2019-2020学年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(文科)
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广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(文科) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x>1},B={x|﹣1<x<2}.则(∁RA)∩B=( )A.{x|x>﹣1}B.{x|﹣1<x≤1}C.{x|﹣1<x<2}D.{x|1<x<2}2.(5分)已知复数z满足(z﹣1)i=i﹣1,则|z|=( )A.B.C.2D.3.(5分)已知向量=(1,x),=(﹣1,3),若向量2+与向量平行,则x的值为( )A.﹣3B.0C.D.﹣4.(5分)在区间[1,4]上随机取一个数x,则事件“log4x≥”发生的概率为( )A.B.C.D.5.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=﹣45,a4=﹣41,则Sn取得最小值时n的值为( )A.23B.24或25C.24D.256.(5分)已知x,y满足不等式组,则z=2x+y的最大值为( )A.5B.6C.8D.97.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值是( )第21页共21页,A.B.﹣1C.﹣1﹣D.08.(5分)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为( )A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈9.(5分)已知函数f(x)=4﹣x2,y=g(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,g(x)=log2x,则函数f(x)•g(x)的大致图象为( )A.B.C.D.10.(5分)已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,且SA=SB=SC=1,AB=BC=AC=,则球的表面积为( )第21页共21页,A.12πB.8πC.4πD.3π11.(5分)对于实数a、b,定义运算“⊗”:a⊗b=,设f(x)=(2x﹣3)⊗(x﹣3),且关于x的方程f(x)=k(k∈R)恰有三个互不相同的实根,则k的取值范围为( )A.(0,2)B.(0,3)C.(0,2]D.(0,3]12.(5分)若圆(x﹣)2+(y﹣1)2=9与双曲线﹣=1(a>0,b>0)经过二、四象限的渐近线,交于A,B两点且|AB|=2,则此双曲线的离心率为( )A.B.C.2D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(5分)若sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα=,则cos2β= .14.(5分)在某班班委会成员选举中,已知张强、李明、王亮三位同学被选进了班委会,该班甲、乙、丙三位学生预言:甲:张强为班长,李明为生活委员;乙:王亮为班长,张强为生活委员;丙:李明为班长,张强为学习委员.班委会名单公布后发现,甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半,则公布的班长为 .15.(5分)递减的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S3=13,则a5= .16.(5分)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点F,与抛物线C相交于A,B两点,其中|BF|=3|AF|,则线段AB的长度为 . 三、解答题:本大题共5小题,共60分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.第21页共21页,17.(12分)已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且f(C)=2,c=,a=2,求△ABC的面积.18.(12分)如图,在三棱锥D﹣ABC中,DA=DB=DC,E为AC上的一点,DE⊥平面ABC,F为AB的中点.(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面DEF;(Ⅱ)若AD⊥DC,AC=4,∠BAC=45°,求四面体F﹣DBC的体积.19.(12分)随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司M的市场研究人员为了了解共享自行车的经营状况,对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计,得到如下数据:月份代码123456占有率(%)111316152021(Ⅰ)若月份代码x与市场占有率y具有线性相关性,用最小二乘法求得回归方程为=2x+a,求a的值,并预测第7个月的市场占有率;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,M公司的市场占有率有可能进一步提升,为满足市场需求,公司拟在采购一批自行车,现有采购成本分别为300元/辆和400元/辆的A、B两款车型可供选择,按规定每辆自行车最多可使用4年,但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同,考虑到公司运营的经济效益,该公司决定先对两款车型的自行车各100辆进行科学模拟测试,得到两款自行车使用寿命频数表如下:使用寿命1年2年3年4年第21页共21页,A款车15403510B款车5354020经测算,平均每辆自行车每年可以带来收入200元,不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每辆自行车的使用寿命都是整数年,如果你是M公司的负责人,以每辆自行车产生的平均利润作为决策依据,你会选择采购哪款车型?20.(12分)在直角坐标系xOy中,已知点F(1,0),直线l:x=4,动点P到点F的距离到直线l的距离的比值为.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程C;(Ⅱ)若A1(﹣2,0),A2(2,0),斜率不为0且过F的直线与曲线C相交于M,N两点,求证:直线A1M,A2N的交点在直线l:x=4上.21.(12分)设函数f(x)=xlnx﹣ax+1,g(x)=﹣2x3+3x2﹣x+.(Ⅰ)求函数f(x)在[,e]上有两个零点,求a的取值范围;(Ⅱ)求证:当x∈[,+∞)时,f(x)+ax>g(x). [选修4-4:坐标系与参数方程选讲]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2.(Ⅰ)求C2的极坐标方程;(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣3|﹣|x+5|.(Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集;(Ⅱ)设函数f(x)的最大值为M,若不等式x2+2x+m≥M恒成立,求m的取值范围. 第21页共21页,第21页共21页,广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x>1},B={x|﹣1<x<2}.则(∁RA)∩B=( )A.{x|x>﹣1}B.{x|﹣1<x≤1}C.{x|﹣1<x<2}D.{x|1<x<2}【解答】解:∵集合A={x|x>1},∴∁RA={x|x≤1},∵B={x|﹣1<x<2},∴(∁RA)∩B={x|﹣1<x≤1},故选B. 2.(5分)已知复数z满足(z﹣1)i=i﹣1,则|z|=( )A.B.C.2D.【解答】解:由(z﹣1)i=i﹣1,得z==2+i,∴|z|=.故选:D. 3.(5分)已知向量=(1,x),=(﹣1,3),若向量2+与向量平行,则x的值为( )A.﹣3B.0C.D.﹣【解答】解:∵向量=(1,x),=(﹣1,3),∴2+=2(1,x)+(﹣1,3)=(1,2x+3)第21页共21页,∵2+与向量平行,∴3=﹣2x﹣3,解得x=﹣3,故选:A 4.(5分)在区间[1,4]上随机取一个数x,则事件“log4x≥”发生的概率为( )A.B.C.D.【解答】解:由log4x≥,得x≥2,∴在区间[1,4]上随机取一个数x,事件“log4x≥”发生的概率为P=.故选:B. 5.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=﹣45,a4=﹣41,则Sn取得最小值时n的值为( )A.23B.24或25C.24D.25【解答】解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=﹣45,a4=﹣41,∴,解得a1=﹣47,d=2,∴Sn=﹣47n+=n2﹣48n=(n﹣24)2﹣576.∴Sn取得最小值时n的值为24.故选:C. 6.(5分)已知x,y满足不等式组,则z=2x+y的最大值为( )A.5B.6C.8D.9第21页共21页,【解答】解:由x,y满足不等式组,作出可行域如图,联立,解得A(4,0),化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z,由图可知,当直线y=﹣2x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为2×4+0=8.故选:C. 7.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值是( )A.B.﹣1C.﹣1﹣D.0第21页共21页,【解答】解:本题为直到型循环结构的程序框图,由框图的流程知:算法的功能是求S=cos+cosπ+…+cos的值,∵y=cos的周期为4,2017=504×4+1∴输出S=504×(cos+cosπ+cos+cos2π)+cos=0故选:D 8.(5分)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为( )A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈【解答】解:三棱柱的底面是边长为3,高为1的等腰三角形.三棱柱的高为2.∴三棱柱的体积V=.两个相同的四棱锥合拼,可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥,其高为1.∴体积V==2.该刍甍的体积为:3+2=5.故选:B. 第21页共21页,9.(5分)已知函数f(x)=4﹣x2,y=g(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,g(x)=log2x,则函数f(x)•g(x)的大致图象为( )A.B.C.D.【解答】解:因为函数f(x)=4﹣x2为偶函数,y=g(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x)•g(x)为奇函数,图象关于原点对称,所∞以排除A,B.当x→+∞时,g(x)=log2x>0,f(x)=4﹣x2<0.所以此时f(x)•g(x)<0.所以排除C,选D.故选D. 10.(5分)已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,且SA=SB=SC=1,AB=BC=AC=,则球的表面积为( )A.12πB.8πC.4πD.3π【解答】解:三棱锥S﹣ABC中,SA=SB=SC=1,AB=BC=AC=,∴共顶点S的三条棱两两相互垂直,且其长均为1,三棱锥的四个顶点同在一个球面上,三棱锥是正方体的一个角,扩展为正方体,三棱锥的外接球与正方体的外接球相同,正方体的对角线就是球的直径,所以球的直径为:,半径为,外接球的表面积为:4π×()2=3π.故选:D. 11.(5分)对于实数a、b,定义运算“⊗”:a⊗b=,设f(x)=(2x﹣3)⊗(x﹣3),且关于x的方程f(x)=k(k∈第21页共21页,R)恰有三个互不相同的实根,则k的取值范围为( )A.(0,2)B.(0,3)C.(0,2]D.(0,3]【解答】解:∵a⊗b=,∴f(x)=(2x﹣3)⊗(x﹣3)=,其图象如下图所示:由图可得,要使关于x的方程f(x)=k(k∈R)恰有三个互不相同的实根,则k∈(0,3),故选:B. 12.(5分)若圆(x﹣)2+(y﹣1)2=9与双曲线﹣=1(a>0,b>0)经过二、四象限的渐近线,交于A,B两点且|AB|=2,则此双曲线的离心率为( )A.B.C.2D.【解答】解:依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0,∵|AB|=2,圆的圆心为(,1),半径为3,∴圆心到渐近线的距离为=,即=,第21页共21页,解得b=a,∴c==a,∴双曲线的离心率为e==.故选:A. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(5分)若sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα=,则cos2β= ﹣ .【解答】解:∵sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα=sin[(α+β)﹣α]=sinβ=,则cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2•=﹣,故答案为:﹣. 14.(5分)在某班班委会成员选举中,已知张强、李明、王亮三位同学被选进了班委会,该班甲、乙、丙三位学生预言:甲:张强为班长,李明为生活委员;乙:王亮为班长,张强为生活委员;丙:李明为班长,张强为学习委员.班委会名单公布后发现,甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半,则公布的班长为 王亮 .【解答】解:假设张强为班长,由甲对一半得:李明不为生活委员,即李明是学习委员,则王亮为生活委员;这与乙对一半矛盾;假设王亮为班长,由乙对一半得:张强不为生活委员,即张强是学习委员,则李明为生活委员;甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半,假设李明为班长,由丙对一半得:张强为不学习委员,即张强为生活委员,这与甲对一般矛盾,综上可得:公布的班长为王亮,故答案为:王亮第21页共21页, 15.(5分)递减的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S3=13,则a5= .【解答】解:由{an}是递减的等比数列,a2=3,S3=13,即a1q=3…①,a1+a2+a3=13,∴.…②由①②解得:q=,a1=9.那么a5=.故答案为:. 16.(5分)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点F,与抛物线C相交于A,B两点,其中|BF|=3|AF|,则线段AB的长度为 .【解答】解:如图,抛物线C:x2=4y的焦点F(0,1),设l所在直线方程为x=k(y﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2)联立,得k2y2﹣(2k2+4)y+k2=0,∴y1y2=1,①∵|BF|=3|AF|,∴y2+1=3(y1+1),②由①②解得y1=,y2=3,∴|AB|=y1+y2+2=+3+2=,故答案为:第21页共21页, 三、解答题:本大题共5小题,共60分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.17.(12分)已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且f(C)=2,c=,a=2,求△ABC的面积.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx.=cos2x+1+sin2x,=2sin(2x+)+1,则函数的最大值f(x)max=3.(Ⅱ)△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且f(C)=2,则:,解得:C=,由于:c=,a=2,利用余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC,解得:b=3(负值舍去).则:. 18.(12分)如图,在三棱锥D﹣ABC中,DA=DB=DC,E为AC上的一点,DE⊥平面ABC,F为AB的中点.第21页共21页,(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面DEF;(Ⅱ)若AD⊥DC,AC=4,∠BAC=45°,求四面体F﹣DBC的体积.【解答】证明:(Ⅰ)∵DE⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,∴AB⊥DE,又F为AB的中点,DA=DB,∴AB⊥DF,DE,DF⊂平面DEF,DE∩DF=D,∴AB⊥平面DEF,又∵AB⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面DEF.(Ⅱ)∵DA=DB=DC,E为AC上的一点,DE⊥平面ABC,∴线段DA、DB、DC在平面ABC的摄影EA,EB,EC满足EA=EB=EC∴△ABC为直角三角形,即AB⊥BC由AD⊥DC,AC=4,∠BAC=45°,∴AB=BC=2,DE=2,∴S△FBC==2,∴四面体F﹣DBC的体积VF﹣DBC=VD﹣FBC==. 19.(12分)随着“互联网+第21页共21页,交通”模式的迅猛发展,“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司M的市场研究人员为了了解共享自行车的经营状况,对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计,得到如下数据:月份代码123456占有率(%)111316152021(Ⅰ)若月份代码x与市场占有率y具有线性相关性,用最小二乘法求得回归方程为=2x+a,求a的值,并预测第7个月的市场占有率;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,M公司的市场占有率有可能进一步提升,为满足市场需求,公司拟在采购一批自行车,现有采购成本分别为300元/辆和400元/辆的A、B两款车型可供选择,按规定每辆自行车最多可使用4年,但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同,考虑到公司运营的经济效益,该公司决定先对两款车型的自行车各100辆进行科学模拟测试,得到两款自行车使用寿命频数表如下:使用寿命1年2年3年4年A款车15403510B款车5354020经测算,平均每辆自行车每年可以带来收入200元,不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每辆自行车的使用寿命都是整数年,如果你是M公司的负责人,以每辆自行车产生的平均利润作为决策依据,你会选择采购哪款车型?【解答】解:(I)==,==16,把(,16)代入=2x+a得16=7+a,∴a=9.回归方程为=2x+9,当x=7时,=23.∴预测第7个月的市场占有率为23%.(II)A款车的利润为+++=180,B款车的利润为×(200﹣400)+×(400﹣400)+×(600﹣200)+第21页共21页,×(800﹣400)=150.∴采购A款车较合理. 20.(12分)在直角坐标系xOy中,已知点F(1,0),直线l:x=4,动点P到点F的距离到直线l的距离的比值为.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程C;(Ⅱ)若A1(﹣2,0),A2(2,0),斜率不为0且过F的直线与曲线C相交于M,N两点,求证:直线A1M,A2N的交点在直线l:x=4上.【解答】(Ⅰ)解:设P(x,y),P到直线l的距离为d,由题意可得=,即为=,两边平方可得x2+y2﹣2x+1=(x2﹣8x+16),即为3x2+4y2=12,即有+=1,动点P的轨迹方程C为+=1;(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)曲线C为椭圆,A1(﹣2,0),A2(2,0)为椭圆的左右顶点,F(1,0)为椭圆的右焦点,设过F的直线为x=my+1,交点M(x1,y1),N(x2,y2),由消去x可得(4+3m2)y2+6my﹣9=0,则y1+y2=,y1y2=,由已知可得k=,可得直线A1M:y=(x+2),①第21页共21页,同理可得直线A2N:y=(x﹣2),②联立方程①②,可得x=======4.所以直线A1M,A2N的交点在直线l:x=4上. 21.(12分)设函数f(x)=xlnx﹣ax+1,g(x)=﹣2x3+3x2﹣x+.(Ⅰ)求函数f(x)在[,e]上有两个零点,求a的取值范围;(Ⅱ)求证:当x∈[,+∞)时,f(x)+ax>g(x).【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=xlnx﹣ax+1,的定义域为:x>0,f′(x)=lnx+1﹣a,由题意可知函数不可能是单调函数,∴f′(x)=0,可得x=ea﹣1,当x>ea﹣1时,f′(x)>0;x∈(0,ea﹣1)时,f′(x)<0,函数f(x)在[,e]上有两个零点,可得:,解得:1.函数f(x)在[,e]上有两个零点,a的取值范围:(1,1+];第21页共21页,(Ⅱ)证明:当x∈[,+∞)时,要证f(x)+ax>g(x).只要证明xlnx+1>g(x),先证明xlnx+1≥x,构造函数F(x)=xlnx+1﹣x,∵F′(x)=1+lnx﹣1=lnx,当x=1时,F′(x)=0,当0<x<1时,F′(x)<0,函数是减函数当x>1时,F′(x)>0,函数是增函数;∴F(x)>F(1)=0,即证xlnx+1≥x,等号成立的条件是当且仅当x=1;再证当x∈[),g(x)≤x.构造函数G(x)=x﹣g(x)=2(x﹣)3.∵G′(x)=6(x﹣)2≥0,∴G(x)是增函数,∴G(x)≥G()=0,即证g(x)≤x,等号成立的条件是当且仅当x=.∴x∈[,+∞)时,f(x)+ax>g(x). [选修4-4:坐标系与参数方程选讲]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2.(Ⅰ)求C2的极坐标方程;(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的参数方程为(α为参数),转化为直角坐标方程为:x2+y2=1,曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2.即:,故C2的直角坐标方程为:.转化为极坐标方程为:.第21页共21页,(Ⅱ)曲线C1的参数方程为(α为参数),转化为极坐标方程为ρ1=1,由题意得到:A(1,),将B(ρ,)代入坐标方程:.得到,则:|AB|=. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣3|﹣|x+5|.(Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集;(Ⅱ)设函数f(x)的最大值为M,若不等式x2+2x+m≥M恒成立,求m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)x≥3时,f(x)=﹣8,此时f(x)≤2恒成立,﹣5<x<3时,f(x)=﹣2x﹣2,由f(x)≤2,解得:﹣2≤x<3,x≤﹣5时,f(x)=8,此时f(x)≤2,无解,综上,f(x)≤2的解集是{x|x≥﹣2};(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=,易知函数的最大值是8,若x2+2x+m≥8恒成立,得m≥﹣x2﹣2x+8恒成立,即m≥﹣(x+1)2+9,故m≥9. 第21页共21页
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