2019-2020学年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)
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广东省茂名市高考数学一模试卷(文科) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若集合A={x|﹣1<x<3},B={﹣1,0,1,2},则A∩B=( )A.{﹣1,0,1,2}B.{x|﹣1<x<3}C.{0,1,2}D.{﹣1,0,1}2.(5分)已知复数z满足zi=2+i,i是虚数单位,则|z|=( )A.B.C.2D.3.(5分)在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )A.B.C.D.4.(5分)已知变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最小值为( )A.11B.12C.8D.35.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8=10,则S9=( )A.20B.35C.45D.906.(5分)已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D,与双曲线交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△ADF为等腰直角三角形,则双曲线的离心率是( )A.B.C.D.7.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<),f(x1)=1,f(x2)=0,若|x1﹣x2|min=,且f()=,则f(x)的单调递增区间为( )A.B..C.D.8.(5分)函数的部分图象大致为( )第24页共24页,A.B.C.D.9.(5分)《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一栋七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有381盏灯,则该塔中间一层有( )盏灯.A.24B.48C.12D.6010.(5分)执行如图所示的程序框图,那么输出S的值是( )A.2018B.﹣1C.D.211.(5分)如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:①AF⊥GC;②BD与GC成异面直线且夹角为60°;③BD∥MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是( )第24页共24页,A.1B.2C.3D.412.(5分)定义在R上函数y=f(x+2)的图象关于直线x=﹣2对称,且函数f(x+1)是偶函数.若当x∈[0,1]时,,则函数g(x)=f(x)﹣e﹣|x|在区间[﹣2018,2018]上零点的个数为( )A.2017B.2018C.4034D.4036 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(5分)已知=(2,1),﹣2=(1,1),则= .14.(5分)曲线y=ln(x+1)在点(1,ln2)处的切线方程为 .15.(5分)从原点O向圆C:x2+y2﹣12y+27=0作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 .16.(5分)如图,三棱锥的所有顶点都在一个球面上,在△ABC中,AB=,∠ACB=60°,∠BCD=90°,AB⊥CD,CD=,则该球的体积为 . 三、解答题:本大题共5小题,共70分.其中17至21题为必做题,22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c•cosB﹣b=2a.第24页共24页,(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)设角A的平分线交BC于D,且AD=,若b=,求△ABC的面积.18.(12分)在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,平面PAC⊥平面ABCD,AB=AD=DC=1,∠ABC=∠DCB=60°,E是PC上一点.(Ⅰ)证明:平面EAB⊥平面PAC;(Ⅱ)若△PAC是正三角形,且E是PC中点,求三棱锥A﹣EBC的体积.19.(12分)一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关,现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表:温度x/°C212324272932产卵数y/个61120275777经计算得:,,,,,线性回归模型的残差平方和,e8.0605≈3167,其中xi,yi分别为观测数据中的温度和产卵数,i=1,2,3,4,5,6.(Ⅰ)若用线性回归模型,求y关于x的回归方程=x+(精确到0.1);(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x,且相关指数R2=0.9522.(i)试与(Ⅰ)中的回归模型相比,用R2说明哪种模型的拟合效果更好.(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).第24页共24页,附:一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为,=﹣;相关指数R2=.20.(12分)已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点,且短轴长为4.(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程;(Ⅱ)已知椭圆C2的中心在原点,焦点在y轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍(λ>1),过点C(﹣1,0)的直线l与椭圆C2交于A,B两个不同的点,若,求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程.21.(12分)已知函数(a∈R).(Ⅰ)讨论g(x)的单调性;(Ⅱ)若.证明:当x>0,且x≠1时,. 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(﹣2,0),其倾斜角为α,在以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位),曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0.(Ⅰ)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角α的取值范围;第24页共24页,(Ⅱ)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求的取值范围. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣3|﹣|x+5|.(Ⅰ)求不等式f(x)≥2的解集;(Ⅱ)设函数f(x)的最大值为M,若不等式x2+2x+m≤M有解,求m的取值范围. 第24页共24页,广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若集合A={x|﹣1<x<3},B={﹣1,0,1,2},则A∩B=( )A.{﹣1,0,1,2}B.{x|﹣1<x<3}C.{0,1,2}D.{﹣1,0,1}【解答】解:∵集合A={x|﹣1<x<3},B={﹣1,0,1,2},∴A∩B={0,1,2}.故选:C. 2.(5分)已知复数z满足zi=2+i,i是虚数单位,则|z|=( )A.B.C.2D.【解答】解:由zi=2+i,得,∴|z|=,故选:D. 3.(5分)在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )A.B.C.D.【解答】解:在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数,基本事件总数有4个,分别为:(1,2,3),(1,2,6),(1,3,6),(2,3,6)数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3),共1个.∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是.第24页共24页,故选:A. 4.(5分)已知变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最小值为( )A.11B.12C.8D.3【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(2,2),化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z,由图可知,当直线y=﹣3x+z过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为z=3×2+2=8.故选:C. 5.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8=10,则S9=( )A.20B.35C.45D.90【解答】解:由等差数列的性质得,a1+a9=a2+a8=10,S9=.故选:C. 第24页共24页,6.(5分)已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D,与双曲线交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△ADF为等腰直角三角形,则双曲线的离心率是( )A.B.C.D.【解答】解:抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2,准线与x轴的交点为D(﹣2,0),由△ADF为等腰直角三角形,得|AD|=|DF|=4,故点A的坐标为(﹣2,4),由点A在双曲线上,可得,解得,即,∴,∴双曲线的离心率.故选:D. 7.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<),f(x1)=1,f(x2)=0,若|x1﹣x2|min=,且f()=,则f(x)的单调递增区间为( )A.B..C.D.【解答】解:设f(x)的周期为T,由f(x1)=1,f(x2)=0,|x1﹣x2|min=,得,由f()=,得sin(π+ϕ)=,即cosϕ=,第24页共24页,又0<ϕ<,∴ϕ=,f(x)=sin(πx).由,得.∴f(x)的单调递增区间为.故选:B. 8.(5分)函数的部分图象大致为( )A.B.C.D.【解答】解:∵f(﹣x)=﹣f(x),可得f(x)为奇函数,排除B,∵<1,排除A.当x>0时,,,∴在区间(1,+∞)上f(x)单调递增,排除D,故选C. 9.(5分)《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一栋七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有381盏灯,则该塔中间一层有( )盏灯.第24页共24页,A.24B.48C.12D.60【解答】解:由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为a,则,解之得a=3,则该塔中间一层灯盏数有3×23=24.故选:A. 10.(5分)执行如图所示的程序框图,那么输出S的值是( )A.2018B.﹣1C.D.2【解答】解:依题意,执行如图所示的程序框图可知:初始S=2,当k=0时,S0=﹣1,k=1时,S1=,同理S2=2,S3=﹣1,S4=,…,可见Sn的值周期为3.∴当k=2017时,S2017=S1=,k=2018,退出循环.输出S=.故选:C. 11.(5分)如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:①AF⊥GC;②BD与GC成异面直线且夹角为60°;③BD∥MN;第24页共24页,④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解答】解:将正方体纸盒展开图还原成正方体,在①中,如图知AF与GC异面垂直,故①正确;在②中,BD与GC成异面直线,连接EB,ED.则BM∥GC,在等边△BDM中,BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角,故②正确;在③中,BD与MN异面垂直,故③错误;在④中,GD⊥平面ABCD,所以在Rt△BDG中,∠GBD是BG与平面ABCD所成的角,Rt△BDG不是等腰直角三角形.所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°,故④错误.故选:B. 第24页共24页,12.(5分)定义在R上函数y=f(x+2)的图象关于直线x=﹣2对称,且函数f(x+1)是偶函数.若当x∈[0,1]时,,则函数g(x)=f(x)﹣e﹣|x|在区间[﹣2018,2018]上零点的个数为( )A.2017B.2018C.4034D.4036【解答】解:函数g(x)=f(x)﹣e﹣|x|在区间[﹣2018,2018]上零点的个数⇔函数的图象与y=e﹣|x|的图象交点个数.由y=f(x+2)的图象关于直线x=﹣2对称,得f(x)是偶函数,即f(﹣x)=f(x).又∵函数f(x+1)是偶函数,∴f(x+1)=f(﹣x+1),故f(x+2)=f(﹣x)=f(x),因此,f(x)是周期为2的偶函数.∵当x∈[0,1]时,,作出y=f(x)与图象如下图,可知每个周期内有两个交点,所以函数g(x)=f(x)﹣e﹣|x|在区间[﹣2018,2018]上零点的个数为2018×2=4036.故选:D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(5分)已知=(2,1),﹣2=(1,1),则= 1 .【解答】解:根据题意,设=(x,y),则﹣2=(2﹣2x,1﹣2y)=(1,1),第24页共24页,则有2﹣2x=1,1﹣2y=1,解可得x=,y=0,则=(,0),则=2×+1×0=1;故答案为:1 14.(5分)曲线y=ln(x+1)在点(1,ln2)处的切线方程为 x﹣2y﹣1+2ln2=0 .【解答】解:根据题意,曲线y=ln(x+1),则有y′=,则由所求切线斜率,又由f(1)=ln(1+1)=ln2,则曲线在点(1,ln2)处的切线方程为,即x﹣2y﹣1+2ln2=0.故答案为:x﹣2y﹣1+2ln2=0 15.(5分)从原点O向圆C:x2+y2﹣12y+27=0作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 .【解答】解:把圆的方程化为标准方程为x2+(y﹣6)2=9,得到圆心C(0,6),圆的半径r=3,由圆切线的性质可知,∠CBO=∠CAO=90°,且AC=BC=3,OC=6,则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°,∴该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为.故答案为:.第24页共24页, 16.(5分)如图,三棱锥的所有顶点都在一个球面上,在△ABC中,AB=,∠ACB=60°,∠BCD=90°,AB⊥CD,CD=,则该球的体积为 .【解答】解:以△ABC所在平面为球的截面,则由正弦定理得截面圆的半径为,依题意得CD⊥平面ABC,故球心到截面的距离为,则球的半径为.所以球的体积为.故答案为:. 第24页共24页,三、解答题:本大题共5小题,共70分.其中17至21题为必做题,22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c•cosB﹣b=2a.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)设角A的平分线交BC于D,且AD=,若b=,求△ABC的面积.【解答】解:(Ⅰ)根据题意,若2c•cosB﹣b=2a,则有,整理得a2+b2﹣c2=﹣ab,,又在△ABC中,0<C<π,∴,即角C的大小为;(Ⅱ)由(Ⅰ),在△ADC中,AC=b=,AD=,由正弦定理得,∵在△ADC中,0<∠CDA<π,C为钝角,∴,故.∵在△ABC中,AD是角A的平分线,∴,∴△ABC是等腰三角形,,故△ABC的面积. 18.(12分)在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,平面PAC⊥平面ABCD,AB=AD=DC=1,∠ABC=∠DCB=60°,E是PC上一点.(Ⅰ)证明:平面EAB⊥平面PAC;(Ⅱ)若△PAC是正三角形,且E是PC中点,求三棱锥A﹣EBC的体积.第24页共24页,【解答】证明:(Ⅰ)依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形,…(1分)∴∠BAD=∠ADC=120°..…(2分)∵AD=DC,∴∠DAC=∠DCA=30°.…(3分)∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°,即AB⊥AC.…(4分)∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,∴AB⊥平面PAC,…(5分)又平面AB⊂平面EAB,∴平面EAB⊥平面PAC.…(6分)解:(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)及已知得,在Rt△ABC中,∠ABC=60°,AB=1,∴AC=AB∙tan60°=,BC=2AB=2,且AB⊥平面PAC,…(7分)∴AB是三棱锥B﹣EAC的高,正△PAC的边长为…(8分)∵E是PC的中点,∴S△EAC=S△PAC=.…(10分)∴三棱锥A﹣EBC的体积为…(12分)(Ⅱ)解法二:过P作PO⊥AC于点O,∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,∴PO⊥平面ABC,过E作EF⊥AC于点F,同理得EF⊥平面ABC,∴EF是三棱锥E﹣ABC的高,且PO∥EF,…(7分)又E是PC中点,∴EF是△POC的中位线,故.由(Ⅰ)及已知得,在Rt△ABC中,∠ABC=60°,AB=1,∴BC=2AB=2,AC=AB∙tan60°=,即正△PAC的边长为,…(8分)第24页共24页,∴PO=,故EF=…(9分)在Rt△ABC中,S△ABC=.…(10分)∴三棱锥A﹣EBC的体积为…(12分) 19.(12分)一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关,现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表:温度x/°C212324272932产卵数y/个61120275777经计算得:,,,,,线性回归模型的残差平方和,e8.0605≈3167,其中xi,yi分别为观测数据中的温度和产卵数,i=1,2,3,4,5,6.(Ⅰ)若用线性回归模型,求y关于x的回归方程=x+(精确到0.1);(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x,且相关指数R2=0.9522.(i)试与(Ⅰ)中的回归模型相比,用R2说明哪种模型的拟合效果更好.(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).附:一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线=x+第24页共24页,的斜率和截距的最小二乘估计为,=﹣;相关指数R2=.【解答】解:(Ⅰ)依题意,n=6,,….…(2分)≈33﹣6.6×26=﹣138.6,…(3分)∴y关于x的线性回归方程为=6.6x﹣138.6…(4分)(Ⅱ)(i)利用所给数据,,得,线性回归方程=6.6x﹣138.6的相关指数R2=.…(6分)∵0.9398<0.9522,…(7分)因此,回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…(8分)(ii)由(i)得温度x=35°C时,=0.06e0.2303×35=0.06×e8.0605…..…..…(9分)又∵e8.0605≈3167,…(10分)∴≈0.06×3167≈190(个)…(11分)所以当温度x=35°C时,该种药用昆虫的产卵数估计为190个…(12分) 第24页共24页,20.(12分)已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点,且短轴长为4.(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程;(Ⅱ)已知椭圆C2的中心在原点,焦点在y轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍(λ>1),过点C(﹣1,0)的直线l与椭圆C2交于A,B两个不同的点,若,求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程.【解答】解:(Ⅰ)所给直线方程变形为,可知直线所过定点为.∴椭圆焦点在y轴,且c=,依题意可知b=2,∴a2=c2+b2=9.则椭圆C1的方程标准为;(Ⅱ)依题意,设椭圆C2的方程为,A(x1,y1),B(x2,y2),∵λ>1,∴点C(﹣1,0)在椭圆内部,直线l与椭圆必有两个不同的交点.当直线l垂直于x轴时,(不是零向量),不合条件;故设直线l为y=k(x+1)(A,B,O三点不共线,故k≠0),由,得.由韦达定理得.∵,而点C(﹣1,0),∴(﹣1﹣x1,﹣y1)=2(x2+1,y2),则y1=﹣2y2,即y1+y2=﹣y2,故.∴△OAB的面积为S△OAB=S△AOC+S△BOC====第24页共24页,.上式取等号的条件是,即k=±时,△OAB的面积取得最大值.∴直线的方程为或. 21.(12分)已知函数(a∈R).(Ⅰ)讨论g(x)的单调性;(Ⅱ)若.证明:当x>0,且x≠1时,.【解答】(Ⅰ)解:由已知得g(x)的定义域为(0,+∞),…(1分)方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a.…(2分)①当时,△≤0,g'(x)≥0,此时,g(x)在(0,+∞)上为增函数;…(3分)②当时,设方程2x2+x﹣a=0的两根为,若,则x1<x2≤0,此时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上为增函数;…(4分)若a>0,则x1<0<x2,此时,g(x)在(0,x2]上为减函数,在(x2,+∞)上为增函数,…..…(5分)综上所述:当a≤0时,g(x)的增区间为(0,+∞),无减区间;当a>0时,g(x)的减区间为(0,x2],增区间为(x2,+∞).…(6分)(Ⅱ)证明:由题意知,…(7分)∴,…(8分)考虑函数,第24页共24页,则…(9分)所以x≠1时,h'(x)<0,而h(1)=0…(10分)故x∈(0,1)时,,可得,x∈(1,+∞)时,,可得,…(11分)从而当x>0,且x≠1时,.…(12分) 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(﹣2,0),其倾斜角为α,在以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位),曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0.(Ⅰ)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角α的取值范围;(Ⅱ)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0,又x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0,即(x﹣2)2+y2=4…(1分)∴曲线C是圆心为C(2,0),半径为2的圆.∵直线l过点P(﹣2,0),当l的斜率不存在时,l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点,∴直线l的斜率存在,设直线l:y=k(x+2),即kx﹣y+2k=0.直线l与圆有公共点,则圆心C到直线l的距离,得,α∈[0,π),第24页共24页,∴α的取值范围是.(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为(x﹣2)2+y2=4,故其参数方程为(θ为参数).∵M(x,y)为曲线C上任意一点,∴,,∴,因此,的取值范围是[﹣2,6]. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣3|﹣|x+5|.(Ⅰ)求不等式f(x)≥2的解集;(Ⅱ)设函数f(x)的最大值为M,若不等式x2+2x+m≤M有解,求m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当x≥3时,f(x)=﹣8,此时f(x)≥2无解;…(1分)当﹣5<x<3时,f(x)=﹣2x﹣2,由f(x)≥2解得﹣5<x≤﹣2;…(3分)当x≤﹣5时,f(x)=8,此时f(x)≥2恒成立.…(4分)综上,不等式f(x)≥2的解集是{x|x≤﹣2}.…(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知…(6分)易知函数f(x)的最大值M=8,…(7分)若x2+2x+m≤8有解,得m≤﹣x2﹣2x+8有解.…(8分)即m≤[﹣(x+1)2+9]max=9.…(9分)第24页共24页,因此,m的取值范围是m≤9.…(10分) 第24页共24页
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