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2019-2020学年上海市浦东新区高考数学一模试卷
2019-2020学年上海市浦东新区高考数学一模试卷
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上海市浦东新区高考数学一模试卷 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7},则A∩B= .2.(4分)不等式<1的解集为 .3.(4分)已知函数f(x)=2x﹣1的反函数是f﹣1(x),则f﹣1(5)= .4.(4分)已知向量,,则向量在向量的方向上的投影为 .5.(4分)已知i是虚数单位,复数z满足,则|z|= .6.(4分)在(2x+1)5的二项展开式中,x3的系数是 .7.(5分)某企业生产的12个产品中有10个一等品,2个二等品,现从中抽取4个产品,其中恰好有1个二等品的概率为 .8.(5分)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上增函数,若f(a+1)≤f(4),则实数a的取值范围是 .9.(5分)已知等比数列前n项和为Sn,则使得Sn>2018的n的最小值为 .10.(5分)圆锥的底面半径为3,其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则此圆锥的表面积为 .11.(5分)已知函数f(x)=sinωx(ω>0),将f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象,令h(x)=f(x)+g(x),如果存在实数m,使得对任意的实数x,都有h(m)≤h(x)≤h(m+1)成立,则ω的最小值为 .12.(5分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M、N是双曲线上的两个动点,动点P满足,直线OM与直线ON斜率之积为2,已知平面内存在两定点F1、F2,使得||PF1|﹣|PF2||为定值,则该定值为 . 第18页共18页,二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)若实数x,y∈R,则命题甲“”是命题乙“”的( )条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要14.(5分)已知△ABC中,,AB=AC=1,点P是AB边上的动点,点Q是AC边上的动点,则的最小值为( )A.﹣4B.﹣2C.﹣1D.015.(5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:°C)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0°C的保鲜时间是192小时,在22°C的保鲜时间是48小时,则该食品在33°C的保鲜时间是( )小时.A.22B.23C.24D.3316.(5分)关于x的方程x2+arcsin(cosx)+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3,则x12+x22+x32=( )A.1B.2C.D.2π2 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17.(14分)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1.(1)求异面直线BC1与CD1所成的角;(2)求三棱锥B﹣D1AC的体积.18.(14分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,,且.第18页共18页,(1)求C;(2)若c2=7b2,且,求b的值.19.(14分)已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和(n∈N*,p∈R).(1)求p的值及{an}的通项公式;(2)在等比数列{bn}中,b2=a1,b3=a2+4,令(k∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn.20.(16分)已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,设点A(0,b),在△AF1F2中,,周长为.(1)求椭圆Γ的方程;(2)设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点,若直线AB与AC的斜率之和为﹣1,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标;(3)记第(2)问所求的定点为E,点P为椭圆Γ上的一个动点,试根据△AEP面积S的不同取值范围,讨论△AEP存在的个数,并说明理由.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为D,值域为f(D),即f(D)={y|y=f(x),x∈D},若f(D)⊆D,则称f(x)在D上封闭.(1)分别判断函数f(x)=2017x+log2017x,在(0,1)上是否封闭,说明理由;(2)函数的定义域为D=[a,b],且存在反函数y=f﹣1(x),若函数f(x)在D上封闭,且函数f﹣1(x)在f(D)上也封闭,求实数k的取值范围;第18页共18页,(3)已知函数f(x)的定义域为D,对任意x,y∈D,若x≠y,有f(x)≠f(y)恒成立,则称f(x)在D上是单射,已知函数f(x)在D上封闭且单射,并且满足fx(D)⊊D,其中fn+1(x)=f(fn(x))(n∈N*),f1(x)=f(x),证明:存在D的真子集,Dn⊊Dn﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D,使得f(x)在所有Di(i=1,2,3,…,n)上封闭. 第18页共18页,上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7},则A∩B= {1,3} .【解答】解:∵集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7},∴A∩B={1,3}.故答案为:{1,3}. 2.(4分)不等式<1的解集为 (1,+∞)∪(﹣∞,0) .【解答】解:原不等式等价于,即x(x﹣1)>0,所以不等式的解集为(1,+∞)∪(﹣∞,0);故答案为:(1,+∞)∪(﹣∞,0) 3.(4分)已知函数f(x)=2x﹣1的反函数是f﹣1(x),则f﹣1(5)= 3 .【解答】解:令f﹣1(5)=a,则f(a)=2a﹣1=5,解得:a=3,故答案为:3. 4.(4分)已知向量,,则向量在向量的方向上的投影为 ﹣1 .【解答】解:向量=(1,﹣2),=(3,4),则向量在向量方向上的投影为:||cos<,>===﹣1.第18页共18页,故答案为:﹣1 5.(4分)已知i是虚数单位,复数z满足,则|z|= .【解答】解:∵复数z满足,∴z=,化为4z=,即z=,∴|z|==.故答案为:. 6.(4分)在(2x+1)5的二项展开式中,x3的系数是 80 .【解答】解:设求的项为Tr+1=C5r(2x)5﹣r,今r=2,∴T3=23C52x3=80x3.∴x3的系数是80.故答案为:80 7.(5分)某企业生产的12个产品中有10个一等品,2个二等品,现从中抽取4个产品,其中恰好有1个二等品的概率为 .【解答】解:某企业生产的12个产品中有10个一等品,2个二等品,现从中抽取4个产品,基本事件总数n==495,其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240,∴其中恰好有1个二等品的概率为p===.故答案为:. 第18页共18页,8.(5分)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上增函数,若f(a+1)≤f(4),则实数a的取值范围是 [﹣5,3] .【解答】解:函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上增函数,可得f(x)=f(|x|),则f(a+1)≤f(4),即为f(|a+1|)≤f(4),可得|a+1|≤4,即﹣4≤a+1≤4,解得﹣5≤a≤3,则实数a的取值范围是[﹣5,3].故答案为:[﹣5,3]. 9.(5分)已知等比数列前n项和为Sn,则使得Sn>2018的n的最小值为 10 .【解答】解:根据题意,等比数列为{an},其首项a1=,公比q==3,其前n项和Sn==(3n﹣1),若Sn>2018,即3n﹣1>18×2018又由n∈N*,则n≥10,故答案为:10. 10.(5分)圆锥的底面半径为3,其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则此圆锥的表面积为 36π .【解答】解:设此圆锥的母线长为l,根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得,第18页共18页,2π×3=×l,解得l=9,∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π.故答案为:36π. 11.(5分)已知函数f(x)=sinωx(ω>0),将f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象,令h(x)=f(x)+g(x),如果存在实数m,使得对任意的实数x,都有h(m)≤h(x)≤h(m+1)成立,则ω的最小值为 π .【解答】解:函数f(x)=sinωx(ω>0),将f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)=sin(ωx+)=cosωx的图象,令h(x)=f(x)+g(x)=sinωx+cosωx=sin(ωx+),如果存在实数m,使得对任意的实数x,都有h(m)≤h(x)≤h(m+1)成立,∴•≤1,∴ω≥π,则ω的最小值为π,故答案为:π. 12.(5分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M、N是双曲线上的两个动点,动点P满足,直线OM与直线ON斜率之积为2,已知平面内存在两定点F1、F2,使得||PF1|﹣|PF2||为定值,则该定值为 2 .【解答】解:设动点P(x,y),M(x1,y1)、N(x2,y2),∵直线OM与ON的斜率之积为2,∴•=2,所以2x1x2﹣y1y2=0,①,第18页共18页,∵动点P满足,∴(x,y)=(2x1﹣x2,2y1﹣y2),则x=2x1﹣x2,y=2y1﹣y2,∵M、N是双曲线上的点,∴2x12﹣y12=4,2x22﹣y22=4.∴2x2﹣y2=2(2x1﹣x2)2﹣(2y1﹣y2)2=4(2x12﹣y12)﹣(2x22﹣y22)﹣4(2x1x2﹣y1y2)=4×4﹣4﹣4(2x1x2﹣y1y2)=12﹣4(2x1x2﹣y1y2),把①代入上式得:2x2﹣y2=12,即﹣=1,所以点P是双曲线﹣=1上的点,因为即﹣=1的两个焦点为:F1(﹣3,0)、F2(3,0),所以||PF1|﹣|PF2||为定值2.故答案为:2. 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)若实数x,y∈R,则命题甲“”是命题乙“”的( )条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要【解答】解:由甲推不出乙,比如x=1,y=7,故不是充分条件,由乙可推出甲,是必要条件,故选:B. 第18页共18页,14.(5分)已知△ABC中,,AB=AC=1,点P是AB边上的动点,点Q是AC边上的动点,则的最小值为( )A.﹣4B.﹣2C.﹣1D.0【解答】解:∵△ABC中,,AB=AC=1,以A为原点,以AB所在对的直线为x轴,以AC所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(1,0),C(0,1)设P的坐标为(m,0)0≤m≤1,Q的坐标为(0,n),0≤n≤1,∴=(﹣1,n),=(m,﹣1),∴=﹣m﹣n=﹣(m+n)≥﹣2,当且仅当m=n=1时取等号,故的最小值为﹣2,故选:B. 15.(5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:°C)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0°C的保鲜时间是192小时,在22°C的保鲜时间是48小时,则该食品在33°C的保鲜时间是( )小时.A.22B.23C.24D.33【解答】第18页共18页,解:某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:°C)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数),该食品在0°C的保鲜时间是192小时,在22°C的保鲜时间是48小时,∴,解得e11k=,∴该食品在33°C的保鲜时间:y=e33k+b=(e11k)3×eb=()3×192=24(小时).故选:C. 16.(5分)关于x的方程x2+arcsin(cosx)+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3,则x12+x22+x32=( )A.1B.2C.D.2π2【解答】解:令f(x)=x2+arcsin(cosx)+a,可得f(﹣x)=(﹣x)2+arcsin(cos(﹣x))+a=f(x),则f(x)为偶函数,∵f(x)=0有三个实数根,∴f(0)=0,即0++a=0,故有a=﹣,关于x的方程即x2+arcsin(cosx)﹣=0,∴x2=0,且+arcsin(cosx1)﹣=0,x32+arcsin(cosx3)﹣=0,x1=﹣x3,由y=x2和y=﹣arcsin(cosx),当x>0,且0<x<π时,y=﹣arcsin(cosx)=﹣arcsin(sin(﹣x))=﹣(﹣x))=x,则﹣π<x<0时,y=﹣arcsin(cosx)=﹣x,第18页共18页,由y=x2和y=﹣arcsin(cosx)的图象可得:它们有三个交点,且为(0,0),(﹣1,1),(1,1),则x12+x22+x32=0+1+1=2.故选:B. 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17.(14分)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1.(1)求异面直线BC1与CD1所成的角;(2)求三棱锥B﹣D1AC的体积.【解答】解:(1)∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD1∥BC1,∴∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角.(2分)∵AB=2,AD=1,A1A=1.∴在等腰△ACD1中,∴cos∠CD1A===,…(4分)∴异面直线BC1与CD1所成的角.…(1分)(2)…(4分)第18页共18页,==.…(3分) 18.(14分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,,且.(1)求C;(2)若c2=7b2,且,求b的值.【解答】解:(1)由,∴2ccosC+acosB+bcosA=0,由正弦定理得:2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0,∴2sinCcosC+sin(A+B)=0;2sinCcosC+sinC=0;由sinC≠0,∴,∴;(2)由c2=a2+b2﹣2abcosC,∴7b2=a2+b2﹣2abcosC,∴a2+ab﹣6b2=0,∴a=2b;由知,,∴,第18页共18页,∴b=2. 19.(14分)已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和(n∈N*,p∈R).(1)求p的值及{an}的通项公式;(2)在等比数列{bn}中,b2=a1,b3=a2+4,令(k∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn.【解答】解:(1)根据题意,等差数列{an}中,当n≥2时,有an=Sn﹣Sn﹣1=pn2+2n﹣[p(n﹣1)2+2(n﹣1)]=2pn﹣p+2,则an+1=2p(n+1)﹣p+2,∴an+1﹣an=2p=2,∴p=1,an=3+(n﹣1)2=2n+1,(2)∵b2=a1=3,b3=a2+4=9,∴q=3,,当n=2k,k∈N*时,Tn=a1+b2+a3+b4+…+a2k﹣1+b2k=(a1+a3+…+a2k﹣1)+(b2+b4+…+b2k)=(3+7+…+4k﹣1)+(3+27+…+32k﹣1)==;当n=2k﹣1,k∈N*时,n+1是偶数,=,∴.第18页共18页, 20.(16分)已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,设点A(0,b),在△AF1F2中,,周长为.(1)求椭圆Γ的方程;(2)设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点,若直线AB与AC的斜率之和为﹣1,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标;(3)记第(2)问所求的定点为E,点P为椭圆Γ上的一个动点,试根据△AEP面积S的不同取值范围,讨论△AEP存在的个数,并说明理由.【解答】(1)解:由,得,∴…①又△AF1F2周长为,∴…②联立①②,解得.∴椭圆方程为;(2)证明:设直线l方程:y=kx+m,交点B(x1,y1),C(x2,y2)由,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.,,依题:kAB+kAC=﹣1,即:,∵y1=kx1+m,y2=kx2+m,第18页共18页,∴,得,则m=﹣2k﹣1.∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点(2,﹣1);(3)解:lAE:x+y﹣1=0,.设直线l:y=﹣x+t与椭圆相切,由,得.由△=4t2﹣5(t2﹣1)=0,得t=.得两切线到lAE:x+y﹣1=0的距离分别为,∴,.当时,△AEP个数为0个;当时,△AEP个数为1个;当时,△AEP个数为2个;当时,△AEP个数为3个;当时,△AEP个数为4个. 21.(18分)已知函数f(x)的定义域为D,值域为f(D),即f(D)={y|y=f(x),x∈D},若f(D)⊆D,则称f(x)在D上封闭.(1)分别判断函数f(x)=2017x+log2017x,在(0,1)上是否封闭,说明理由;(2)函数的定义域为D=[a,b],且存在反函数y=f﹣1(x),若函数f(x)在D上封闭,且函数f﹣1(x)在f(D)上也封闭,求实数k的取值范围;(3)已知函数f(x)的定义域为D,对任意x,y∈D,若x≠y,有f(x)≠第18页共18页,f(y)恒成立,则称f(x)在D上是单射,已知函数f(x)在D上封闭且单射,并且满足fx(D)⊊D,其中fn+1(x)=f(fn(x))(n∈N*),f1(x)=f(x),证明:存在D的真子集,Dn⊊Dn﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D,使得f(x)在所有Di(i=1,2,3,…,n)上封闭.【解答】解:(1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),值域为(﹣∞,+∞),(取一个具体例子也可),所以f(x)在(0,1)上不封闭.…(结论和理由各1分)t=x+1∈(1,2),g(x)在(0,1)上封闭…(结论和理由各1分)(2)函数f(x)在D上封闭,则f(D)⊆D.函数f﹣1(x)在f(D)上封闭,则D⊆f(D),得到:D=f(D).…(2分)在D=[a,b]单调递增.则f(a)=a,f(b)=b在[﹣1,+∞)两不等实根.,故,解得.另解:在[﹣1,+∞)两不等实根.令k+1=t2﹣t在t∈[0,+∞)有两个不等根,故解得.(3)如果f(D)=D,则fn(D)=D,与题干矛盾.因此f(D)⊊D,取D1=f(D),则D1=f(D),则D1⊊D.接下来证明f(D1)⊊D1,因为f(x)是单射,因此取一个p∈D{D1,第18页共18页,则p是唯一的使得f(x)=f(p)的根,换句话说f(p)∉f(D1).考虑到p∈D\D1,即,因为f(x)是单射,则f(D1)⊊f(D\{p})=f(D)\{f(p)}=D1\{f(p)}⊊D1这样就有了f(D1)⊊D1.接着令Dn+1=f(Dn),并重复上述论证证明Dn+1⊊Dn. 第18页共18页
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高考 - 模拟考试
发布时间:2022-05-19 10:10:47
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