2019-2020学年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（理科）

广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（理科）　一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁RA）∩B=（　　）A．{0}B．{2}C．{2，4}D．{0，1，2}2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a﹣b=（　　）A．﹣1B．1C．2D．﹣33．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）A．B．C．D．4．（5分）已知=（2sin13°，2sin77°），|﹣|=1，与﹣的夹角为，则•=（　　）A．2B．3C．4D．55．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点在直线x+y=5上，则双曲线的渐近线方程为（　　）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（　　）第24页共24页,A．7B．C．D．7．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（　　）A．16B．20C．24D．488．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，3），B（3，2），C（1，1），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）内，设=m﹣n（m，n∈R），则2m+n的最大值为（　　）A．﹣1B．1C．2D．39．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（　　）第24页共24页,A．B．C．﹣D．10．（5分）已知有穷数列{an}中，n=1，2，3，…，729．且an=（2n﹣1）•（﹣1）n+1．从数列{an}中依次取出a2，a5，a14，…．构成新数列{bn}，容易发现数列{bn}是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列．记数列{an}的所有项的和为S，数列{bn}的所有项的和为T，则（　　）A．S＞TB．S=TC．S＜TD．S与T的大小关系不确定11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，中心为O，=，=，则四面体OEBF的体积为（　　）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（　　）A．0＜a≤1B．a＜1C．0＜a＜1D．a≥1　二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn+1）=n+1，则数列{an}第24页共24页,的通项公式为　　．14．（5分）在（1+2x）7的展开式中，是第　　项的二项式系数，第3项的系数是　　．15．（5分）已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为　　．16．（5分）已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点．若|MN|为定值，则的值是　　．　三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2．（1）求角C的值；（2）求sinB﹣cosA的取值范围．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，CD=2，BC=1，E，F是平面ABCD同一侧两点，EA∥FC，AE⊥AB，EA=2，DE=，FC=1．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BD﹣F的正弦值．第24页共24页,19．（12分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：井号I123456坐标（x，y）（km）（2，30）（4，40）（5，60）（6，50）（8，70）（1，y）钻探深度（km）2456810出油量（L）407011090160205（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：=，=﹣，=94，=945）（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•=．（1）求弦AB的长；（2）当直线l的斜率k=，且直线l′∥l时，l′交椭圆于P，Q，若点A在第一象限，求证：直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．21．（12分）已知α，β是方程4x2﹣4tx﹣1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f（x）=的定义域为[α，β]（1）当t=0时，求函数f（x）的最值第24页共24页,（2）试判断函数f（x）在区间[α，β]的单调性（3）设g（t）=f（x）max﹣f（x）min，试证明：对于α，β，γ∈（0，），若sinα+sinβ+sinγ=1，则++＜（参考公式：≥（a，b，c＞0），当且仅当a=b=c时等号成立）　请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分[选修4—4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．　[选修4-5：不等式证明]23．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a（1）当a=0时，求不等式f（x）≥g（x）的解集（2）若存在实数x，使得g（x）≤f（x）成立，求实数a的取值范围．　第24页共24页,广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁RA）∩B=（　　）A．{0}B．{2}C．{2，4}D．{0，1，2}【解答】解：根据题意，集合A={0，1}，则B={y|y=2x，x∈A}={0，2}，则（∁RA）∩B={2}；故选：B．　2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a﹣b=（　　）A．﹣1B．1C．2D．﹣3【解答】解：由=，得a=﹣1，b=2，∴a﹣b=﹣1﹣2=﹣3．故选：D．　3．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）第24页共24页,A．B．C．D．【解答】解：设正方形边长为2，则正方形面积为4，正方形内切圆中的黑色部分的面积S=．∴在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是P=．故选：C．　4．（5分）已知=（2sin13°，2sin77°），|﹣|=1，与﹣的夹角为，则•=（　　）A．2B．3C．4D．5【解答】解：=（2sin13°，2sin77°）=（2sin13°，2cos13°），||=2，|﹣|=1，与﹣的夹角为，所以==﹣，1=4﹣，∴•=3，故选：B．　5．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点在直线x+y=5上，则双曲线的渐近线方程为（　　）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，则其焦点在x轴上，直线x+y=5与x轴交点的坐标为（5，0），则双曲线的焦点坐标为（5，0），则有9+m=25，解可得，m=16，第24页共24页,则双曲线的方程为：﹣=1，其渐近线方程为：y=±x，故选：B．　6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（　　）A．7B．C．D．【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个三棱锥，正方体的边长为2，三棱锥的三个侧棱长为1，则该几何体的体积V==8﹣=，故选：D　第24页共24页,7．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（　　）A．16B．20C．24D．48【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．　8．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，3），B（3，2），C（1，1），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）内，设=m﹣n（m，n∈R），则2m+n的最大值为（　　）A．﹣1B．1C．2D．3【解答】解：=（1，﹣1），=（1，2），=（x，y），∵=m﹣n，∴，∴2m+n=x﹣y，作出平面区域如图所示：第24页共24页,令z=x﹣y，则y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点B（3，2）时，截距最小，即z最大．∴z的最大值为3﹣2=1．即2m+n的最大值为1．故选：B．　9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（　　）A．B．C．﹣D．【解答】解：由图象可得A=3，=4（﹣），解得ω=2，故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，故sin（+φ）=﹣1，+φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），第24页共24页,∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，∵α∈（0，），∴2α+∈（，），∴cos（2）=﹣=﹣，故选：C．　10．（5分）已知有穷数列{an}中，n=1，2，3，…，729．且an=（2n﹣1）•（﹣1）n+1．从数列{an}中依次取出a2，a5，a14，…．构成新数列{bn}，容易发现数列{bn}是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列．记数列{an}的所有项的和为S，数列{bn}的所有项的和为T，则（　　）A．S＞TB．S=TC．S＜TD．S与T的大小关系不确定【解答】解：S=1﹣3+5﹣…﹣（2×728﹣1）+（2×729﹣1）=﹣728+2×729﹣1=729．由|﹣3×（﹣3）n﹣1|≤2k﹣1，k≤729，解得：n≤6，可取n=6，﹣3×（﹣3）5=729=（2×365﹣1）×（﹣1）366，∴T==546．∴S＞T．故选：A．　11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，中心为O，=，=，则四面体OEBF的体积为（　　）第24页共24页,A．B．C．D．【解答】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则O（），B（1，1，0），E（1，0，），F（，1，0），则||=，||=，，∴cos∠BOE=．∴sin∠BOE=．∴S△OEB=．设平面OEB的一个法向量为，由，取z=1，得．又，∴F到平面OEB的距离h==．∴四面体OEBF的体积V==．故选：D．第24页共24页,　12．（5分）已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（　　）A．0＜a≤1B．a＜1C．0＜a＜1D．a≥1【解答】解：∵f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）+x]=4，∴必存在唯一的正实数a，满足f（x）+x=a，f（a）=4①，∴f（a）+a=a②，由①②得：4+a=a，即a=a﹣4，∴a=（）a﹣4，解得a=3．故f（x）+x=a=3，∴f（x）=3﹣x，由方程|f（x）﹣3|=a在区间（0，3]上有两解，即有|x|=a在区间（0，3]上有两解，作出y=|x|的图象，如图所示：第24页共24页,，结合题意，0＜a≤1，故选：A．　二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn+1）=n+1，则数列{an}的通项公式为　　．【解答】解：由log2（Sn+1）=n+1，得Sn+1=2n+1，当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n，所以数列{an}的通项公式为an=．故答案为：．　14．（5分）在（1+2x）7的展开式中，是第　3　项的二项式系数，第3项的系数是　84　．【解答】解：（1+2x）7的展开式的通项为，当r=2时，可得．∴是第3项的二项式系数，第3项的系数是84．故答案为：3，84．第24页共24页,　15．（5分）已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为　（，+∞）　．【解答】解：函数f（x）=ex﹣mx+1的导数为f′（x）=ex﹣m，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，即有ex﹣m=﹣有解，即m=ex+，由ex＞0，则m＞，则实数m的范围为（，+∞），故答案为：（，+∞）．　16．（5分）已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点．若|MN|为定值，则的值是　2　．【解答】解：当点P为（0，b）时，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线分别为+b，+b，联立可得M（b，），同理可得N（﹣b，），|MN|=2b．当点P为（a，0）时，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线分别为﹣，+，联立可得M（，），同理可得N（，﹣），），|MN|=．若|MN|为定值，则2b=，⇒，∴则的值是2．第24页共24页,故答案为：2．　三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2．（1）求角C的值；（2）求sinB﹣cosA的取值范围．【解答】解：（1）△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2，可得4×absinC=a2+b2﹣c2，即有cosC===sinC，则tanC==，由0＜C＜π，可得C=；（2）由A+B=π﹣C=，即B=﹣A，sinB﹣cosA=sin（﹣A）﹣cosA=cosA+sinA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣），由0＜A＜，可得﹣＜A﹣＜，则﹣＜sin（A﹣）≤1，即有sinB﹣cosA的取值范围是（﹣，1]．　18．（12分）如图，在矩形ABCD中，CD=2，BC=1，E，F是平面ABCD同一侧两点，EA∥FC，AE⊥AB，EA=2，DE=，FC=1．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；第24页共24页,（2）求二面角E﹣BD﹣F的正弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD．∵AE⊥AB，CD∥AB，∴CD⊥AE．又AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵CD⊂平面CDF，∴平面CDF⊥平面ADE．…（4分）解：（1）∵BC=1，EA=2，DE=，∴DE2=AD2+AE2，∴AE⊥AD，又AE⊥AB，AB∩AD=A，∴AE⊥平面ABCD．…（6分）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（1，2，0），F（0，2，1），E（1，0，2）．∴=（1，2，0），=（0，2，1），设平面BDF的一个法向量=（x，y，z），由，令x=2，得=（2，﹣1，2）．同理可求得平面BDE的一个法向量=（2，﹣1，﹣1），∴cos＜＞===，…（10分）∴sin＜＞=．故二面角E﹣BD﹣F的正弦值为．…（12分）第24页共24页,　19．（12分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：井号I123456坐标（x，y）（km）（2，30）（4，40）（5，60）（6，50）（8，70）（1，y）钻探深度（km）2456810出油量（L）407011090160205（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：=，=﹣，=94，=945）（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）利用前5组数据得到=（2+4+5+6+8）=5，=（30+40+60+50+70）=50，∵y=6.5x+a，∴a=50﹣6.5×5=17.5，第24页共24页,∴回归直线方程为y=6.5x+17.5，当x=1时，y=6.5+17.5=24，∴y的预报值为24．（Ⅱ）∵=4，=46.25，=84，=945，∴==≈6.83，∴=46.25﹣6.83×4=18.93，即=6.83，=18.93，b=6.5，a=17.5，≈5%，≈8%，均不超过10%，∴可使用位置最接近的已有旧井6（1，24）．（Ⅲ）由题意，1、3、5、7这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，∴勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，P（X=k）=，可得P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=．∴X的分布列为：X234PEX=2×+3×+4×=．　20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•=．（1）求弦AB的长；（2）当直线l的斜率k=，且直线l′∥l时，l′交椭圆于P，Q，若点A在第一象限，求证：直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．第24页共24页,【解答】解：（1）由题意可知：2c=2，c=，设F（，0），A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），则M（，），N（，﹣），由•==，则x02+y02=5，则丨AB丨=2=2，（2）由直线l的斜率k=时，且l′∥l，则l：y=x，设l′：y=x+m，y0=x0，由x02+y02=5，则A（2，1），由c=，代入椭圆方程解得：a=2，c=，∴椭圆的方程：，联立，整理得x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则k1=，k2=．由x2+2mx+2m2﹣4=0，可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，k1+k2=•=====0．即k1+k2=0．直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．　21．（12分）已知α，β是方程4x2﹣4tx﹣1=0（t∈第24页共24页,R）的两个不等实根，函数f（x）=的定义域为[α，β]（1）当t=0时，求函数f（x）的最值（2）试判断函数f（x）在区间[α，β]的单调性（3）设g（t）=f（x）max﹣f（x）min，试证明：对于α，β，γ∈（0，），若sinα+sinβ+sinγ=1，则++＜（参考公式：≥（a，b，c＞0），当且仅当a=b=c时等号成立）【解答】解：（1）当t=0时，方程4x2﹣1=0的两实根为，f（x）=．，当时，f′（x）＞0，f（x）在为单调递增函数，∴f（x）的最小值为，f（x）的最大值为；（2）由题知：x∈[α，β]时，4x2﹣4tx﹣1＜0，所以f′（x）＞0，f（x）在区间[α，β]为单调递增函数．（3）证明：由（2）知，又由题得：，∴，，第24页共24页,=，（，∴，由于等号不能同时成立，故得证++＜．　请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分[选修4—4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，可得：4x+3y﹣8=0；由圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0），可得ρ2=ρasinθ，根据ρsinθ=y，ρ2=x2+y2可得圆C的直角坐标系方程为：x2+y2﹣ay=0，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆C的圆心为（0，）半径r=，直线方程为4x+3y﹣8=0；那么：圆心到直线的距离d==第24页共24页,直线l截圆C的弦长为=2解得：a=32或a=故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时a的值为32或．　[选修4-5：不等式证明]23．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a（1）当a=0时，求不等式f（x）≥g（x）的解集（2）若存在实数x，使得g（x）≤f（x）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|x+1|≥2|x|，两边平方整理得3x2﹣2x﹣1≤0，解得所以原不等式的解集为…（4分）（2）由g（x）≤f（x）得a≤|x+1|﹣2|x|，令h（x）=|x+1|﹣2|x|，则，作出函数的图象，得h（x）max=h（0）=1从而实数a的取值范围为（﹣∞，1]…（10分）　第24页共24页