2019-2020学年上海市松江区高考数学一模试卷

上海市松江区高考数学一模试卷　一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算：=　　．2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=　　．3．（4分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10=　　．4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a=　　．5．（4分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2α等于　　．6．（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是　　．7．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是　　．8．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=　　．第17页共17页,9．（5分）在△ABC中，∠A=90°，△ABC的面积为1，若=，=4，则的最小值为　　．10．（5分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为　　．11．（5分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是　　（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．12．（5分）已知数列{an}的通项公式为an=2qn+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，则实数q的取值范围为　　．　二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（　　）A．﹣5B．5C．﹣3D．314．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（　　）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[1，+∞）16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2第17页共17页,=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1]C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，+∞）　三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．第17页共17页,21．（18分）已知有穷数列{an}共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{an}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则am所有可能的取值共有多少个？请说明理由．　第17页共17页,上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析　一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算：=　　．【解答】解：==，故答案为：，　2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=　{x|2≤x＜3}　．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．　3．（4分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10=　100　．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．　4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a=　3　．第17页共17页,【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则：2=，解得：a=3．故答案为：3．　5．（4分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2α等于　﹣　．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．　6．（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是　2　．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，第17页共17页,x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=（）﹣1=2．故答案为：2　7．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是　4　．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=，，，，故答案为：4．　8．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=　0　．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1，即=1，解得a=0，故答案为0．　9．（5分）在△ABC中，∠A=90°，△ABC的面积为1，若=，=4，则的最小值为　　．【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B（10x，0），C（0，10y），若=，=4，则M（5x，5y），N（2x，8y），由题意△ABC的面积为1，可得50xy=1，第17页共17页,=10x2+40y2≥2xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．　10．（5分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为　（2，+∞）　．【解答】解：函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，就是x|2x﹣a|=1，即|2x﹣a|=有三个解，令y=|2x﹣a|，y=，可知y=，画出两个函数的图象，如图：x，y=，y′==﹣2，解得x=，x=﹣（舍去），此时切点坐标（，），代入y=a﹣2x可得，a==2，函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．第17页共17页,　11．（5分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是　②③④　（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【解答】解：，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．　12．（5分）已知数列{an}的通项公式为an=2qn+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，则实数q的取值范围为　（﹣，0）　．第17页共17页,【解答】解：由an=2qn+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故an＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，an≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{an}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．　二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（　　）A．﹣5B．5C．﹣3D．3【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．　14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，第17页共17页,∴“x1+x2=0”⇒“f（x1）﹣f（x2）=0”，“f（x1）﹣f（x2）=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，∴“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的充分而不必要条件．故选：A．　15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（　　）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[1，+∞）【解答】解：存在x∈[0，+∞）使成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．　16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1]C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，+∞）【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y≥0时，x=y﹣2；y＜0时，x=﹣y﹣2，∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于（0，±2），第17页共17页,所以为了使曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y﹣2代入方程y2+λx2=4，整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，∴△＞0，2是方程的根，∴＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选C．　三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3，所以：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA，解得：BC=3．（2）在△ABC中，BA=6，AC=3，BC=3，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：=．　18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；第17页共17页,（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=1（x≠0）满足f（﹣x）=f（x），此时f（x）为偶函数；当a≠0时，函数f（a）=0，f（﹣a）=2，不满足f（﹣x）=f（x），也不满足f（﹣x）=﹣f（x），此时f（x）为非奇非偶函数；（2）当a＞0时，若x∈（0，a），则，为减函数；若x∈（a，+∞），则，为增函数；故f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数；　19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）由题意知，p（t）=（k为常数），∵p（2）=400﹣k（10﹣2）2=272，∴k=2．∴p（t）=．∴p（6）=400﹣2（10﹣6）2=368；第17页共17页,（2）由，可得Q=，当2≤t＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．　20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），第17页共17页,联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3），，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣==﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．　21．（18分）已知有穷数列{an}共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{an}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018；第17页共17页,（3）若a1=0，则am所有可能的取值共有多少个？请说明理由．【解答】解：（1）有穷数列{an}共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．m=5，a1=1，a5=3，则满足条件的数列{an}有：1，2，4，7，3和1，0，2，﹣1，3．证明：（2）必要性若{an}为递增数列，由题意得：a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a64﹣a63=63，∴a64﹣a1==2016，∵a1=2，∴a64=2018．充分性由题意|an+1﹣an|=n，1≤n≤63，n∈N*，∴a2﹣a1≤1，a3﹣a2≤2，…，a64﹣a63≤63，∴a64﹣a1≤2016，∴a64≤2018，∵a64=2018，∴an+1﹣an=n，1≤n≤63，n∈N*，∴{an}是增数列，综上，数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018．解：（3）由题意得a2﹣a1=±1，a3﹣a2=±2，…，am﹣am﹣1=±（m﹣1），假设am=b1+b2+b3+…+bm﹣1，其中，bi∈{﹣i，i}，（i∈N*，1≤i≤m﹣1），则（am）min=﹣1﹣2﹣…﹣（m﹣1）=﹣．若an中有k项，，，…，取负值，则有am=（am）max﹣（+++…+），（*）∴am的所有可能值与（am）max的差必为偶数，第17页共17页,下面用数学归纳法证明an可以取到﹣与之间相差2的所有整数，由（*）知，只需从1，2，3，…，m﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到2从1到的所有整数值即可，当m=2时，成立，当m=3时，从1，2中任取一项或两项相加，可以得到从1，2，3中任取一项或若干项相加，可以得到从1到3的所有整数，结论成立，②假设m=k（k≥3，k∈N*）结论成立，即从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，则当m=k+1时，由假设，从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k，可得，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k﹣2，可得，将1，2，3，…，k﹣1，k全部相加，可得，故命题成立，∴am所有可能的取值共有：=个．　第17页共17页