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2019-2020学年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)

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辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},集合B={x|x<1},则A∩B等于(  )A.(1,3)B.(﹣∞,﹣1)C.(﹣1,1)D.(﹣3,1)2.(5分)已知i为虚数单位,复数的共扼复数在复平面内对应的点位于(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)已知平面向量,,且,则实数x的值为(  )A.B.C.D.4.(5分)已知tanθ=2,则的值为(  )A.B.C.D.5.(5分)已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的x的值为(  )A.﹣3B.﹣3或9C.3或﹣9D.﹣9或﹣36.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是(  )第21页共21页,A.B.C.D.7.(5分)在等差数列{an}中,若Sn为前n项和,2a7=a8+5,则S11的值是(  )A.55B.11C.50D.608.(5分)甲、乙、丙三人中,一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知:丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是(  )A.甲是教师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者,丙是教师C.甲是医生,乙是教师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是教师9.(5分)已知函数,以下命题中假命题是(  )A.函数f(x)的图象关于直线对称B.是函数f(x)的一个零点C.函数f(x)的图象可由g(x)=sin2x的图象向左平移个单位得到D.函数f(x)在上是增函数10.(5分)设函数f(x)=xex+1,则(  )A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=﹣1为f(x)的极大值点D.x=﹣1为f(x)的极小值点11.(5分)已知双曲线第21页共21页,,O为坐标原点,F为双曲线的右焦点,以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A,若,则双曲线C的离心率为(  )A.2B.C.D.12.(5分)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2﹣x),当x∈[﹣2,0]时,,则在区间(﹣2,6)内关于x的方程f(x)﹣log8(x+2)=0解的个数为(  )A.1B.2C.3D.4 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)设变量x,y满足约束条件:,则z=x﹣3y的最小值为  .14.(5分)已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点,则弦AB所在直线方程是  .15.(5分)在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=3an﹣2an﹣1(n≥2),则an=  .16.(5分)已知正四棱锥S﹣ABCD中,,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为  . 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,.(1)求△ABC的面积;(2)若b+c=6,求a的值.第21页共21页,18.(12分)高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是:朋友聚集的地方占、家占、个人空间占.(Ⅰ)请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整;并判断能否有95%的把握认为“恋家(在家里感到最幸福)”与国别有关;在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计(Ⅱ)从被调查的不“恋家”的美国学生中,用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查,再从4人中随机抽取2人到中国交流学习,求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.附:,其中n=a+b+c+d.P(k2≥k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.82819.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AB=2,CD=3,M为PC上一点,且PM=2MC.(1)求证:BM∥平面PAD;(2)若AD=2,PD=3,,求三棱锥P﹣ADM的体积.20.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点在椭圆上,且有.第21页共21页,(1)求椭圆C的标准方程;(2)过F2的直线l与椭圆交于A、B两点,求△AOB面积的最大值.21.(12分)已知函数f(x)=(x+1)2﹣3alnx,a∈R.(1)求函数f(x)图象经过的定点坐标;(2)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程及函数f(x)单调区间;(3)若对任意x∈[1,e],f(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1的参数方程为(t为参数),曲线C2的直角坐标方程为x2+(y﹣2)2=4.以直角坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l的极坐标方程为θ=α,(0<α<π)(1)求曲线C1、C2的极坐标方程;(2)设点A、B为射线l与曲线C1、C2除原点之外的交点,求|AB|的最大值. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a∈R.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+|2x+1|的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值. 第21页共21页,辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},集合B={x|x<1},则A∩B等于(  )A.(1,3)B.(﹣∞,﹣1)C.(﹣1,1)D.(﹣3,1)【解答】解:A={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},集合B={x|x<1},则A∩B={x|﹣1<x<1}=(﹣1,1),故选:C 2.(5分)已知i为虚数单位,复数的共扼复数在复平面内对应的点位于(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:∵=,∴复数的共扼复数为,在复平面内对应的点的坐标为(),位于第二象限.故选:B. 3.(5分)已知平面向量,,且,则实数x的值为(  )A.B.C.D.【解答】解:根据题意,向量,,则﹣=(﹣3,x﹣),又由,则(﹣)•=(﹣3)×1+(x﹣)×=0,第21页共21页,解可得x=2,故选:B. 4.(5分)已知tanθ=2,则的值为(  )A.B.C.D.【解答】解:∵tanθ=2,则=1++=1++=+=,故选:C. 5.(5分)已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的x的值为(  )A.﹣3B.﹣3或9C.3或﹣9D.﹣9或﹣3【解答】解:输出才结果为零,有y=0由程序框图可知,当:y=()x﹣8=0时,解得选x=﹣3;当y=2﹣log3x=0,解得x=9.综上,有x=﹣3,或者9.故选:B.第21页共21页, 6.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是(  )A.B.C.D.【解答】解:由四棱锥的三视图得到该四棱锥是P﹣ABCD,其中,底面ABCD是边长为2的正方形,PC⊥平面ABCD,如图,PB=PD==2,∴该四棱锥的侧面积是:S=S△PBC+S△PDC+S△PAB+S△PCD==4+4.故选:A. 7.(5分)在等差数列{an}中,若Sn为前n项和,2a7=a8+5,则S11的值是(  )A.55B.11C.50D.60【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵2a7=a8+5,∴2a1+12d=a1+7d+5,第21页共21页,∴a1+5d=5=a6,则S11==11a6=55.故选:A. 8.(5分)甲、乙、丙三人中,一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知:丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是(  )A.甲是教师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者,丙是教师C.甲是医生,乙是教师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是教师【解答】解:由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者,从而排除B和D;由丙的年龄比医生大,得到乙不是医生,从而乙是教师,甲是医生.故选:C. 9.(5分)已知函数,以下命题中假命题是(  )A.函数f(x)的图象关于直线对称B.是函数f(x)的一个零点C.函数f(x)的图象可由g(x)=sin2x的图象向左平移个单位得到D.函数f(x)在上是增函数【解答】解:对于A,当x=时,函数f(x)=sin(2×+)=1为最大值,∴f(x)的图象关于直线对称,A正确;对于B,当x=﹣时,函数f(x)=sin(﹣2×+)=0,∴x=﹣是函数f(x)的一个零点,B正确;对于C,函数f(x)=sin(2x+)=sin2(x+),第21页共21页,其图象可由g(x)=sin2x的图象向左平移个单位得到,∴C错误;对于D,x∈[0,]时,2x+∈[,],∴函数f(x)=sin(2x+)在上是增函数,D正确.故选:C. 10.(5分)设函数f(x)=xex+1,则(  )A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=﹣1为f(x)的极大值点D.x=﹣1为f(x)的极小值点【解答】解:由于f(x)=xex,可得f′(x)=(x+1)ex,令f′(x)=(x+1)ex=0可得x=﹣1,令f′(x)=(x+1)ex>0可得x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数令f′(x)=(x+1)ex<0可得x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数所以x=﹣1为f(x)的极小值点.故选:D. 11.(5分)已知双曲线,O为坐标原点,F为双曲线的右焦点,以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A,若,则双曲线C的离心率为(  )A.2B.C.D.【解答】解:由直径所对的圆周角为直角,可得∠OAF=90°,在△OAF中,,可得AF=OFcos30°=c,由AF为焦点(c,0)到渐近线bx﹣ay=0的距离,第21页共21页,即为==b,即有b=c,e====2,故选A. 12.(5分)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2﹣x),当x∈[﹣2,0]时,,则在区间(﹣2,6)内关于x的方程f(x)﹣log8(x+2)=0解的个数为(  )A.1B.2C.3D.4【解答】解:对于任意的x∈R,都有f(2+x)=f(2﹣x),∴f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[(x+2)﹣2]=f(x),∴函数f(x)是一个周期函数,且T=4.又∵当x∈[﹣2,0]时,f(x)=()x﹣1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(6)=1,则函数y=f(x)与y=log8(x+2)在区间(﹣2,6)上的图象如下图所示:根据图象可得y=f(x)与y=log8(x+2)在区间(﹣2,6)上有3个不同的交点.故选:C..第21页共21页, 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)设变量x,y满足约束条件:,则z=x﹣3y的最小值为 ﹣10 .【解答】解:画出约束条件:可行域如下图,由z=x﹣3y得y=x﹣;平移直线y=x﹣,由图象可知当直线经过点B时,直线y=x﹣的截距最大,此时z最小,由解得,B(﹣1,3);故此时z=﹣1﹣3×3=﹣10;故答案为:﹣10第21页共21页, 14.(5分)已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点,则弦AB所在直线方程是 2x﹣y﹣1=0 .【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=4x1,①,y22=4x2,②,①﹣②整理得k===2,则弦AB所在直线方程为y﹣1=2(x﹣1),即为2x﹣y﹣1=0.故答案为:2x﹣y﹣1=0. 15.(5分)在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=3an﹣2an﹣1(n≥2),则an= 2n﹣1(n∈N*) .【解答】解:∵an+1=3an﹣2an﹣1(n≥2),∴an+1﹣an=2an﹣2an﹣1=2(an﹣an﹣1)(n≥2),可得:a3﹣a2=2(a2﹣a1)a4﹣a3=2(a3﹣a2)第21页共21页,…an+1﹣an=2(an﹣an﹣1)相加可得:an+1﹣a2=2(an﹣a1),可得:an+1﹣2=2(an﹣1),即:an+1=2an,∴数列{an}是等比数列,n∈N*,∴.故答案为:2n﹣1(n∈N*). 16.(5分)已知正四棱锥S﹣ABCD中,,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 6 .【解答】解:设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为a,则高h==,∴体积V=a2h=,设y=108a4﹣a6,则y′=432a3﹣3a5,由y′=432a3﹣3a5=0,解得a=0或a=12,∴当a=12时,体积最大,此时h==6,故答案为:6. 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,.(1)求△ABC的面积;第21页共21页,(2)若b+c=6,求a的值.【解答】解:(1)因为,所以,.又由得bccosA=3,所以bc=5因此.(2)由(1)知,bc=5,又b+c=6,由余弦定理,得,所以 18.(12分)高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是:朋友聚集的地方占、家占、个人空间占.(Ⅰ)请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整;并判断能否有95%的把握认为“恋家(在家里感到最幸福)”与国别有关;在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计(Ⅱ)从被调查的不“恋家”的美国学生中,用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查,再从4人中随机抽取2人到中国交流学习,求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.附:,其中n=a+b+c+d.P(k2≥k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828【解答】解:(Ⅰ)由已知得,在家里最幸福在其它场所幸福合计第21页共21页,中国高中生223355美国高中生93645合计3169100∴=,∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关;(Ⅱ)用分层抽样的方法抽出4人,其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人,在“个人空间”感到幸福的有1人,分别设为a1,a2,a3,b;∵Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a3),(a2,b),(a3,b)},∴n=6;设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件A,A={(a1,b),(a2,b),(a3,b)},∴m=3;则所求的概率为. 19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AB=2,CD=3,M为PC上一点,且PM=2MC.(1)求证:BM∥平面PAD;(2)若AD=2,PD=3,,求三棱锥P﹣ADM的体积.【解答】(1)证明:法一、过M作MN∥CD交PD于点N,连接AN.∵PM=2MC,∴.又∵,且AB∥CD,∴AB∥MN,AB=MN,则四边形ABMN为平行四边形,∴BM∥AN.又∵BM⊄平面PAD,AN⊂平面PAD,第21页共21页,∴BM∥平面PAD.法二、过点M作MN⊥CD于点N,N为垂足,连接BN.由题意,PM=2MC,则DN=2NC,又∵DC=3,DN=2,∴AB=DN,AB∥DN,∴四边形ABND为平行四边形,则BN∥AD.∵PD⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,∴PD⊥DC.又MN⊥DC,∴PD∥MN.又∵BN⊂平面MBN,MN⊂平面MBN,BN∩MN=N;∵AD⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,AD∩PD=D;∴平面MBN∥平面PAD.∵BM⊂平面MBN,∴BM∥平面PAD;(2)解:过B作AD的垂线,垂足为E.∵PD⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,∴PD⊥BE.又∵AD⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,AD∩PD=D.∴BE⊥平面PAD.由(1)知,BM∥平面PAD,∴M到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离,即BE.在△ABC中,AB=AD=2,,∴.∴.第21页共21页, 20.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点在椭圆上,且有.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过F2的直线l与椭圆交于A、B两点,求△AOB面积的最大值.【解答】解:(1)由,得,∴.将代入,得b2=1.∴椭圆C的方程为;(2)由已知,直线l的斜率为零时,不合题意;设直线方程为x﹣1=my,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立,得(m2+2)y2+2my﹣1=0,由韦达定理,得,∴==第21页共21页,===,当且仅当,即m=0时,等号成立.∴△AOB面积的最大值为. 21.(12分)已知函数f(x)=(x+1)2﹣3alnx,a∈R.(1)求函数f(x)图象经过的定点坐标;(2)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程及函数f(x)单调区间;(3)若对任意x∈[1,e],f(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)当x=1时,ln1=0,所以f(1)=4,所以函数f(x)的图象无论a为何值都经过定点(1,4).(2)当a=1时,f(x)=(x+1)2﹣3lnx.f(1)=4,,f'(1)=1,则切线方程为y﹣4=1×(x﹣1),即y=x+3.在x∈(0,+∞)时,如果,即时,函数f(x)单调递增;如果,即时,函数f(x)单调递减.(3),x>0.当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在[1,e]上单调递增.f(x)min=f(1)=4,f(x)≤4不恒成立.当a>0时,设g(x)=2x2+2x﹣3a,x>0.第21页共21页,∵g(x)的对称轴为,g(0)=﹣3a<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,且存在唯一x0∈(0,+∞),使得g(x0)=0.∴当x∈(0,x0)时,g(x)<0,即f'(x)<0,f(x)在(0,x0)上单调递减;∴当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,即f'(x)>0,f(x)在(x0,+∞)上单调递增.∴f(x)在[1,e]上的最大值f(x)max=max{f(1),f(e)}.∴,得(e+1)2﹣3a≤4,解得. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1的参数方程为(t为参数),曲线C2的直角坐标方程为x2+(y﹣2)2=4.以直角坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l的极坐标方程为θ=α,(0<α<π)(1)求曲线C1、C2的极坐标方程;(2)设点A、B为射线l与曲线C1、C2除原点之外的交点,求|AB|的最大值.【解答】解(1)由曲线C1的参数方程(t为参数)消去参数t得x2+(y﹣1)2=1,即x2+y2﹣2y=0,∴曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ.由曲线C2的直角坐标方程x2+(y﹣2)2=4,得x2+y2﹣4y=0,∴曲线C2的极坐标方程ρ=4sinθ.(2)联立,得A(2sinα,α),∴|OA|=2sinα,联立,得B(4sinα,α),∴|OB|=4sinα.第21页共21页,∴|AB|=|OB|﹣|OA|=2sinα.∵0<α<π,∴当时,|AB|有最大值2. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a∈R.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+|2x+1|的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值.【解答】解:(1)a=1时,f(x)=|x﹣1|+3x由f(x)≥|2x+1|+3x,得|x﹣1|﹣|2x+1|≥0,故|x﹣1|≥|2x+1|,解得:﹣2≤x≤0,∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤0}.(2)由|x﹣a|+3x≤0,可得,或.即,或.①当a>0时,不等式的解集为.由,得a=2.②当a=0时,解集为{0},不合题意.③当a<0时,不等式的解集为.由,得a=﹣4.综上,a=2,或a=﹣4. 第21页共21页

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发布时间:2022-05-19 10:07:16 页数:21
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文章作者:yuanfeng

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