣i. 5.(4分)在代数式(x﹣)7的展开式中,一次项的系数是 21 第17页共17页,.(用数字作答)【解答】解:(x﹣)7的展开式的通项为=,由7﹣3r=1,得r=2,∴一次项的系数是.故答案为:21. 6.(4分)若函数y=2sin(ωx﹣)+1(ω>0)的最小正周期是π,则ω= 2 .【解答】解:根据正弦函数的图象与性质,知函数y=2sin(ωx﹣)+1(ω>0)的最小正周期是T==π,解得ω=2.故答案为:2. 7.(5分)若函数f(x)=xa的反函数的图象经过点(,),则a= .【解答】解:若函数f(x)=xa的反函数的图象经过点(,),则:(,)满足f(x)=xα,所以:,解得:,故答案为:. 8.(5分)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为27πcm3,则该几何体的侧面积为 18π cm2.【解答】解:将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体是圆柱体,第17页共17页,设正方形的边长为acm,则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π,解得a=3cm;∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2.故答案为:18π. 9.(5分)已知函数y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=2x﹣ax,且f(2)=2,则a= ﹣ .【解答】解:∵函数y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=2x﹣ax,∴x>0时,﹣f(x)=2﹣x﹣a(﹣x),∴f(x)=﹣2﹣x﹣ax,∵f(2)=2,∴f(2)=﹣2﹣2﹣2a=2,解得a=﹣.故答案为:﹣. 10.(5分)若无穷等比数列{an}的各项和为Sn,首项a1=1,公比为a﹣,且Sn=a,则a= 2 .【解答】解:无穷等比数列{an}的各项和为Sn,首项a1=1,公比为a﹣,且Sn=a,可得=a,即有=a,即为2a2﹣5a+2=0,解得a=2或,由题意可得0<|q|<1,第17页共17页,即有0<|a﹣|<1,检验a=2成立;a=不成立.故答案为:2. 11.(5分)从5男3女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人志愿者服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 780 种不同的选法.(用数字作答)【解答】解:根据题意,要求服务队中至少有1名女生,则分3种情况讨论:①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生,有C53C31=30种选法,这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,其余2人为普通队员,有1种情况,此时有30×12=360种不同的选法,②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生,有C52C32=30种选法,这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,其余2人为普通队员,有1种情况,此时有30×12=360种不同的选法,③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生,有C51C33=5种选法,这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,其余2人为普通队员,有1种情况,此时有5×12=60种不同的选法,则一共有360+360+60=780;故答案为:780. 12.(5分)在ABC中,BC边上的中垂线分别交BC,AC于点D,E.若•=6,||=2,则AC= 4 .【解答】解:建立平面直角坐标系如图所示,设B(﹣a,0),C(a,0),E(0,b),∠ABC=α,由||=2,知A(﹣a+2cosα,2sinα),∴=(a﹣2cosα,b﹣2sinα),=(2a,0),第17页共17页,∴•=2a(a﹣2cosα)+0=2a2﹣4acosα=6,∴a2﹣2acosα=3;又=(2a﹣2cosα,﹣2sinα),∴=(2a﹣2cosα)2+(﹣2sinα)2=4a2﹣8acosα+4=4(a2﹣2acosα)+4=4×3+4=16,∴||=4,即AC=4.故答案为:4. 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)13.(5分)展开式为ad﹣bc的行列式是( )A.B.C.D.【解答】解:根据叫做二阶行列式,它的算法是:ad﹣bc,由题意得,=ad﹣bc.故选B. 14.(5分)设a,b∈R,若a>b,则( )第17页共17页,A.<B.lga>lgbC.sina>sinbD.2a>2b【解答】解:由a>b,利用指数函数的单调性可得:2a>2b.再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A,B,C不正确.故选:D. 15.(5分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:∵S4+S6>2S5,∴4a1+6d+6a1+15d>2(5a1+10d),∴21d>20d,∴d>0,故“d>0”是“S4+S6>2S5”充分必要条件,故选:C 16.(5分)直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A,B两点,设P为双曲线上任一点,若=a+b(a,b∈R,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )A.a2+b2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a﹣b|≥2【解答】解:双曲线﹣y2=1的渐近线为:y=±x.把x=2代入上述方程可得:y=±1.不妨取A(2,1),B(2,﹣1).=a+b=(2a+2b,a﹣b).代入双曲线方程可得:﹣(a﹣b)2=1,第17页共17页,化为ab=.∴=ab,化为:|a+b|≥1.故选:C. 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)17.(14分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,A1C与底面ABCD所成的角为60°,(1)求四棱锥A1﹣ABCD的体积;(2)求异面直线A1B与B1D1所成角的大小.【解答】解:(1)∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,∴AA1⊥平面ABCD,AC==2,∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角,∵A1C与底面ABCD所成的角为60°,∴∠A1CA=60°,∴AA1=AC•tan60°=2•=2,∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4,∴四棱锥A1﹣ABCD的体积:V===.(2)∵BD∥B1D1,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角(或所成角的补角).∵BD=,A1D=A1B==2,第17页共17页,∴cos∠A1BD===.∴∠A1BD=arccos.∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos. 18.(14分)已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1.(1)求f(x)的最大值及该函数取得最大值时x的值;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若a=,b=,且f()=,求边c的值.【解答】解:f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin(2x+)(1)当2x+=时,即x=(k∈Z),f(x)取得最大值为2;(2)由f()=,即2sin(A+)=可得sin(A+)=∵0<A<π∴<A<∴A=或∴A=或当A=时,cosA==∵a=,b=,第17页共17页,解得:c=4当A=时,cosA==0∵a=,b=,解得:c=2. 19.(14分)2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从2017年起,在今后的若干年内,每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的基础上增长50%.记2016年为第1年,f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注:含第n年,累计利润=累计净收入﹣累计投入,单位:千万元),且当f(n)为正值时,认为该项目赢利.(1)试求f(n)的表达式;(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.【解答】解:(1)由题意知,第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8+2(n﹣1)=2n+6(千万元),第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为+×+×+…+×=(千万元).∴f(n)=﹣(2n+6)=﹣2n﹣7(千万元).(2)方法一:∵f(n+1)﹣f(n)=[﹣2(n+1)﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4],∴当n≤3时,f(n+1)﹣f(n)<0,故当n≤4时,f(n)递减;当n≥4时,f(n+1)﹣f(n)>0,故当n≥4时,f(n)递增.又f(1)=﹣<0,f(7)=≈5×﹣21=﹣<0,f(8)=﹣23第17页共17页,≈25﹣23=2>0.∴该项目将从第8年开始并持续赢利.答:该项目将从2023年开始并持续赢利;方法二:设f(x)=﹣2x﹣7(x≥1),则f′(x)=,令f'(x)=0,得=≈=5,∴x≈4.从而当x∈[1,4)时,f'(x)<0,f(x)递减;当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增.又f(1)=﹣<0,f(7)=≈5×﹣21=﹣<0,f(8)=﹣23≈25﹣23=2>0.∴该项目将从第8年开始并持续赢利.答:该项目将从2023年开始并持续赢利. 20.(16分)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:+y2=1(a>0,a≠1)的两个焦点分别是F1,F2,直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆交于A,B两点.(1)若M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,求a的值;(2)若k=1,且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,求a与m满足的关系;(3)若a=2,且kOA•kOB=﹣,求证:△OAB的面积为定值.【解答】解:(1)∵M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,∴△MF1F2为等腰直角三角形,∴OF1=OM,当a>1时,=1,解得a=,当0<a<1时,=a,解得a=,(2)当k=1时,y=x+m,设A(x1,y1),(x2,y2),由,即(1+a2)x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0,第17页共17页,∴x1+x2=﹣,x1x2=,∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=,∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,∴•=0,∴x1x2+y1y2=0,∴+=0,∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2(a2+1)=2a2,(3)证明:当a=2时,x2+4y2=4,设A(x1,y1),(x2,y2),∵kOA•kOB=﹣,∴•=﹣,∴x1x2=﹣4y1y2,由,整理得,(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.∴x1+x2=,x1x2=,∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=++m2=,∴=﹣4×,∴2m2﹣4k2=1,第17页共17页,∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==,∴S△OAB=|AB|d==•==1 21.(18分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”.(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,求常数k的最小值;(2)判断函数f(x)=log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由;(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1.【解答】解:(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,则对于定义域[1,4]上任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成立,不妨设x1>x2,则k≥=恒成立.∵1≤x2<x1≤4,∴<<,第17页共17页,∴k的最小值为.(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+∞),令x1=,x2=,则f()﹣f()=log2﹣log2=﹣1﹣(﹣2)=1,而2|x1﹣x2|=,∴f(x1)﹣f(x2)>2|x1﹣x2|,∴函数f(x)=log2x不是“2﹣利普希兹条件函数”.证明:(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期[0,2]内f(a)=M,f(b)=m,则|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b)≤|a﹣b|.若|a﹣b|≤1,显然有|f(x1)﹣f(x2)|≤|a﹣b|≤1.若|a﹣b|>1,不妨设a>b,则0<b+2﹣a<1,∴|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b+2)≤|a﹣b﹣2|<1.综上,|f(x1)﹣f(x2)|≤1. 第17页共17页
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