2019-2020学年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)
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陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={x|﹣1<x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于( )A.{2}B.{1,2,3}C.{﹣1,0,1,2,3}D.{0,1,2,3}2.(5分)若向量=(1,1),=(2,5),=(3,x)满足条件(8﹣)•=30,则x=( )A.6B.5C.4D.33.(5分)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )A.13B.35C.49D.634.(5分)按下面的流程图进行计算.若输出的x=202,则输入的正实数x值的个数最多为( )A.2B.3C.4D.55.(5分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为( )A.B.C.D.6.(5分)已知曲线,则下列说法正确的是( )A.把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2B.把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移第22页共22页,,得到曲线C2C.把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C2D.把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C27.(5分)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为( )A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈8.(5分)曲线f(x)=x3﹣(x>0)上一动点P(x0,f(x0))处的切线斜率的最小值为( )A.B.3C.2D.69.(5分)已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的直径为( )A.13B.C.D.10.(5分)设x,y满足约束条件,若目标函数的取值范围[m,n]恰好是函数y=2sinωx(ω>0)的一个单调递增区间,则ω的值为( )A.B.C.D.11.(5分)已知F1,F2是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左右焦点,过点F2第22页共22页,与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(,2)C.(,)D.(1,)12.(5分)对于函数f(x)和g(x),设α∈{x∈R|f(x)=0},β∈{x∈R|g(x)=0},若存在α、β,使得|α﹣β|≤1,则称f(x)与g(x)互为“零点关联函数”.若函数f(x)=ex﹣1+x﹣2与g(x)=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”,则实数a的取值范围为( )A.B.C.[2,3]D.[2,4] 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)若角α的终边经过点P,则sinαtanα的值是 .14.(5分)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是 .15.(5分)设l,m是不同的直线,α,β,γ是不同的平面,则下列命题正确的是 .①若l⊥m,m⊥α,则l⊥α或l∥α②若l⊥γ,α⊥γ,则l∥α或l⊂α③若l∥α,m∥α,则l∥m或l与m相交④若l∥α,α⊥β,则l⊥β或l⊂β16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是 . 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知第22页共22页,,(I)求角A的大小;(II)若a=2,求的面积S的最大值.18.(12分)数列{an}满足.(1)证明:数列是等差数列;(2)若,求T2n.19.(12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB=,且M是BD的中点.(1)求证:EM∥平面ADF;(2)求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小.20.(12分)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点k,过点k做圆C:(x﹣5)2+y2=9的两条切线,切点为.(1)求抛物线E的方程;(2)若直线AB是讲过定点Q(2,0)的一条直线,且与抛物线E交于A,B两点,过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G,D两点,求四边形AGBD面积的最小值.21.(12分)已知函数,记F(x)=f(x)﹣g(x).(1)求证:F(x)在区间(1,+∞)内有且仅有一个实根;(2)用min{a,b}表示a,b中的最小值,设函数m(x)=min{f(x),g(x)},若方程m(x)=c在区间(1,+∞)内有两个不相等的实根x1,x2(x1<x2),记F(x)在(1,+∞)内的实根为x0.求证:. 第22页共22页,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为,且l过点A,曲线C1的参考方程为(θ为参数).(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值;(2)过点B(﹣2,2)与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M,N两点,求|BM|•|BN|的值. [选修4-5:不等式选讲]23.设a>0,b>0,且.求证:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. 第22页共22页,陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={x|﹣1<x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于( )A.{2}B.{1,2,3}C.{﹣1,0,1,2,3}D.{0,1,2,3}【解答】解:∵A={x|﹣1<x≤2,x∈N}={0,1,2},集合B={2,3},∴A∪B={0,1,2,3},故选:D. 2.(5分)若向量=(1,1),=(2,5),=(3,x)满足条件(8﹣)•=30,则x=( )A.6B.5C.4D.3【解答】解:∵向量=(1,1),=(2,5),∴∴∴x=4.故选C. 3.(5分)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )A.13B.35C.49D.63【解答】解:因为a1+a7=a2+a6=3+11=14,所以故选C.第22页共22页, 4.(5分)按下面的流程图进行计算.若输出的x=202,则输入的正实数x值的个数最多为( )A.2B.3C.4D.5【解答】解:程序框图的用途是数列求和,当x>100时结束循环,输出x的值为202:当202=3x+1,解得x=67;即输入x=67时,输出结果202.202=3(3x+1)+1,解得x=22;即输入x=22时,输出结果202.202=3(3(3x+1)+1)+1.即201=3(3(3x+1)+1),∴67=3(3x+1)+1,即22=3x+1,解得x=7,输入x=7时,输出结果202.202=3(3(3(3x+1)+1)+1)+1.解得x=2,输入x=2时,输出结果202.202=3(3(3(3(3x+1)+1)+1)+1)+1.解得x=,输入x=时,输出结果202.共有5个不同的x值,故选D. 5.(5分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为( )A.B.C.D.【解答】解:∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x,F1(﹣c,0),∴﹣c+x=0,∴x=c;∴P与F2的横坐标相等,∴PF2⊥x轴,∵∠PF1F2=30°,第22页共22页,∴PF2=,∵PF1+PF2=2a,∴PF2=,tan∠PF1F2===,∴=,∴e==.故选:A. 6.(5分)已知曲线,则下列说法正确的是( )A.把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2B.把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2C.把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C2D.把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C2【解答】解:根据曲线=sin(x﹣),把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,可得y=sin(x)的图象;再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2:y=sin(x﹣)的图象,故选:B. 7.(5分)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为( )第22页共22页,A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈【解答】解:三棱柱的底面是边长为3,高为1的等腰三角形.三棱柱的高为2.∴三棱柱的体积V=.两个相同的四棱锥合拼,可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥,其高为1.∴体积V==2.该刍甍的体积为:3+2=5.故选:B. 8.(5分)曲线f(x)=x3﹣(x>0)上一动点P(x0,f(x0))处的切线斜率的最小值为( )A.B.3C.2D.6【解答】解:f(x)=x3﹣(x>0)的导数f′(x)=3x2+,∴在该曲线上点(x0,f(x0))处切线斜率k=3x02+,由函数的定义域知x0>0,∴k≥2=2,当且仅当3x02=,即x02=时,等号成立.∴k的最小值为2.第22页共22页,故选:C. 9.(5分)已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的直径为( )A.13B.C.D.【解答】解:因为直三棱柱中,AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13.故选:A. 10.(5分)设x,y满足约束条件,若目标函数的取值范围[m,n]恰好是函数y=2sinωx(ω>0)的一个单调递增区间,则ω的值为( )A.B.C.D.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:则z的几何意义为区域内的点D(﹣2,0)的斜率,由图象知DB的斜率最小,DA的斜率最大,由,解得A(﹣1,2),第22页共22页,则DA的斜率kDA==2,由,解得B(﹣1,﹣2),则DB的斜率kDB==﹣2,则﹣2≤z≤2,目标函数的取值范围[﹣2,2]恰好是函数y=2sinωx(ω>0)的一个单调递增区间,可得2ω=,解得ω=,故选:C. 11.(5分)已知F1,F2是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(,2)C.(,)D.(1,)【解答】解:双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x,不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=(x﹣c),与y=﹣x联立,可得交点M(,﹣),∵点M在以线段F1F2为直径的圆外,第22页共22页,∴|OM|>|OF2|,即有+>c2,∴>3,即b2>3a2,∴c2﹣a2>3a2,即c>2a.则e=>2.∴双曲线离心率的取值范围是(2,+∞).故选A. 12.(5分)对于函数f(x)和g(x),设α∈{x∈R|f(x)=0},β∈{x∈R|g(x)=0},若存在α、β,使得|α﹣β|≤1,则称f(x)与g(x)互为“零点关联函数”.若函数f(x)=ex﹣1+x﹣2与g(x)=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”,则实数a的取值范围为( )A.B.C.[2,3]D.[2,4]【解答】解:函数f(x)=ex﹣1+x﹣2的零点为x=1.设g(x)=x2﹣ax﹣a+3的零点为β,若函数f(x)=ex﹣1+x﹣2与g(x)=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”,根据零点关联函数,则|1﹣β|≤1,∴0≤β≤2,如图.由于g(x)=x2﹣ax﹣a+3必过点A(﹣1,4),故要使其零点在区间[0,2]上,则g(0)×g(2)≤0或,解得2≤a≤3,第22页共22页,故选C. 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)若角α的终边经过点P,则sinαtanα的值是 .【解答】解:OP=r==1,∴点P在单位圆上,∴sinα=,tanα=,得sinαtanα=()×()=.故答案为. 14.(5分)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是 丙 .【解答】解:若甲是获奖的歌手,则都说假话,不合题意.若乙是获奖的歌手,则甲、乙、丁都说真话,丙说假话,不符合题意.若丁是获奖的歌手,则甲、丁、丙都说假话,乙说真话,不符合题意.故答案为:丙. 第22页共22页,15.(5分)设l,m是不同的直线,α,β,γ是不同的平面,则下列命题正确的是 ② .①若l⊥m,m⊥α,则l⊥α或l∥α②若l⊥γ,α⊥γ,则l∥α或l⊂α③若l∥α,m∥α,则l∥m或l与m相交④若l∥α,α⊥β,则l⊥β或l⊂β【解答】解:①.若l⊥m,m⊥α,则l⊂α或l∥α,故①错;②由面面垂直的性质定理知,若l⊥γ,α⊥γ,则l∥α或l⊂α,故②对;③若l∥α,m∥α,则l∥m或l与m相交,或l与m异面,故③错;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β或l⊂β或l∥β或l⊂β,或l与β相交.故④错.故答案为:② 16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是 (e+e﹣1) .【解答】解:设切点坐标为(m,em).∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣em=em(x﹣m).令x=0,解得y=(1﹣m)em.过点P作l的垂线的切线方程为y﹣em=﹣e﹣m(x﹣m).令x=0,解得y=em+me﹣m.∴线段MN的中点的纵坐标为t=[(2﹣m)em+me﹣m].t'=[﹣em+(2﹣m)em+e﹣m﹣me﹣m],令t'=0解得:m=1.当m∈(0,1)时,t'>0,当m∈(1,+∞)时,t'<0.∴当m=1时t取最大值(e+e﹣1).故答案为:(e+e﹣1). 第22页共22页,三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,(I)求角A的大小;(II)若a=2,求的面积S的最大值.【解答】解:(I)已知,正弦定理化简可得:,即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC∵0<C<π,sinC≠0,∴cosA=1.即cosA=.∴A=.(II)∵a=2,A=.余弦定理:a2=b2+c2﹣2bccosA可得:b2+c2=4+bc.∴4+bc≥2bc,当且仅当b=c时取等号.解得:bc≤2(2+)那么三角形面积S=bcsinA≤=. 18.(12分)数列{an}满足.(1)证明:数列是等差数列;(2)若,求T2n.【解答】证明:(1)由已知可得,即,第22页共22页,∴是以为首项,1为公差的等差数列.解:(2)由(1)得,∴,∵,∴T2n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=12﹣22+32﹣42+(2n﹣1)2﹣(2n)2,=﹣(2﹣1)(2+1)+(4﹣3)(4+3)+…+(2n+2n﹣1)(2n﹣2n+1),=﹣(3+7+…+2n﹣1),=﹣,=﹣2n2﹣n 19.(12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB=,且M是BD的中点.(1)求证:EM∥平面ADF;(2)求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小.【解答】(1)证明:法一、取AD的中点N,连接MN,NF,在DAB中,M是BD的中点,N是AD的中点,∴,又∵,∴MN∥EF且MN=EF.∴四边形MNFE为平行四边形,则EM∥FN,又∵FN⊂平面ADF,EM⊄平面ADF,故EM∥平面ADF.第22页共22页,法二、∵EB⊥平面ABD,AB⊥BD,故以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz.∵AB=2,EB=,∴B(0,0,0),D(3,0,0),A(0,0,2),E(0,0,),F(0,1,),M(,0,0),,,,设平面ADF的一个法向量是.由,令y=3,得.又∵,∴,又EM⊄平面ADF,故EM∥平面ADF.(2)解:由(1)可知平面ADF的一个法向量是.,,设平面BFD的一个法向量是,由,令z=1,得,∴cos<>==,又二面角A﹣FD﹣B为锐角,故二面角A﹣FD﹣B的余弦值大小为. 20.(12分)已知抛物线E:y2=2px(p>第22页共22页,0)的准线与x轴交于点k,过点k做圆C:(x﹣5)2+y2=9的两条切线,切点为.(1)求抛物线E的方程;(2)若直线AB是讲过定点Q(2,0)的一条直线,且与抛物线E交于A,B两点,过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G,D两点,求四边形AGBD面积的最小值.【解答】解:(1)根据题意,抛物线的E的方程为y2=2px(p>0),则设MN与x轴交于点R,由圆的对称性可知,.于是,所以∠CMR=30°,∠MCR=60°,所以|CK|=6,所以p=2.故抛物线E的方程为y2=4x.(2)设直线AB的方程为x=my+2,设A=(x1,y1),B=(x2,y2),联立得y2﹣4my﹣8=0,则y1+y2=4m,y1y2=﹣8.∴设G=(x3,y3),D=(x4,y4),同理得,则四边形AGBD的面积=令,则是关于μ的增函数,故Smin=48,当且仅当m=±1时取得最小值48. 21.(12分)已知函数,记F(x)=f(x)﹣g(x).(1)求证:F(x)在区间(1,+∞)内有且仅有一个实根;第22页共22页,(2)用min{a,b}表示a,b中的最小值,设函数m(x)=min{f(x),g(x)},若方程m(x)=c在区间(1,+∞)内有两个不相等的实根x1,x2(x1<x2),记F(x)在(1,+∞)内的实根为x0.求证:.【解答】证明:(1),定义域为x∈(0,+∞),,当x>1时,F'(x)>0,∴F(x)在(1,+∞)上单调递增,又,而F(x)在(1,+∞)上连续,根据零点存在定理可得:F(x)在区间(1,+∞)有且仅有一个实根.(2)当0<x≤1时,f(x)=xlnx≤0,而,故此时有f(x)<g(x),由(1)知,F(x)在(1,+∞)上单调递增,有x0为F(x)在(1,+∞)内的实根,所以F(x0)=f(x0)﹣g(x0)=0,故当1<x<x0时,F(x)<0,即f(x)<g(x);当x>x0时,F(x)>0,即f(x)>g(x).因而,当1<x<x0时,m(x)=xlnx,m'(x)=1+lnx>0,因而m(x)在(1,x0)上递增;当x>x0时,,因而m(x)在(x0,+∞)上递减;若方程m(x)=c在(1,+∞)有两不等实根x1,x2,则满足x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞)要证:,即证:x1+x2>2x0,即证:x2>2x0﹣x1>x0,第22页共22页,而m(x)在(x0,+∞)上递减,即证:m(x2)<m(2x0﹣x1),又因为m(x1)=m(x2),即证:m(x1)<m(2x0﹣x1),即证:记,由F(x0)=0得:,∴h(x0)=0,,,则,当0<x<1时,g'(x)>0;当x>1时,g'(x)<0.故,所以当x>0时,,∵2x0﹣x>0,∴,因此,即h(x)在递增.从而当1<x1<x0时,h(x)<h(x0)=0,即,故得证. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]第22页共22页,22.(10分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为,且l过点A,曲线C1的参考方程为(θ为参数).(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值;(2)过点B(﹣2,2)与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M,N两点,求|BM|•|BN|的值.【解答】解:(1)∵点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为,且l过点A,∴由直线l过点A可得,故,∴直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=8,∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣8=0.∵曲线C1的参考方程为(θ为参数).∴根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离:,∴.(2)由(1)知直线l的倾斜角为,则直线l1的参数方程为(t为参数).又曲线C1的普通方程为.把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得:,∴,依据参数t的几何意义可知. 第22页共22页,[选修4-5:不等式选讲]23.设a>0,b>0,且.求证:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【解答】证明:(1)由,得ab=1,由基本不等式及ab=1,有,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则a2+a<2且b2+b<2,则a2+a+b2+b<4,即:(a+b)2+a+b﹣2ab<4,由(1)知ab=1因此(a+b)2+a+b<6①而a+b≥2,因此(a+b)2+a+b≥6②,因此①②矛盾,因此假设不成立,原结论成立. 第22页共22页
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