2019-2020学年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（文科）

辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（文科）　一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（　　）A．A∩B={x|x＜1}B．A∪B=RC．A∪B={x|x＜2}D．A∩B={x|﹣2＜x＜1}2．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（　　）A．1B．2C．D．3．（5分）向量，=（﹣1，2），则=（　　）A．6B．5C．1D．﹣64．（5分）设a=（），b=2，c=log2，则（　　）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b5．（5分）函数的周期为（　　）A．T=2πB．C．T=πD．T=4π6．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（　　）A．∀n＞1，n2＞2nB．∃n≤1，n2≤2nC．∀n＞1，n2≤2nD．∃n＞1，n2≤2n7．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=（　　）A．20B．18C．3D．08．（5分）设{an}是首项为a1，公差为﹣2的等差数列，Sn为前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（　　）A．2B．﹣2C．1D．﹣19．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2第17页共17页,，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（　　）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）11．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（　　）A．甲B．乙C．丙D．丁12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（　　）A．[﹣2，2]B．[﹣2，2]∪[4，+∞）C．[﹣2，2+]D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）　二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2）=　　．14．（5分）已知三角形ABC中，D为边BC上的点，且BD=2DC，第17页共17页,，则x﹣y=　　．15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=　　．16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是　　．　三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．18．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．19．（12分）已知函数，x∈R（1）求f（x）的对称中心；（2）讨论f（x）在区间上的单调性．20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N．（1）求an，bn；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．21．（12分）设函数f（x）=（2﹣x）ex．（1）求f（x）在x=0处的切线；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+2，求a的取值范围．　[选修4-4]参数方程与极坐标系第17页共17页,22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．　[选修4-5]不等式选讲23．已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．　第17页共17页,辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（　　）A．A∩B={x|x＜1}B．A∪B=RC．A∪B={x|x＜2}D．A∩B={x|﹣2＜x＜1}【解答】解：集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={x|﹣2＜x＜1}，A∪B={x|x＜3}，故选D．　2．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（　　）A．1B．2C．D．【解答】解：∵复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），∴z===1+i，∴|z|==，故选：C．　3．（5分）向量，=（﹣1，2），则=（　　）A．6B．5C．1D．﹣6【解答】解：向量，=（﹣1，2），=（3，0），则=6＞第17页共17页,故选：A．　4．（5分）设a=（），b=2，c=log2，则（　　）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【解答】解：∵a=（）∈（0，1），b=2＞1，c=log2＜0，则c＜a＜b．故选：D．　5．（5分）函数的周期为（　　）A．T=2πB．C．T=πD．T=4π【解答】解：∵=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴函数f（x）的周期T==π．故选：C．　6．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（　　）A．∀n＞1，n2＞2nB．∃n≤1，n2≤2nC．∀n＞1，n2≤2nD．∃n＞1，n2≤2n【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为∀n＞1，n2≤2n．故选：C．　7．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=（　　）A．20B．18C．3D．0【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x﹣1的导数为f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，解得x=±1，第17页共17页,所以1，﹣1为函数f（x）的极值点．因为f（﹣3）=﹣19，f（﹣1）=1，f（1）=﹣3，f（2）=1，所以在区间[﹣3，2]上，M=f（x）max=1，N=f（x）min=﹣19，对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=20，故选：A．　8．（5分）设{an}是首项为a1，公差为﹣2的等差数列，Sn为前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（　　）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：an=a1﹣2（n﹣1），S1=a1，S2=2a1﹣2，S4=4a1﹣12，∵S1，S2，S4成等比数列，∴=a1（4a1﹣12），解得a1=﹣1．故选：D．　9．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）第17页共17页,A．B．C．D．【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选D．　10．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（　　）第17页共17页,A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）【解答】解：由﹣x2﹣2x+3＞0，解得：﹣3＜x＜1，而y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，故y=﹣x2﹣2x+3在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则，得f（x）在（﹣3，﹣1）递增，故选：B．　11．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（　　）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：A．　12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（　　）A．[﹣2，2]B．[﹣2，2]∪[4，+∞）C．[﹣2，2+]D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）【解答】解：令f（m）=t⇒f（t）≥0⇒⇒﹣1≤t≤1；⇒t≥3第17页共17页,下面求解﹣1≤f（m）≤1和f（m）≥3，⇒﹣2≤m≤1，⇒1＜m≤2+，⇒m无解，⇒m≥4，综上实数m的取值范围是[﹣2，2+]∪[4，+∞）．故选：D．　二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2）=　﹣　．【解答】解：函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，可得f（﹣x）=﹣f（x），即有f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22+）=﹣，故答案为：﹣．　14．（5分）已知三角形ABC中，D为边BC上的点，且BD=2DC，，则x﹣y=　﹣　．【解答】解：∵BD=2DC，∴==﹣，∴=+=+．∴x=，y=．第17页共17页,∴x﹣y=﹣．故答案为：．　15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=　　．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：　16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是　　．【解答】解：∵函数，f（﹣x）===f（x），故函数为偶函数，第17页共17页,当x＞0时，=＞0恒成立函数为增函数，若使得f（x）＞f（2x﹣1）成立，则|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，解得：x∈，故答案为：　三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．【解答】解：（1）根据题意，设数列{an}的公差为d，由题意知，解得a1=2，d=2，则an=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）可得a1=2，an=2n，则Sn==n2+n=n（n+1），若a1，ak，Sk+2成等比数列，则有（ak）2=2（k+2）（k+3），即4k2=2k2+10k+12，变形可得：k2﹣5k﹣6=0，第17页共17页,解可得k=6或k=﹣1（舍）；故k=6．　18．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．【解答】解：（1）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC﹣ccosA由正弦定理得，sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，由于：sinC≠0，所以：．即：，由于：0＜A＜π，解得：A=．（2）因为△ABC的面积为，所以：①，所以bc=4；在△ABC中，应用余弦定理知，a2=b2+c2﹣2bccosA，，所以b2+c2=8②；联立①②两式可得，b=c=2．　19．（12分）已知函数，x∈R（1）求f（x）的对称中心；（2）讨论f（x）在区间上的单调性．【解答】解：（1）由已知，第17页共17页,所以：令，得对称中心为，k∈Z（2）令，（k∈Z）解得：，（k∈Z）所以：单调递增区间为令，k∈Z得，k∈Z增区间为，上的增区间为，减区间为．　20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N．（1）求an，bn；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由可得，当n=1时，a1=S1=3，当n≥2时，，而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故an=4n﹣1，又∵an=4log2bn+3=4n﹣1，∴…（6分）第17页共17页,（2）由（1）知，，，∴==（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5．…（12分）　21．（12分）设函数f（x）=（2﹣x）ex．（1）求f（x）在x=0处的切线；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+2，求a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=（1﹣x）ex，f'（0）=1，f（0）=2，切线的斜率为：1，切点坐标（0，2），所以切线方程y﹣2=x，即y=x+2．（2）g（x）=ax+2﹣（2﹣x）ex，g'（x）=a+（x﹣1）ex∵（g'（x））'=xexk≥0且仅有x=0，（g'（x））'=0，∴g'（x）在[0，+∞）单调递增，∴g'（x）≥g'（0）=a﹣1，（i）a≥1时，g'（x）≥g'（0）=a﹣1≥0g（x）在[0，+∞）单调递增，g（x）≥g（0）=0满足题意，（ii）0＜a＜1时，g'（0）=a﹣1＜0，g'（1）=a＞0，而g'（x）连续且递增，所以存在唯一x0∈（0，1）使g'（x0）=0∀x∈[0，x0），g'（x）＜0，在[0，x0）上g（x）单调递减，取x1∈（0，x0），则g（x1）＜g（0）=0，不合题意．（iii）a≤0时，g'（0）=a﹣1＜0，g'（1）=a≤0，第17页共17页,而g'（x）连续且递增，∀x∈[0，1），g'（x）＜0在[0，1）上g（x）单调递减，取x1∈（0，1），则g（x1）＜g（0）=0，不合题意，综上所述，a≥1．　[选修4-4]参数方程与极坐标系22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：，设θ为参数，令x=cosθ，y=2sinθ，则曲线C1的参数方程为（θ为参数）；又直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，即2ρcosθ﹣ρsinθ﹣6=0，化为直角坐标方程是2x﹣y﹣6=0；（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，设P（cosθ，2sinθ），则P到直线l的距离为d==，∴cos（θ+）=﹣1，即P（﹣，1）时，点P到直线l的距离最大，最大值为=2．　[选修4-5]不等式选讲23．已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．第17页共17页,（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）∵≥==4，故的最小值为4．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，即|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于的最小值．（4分）由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0时取等号，∴的最小值等于4．（8分）∴x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集．解不等式得﹣2≤x≤2，故实数x的取值范围为[﹣2，2]．（10分）　第17页共17页