2019-2020学年四川省内江市高考数学一模试卷(理科)
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四川省内江市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2<1},B={x|2x>1},则A∪B=( )A.(0,1)B.(﹣1,+∞)C.(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)2.(5分)设i为虚数单位,a∈R,若是纯虚数,则a=( )A.2B.﹣2C.1D.﹣13.(5分)下列各组向量中,可以作为基底的是( )A.,B.,C.,D.,4.(5分)下列说法中正确的是( )A.先把高三年级的2000名学生编号:1到2000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生,其编号为m,然后抽取编号为m+50,m+100,m+150…的学生,这样的抽样方法是分层抽样法B.线性回归直线不一定过样本中心点C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的值越接近于1D.设随机变量X服从正态分布N(10,0.01),则5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的a为2,则输出的a值是( )第23页共23页,A.2B.1C.D.﹣16.(5分)若函数f(x)=sin(2x+φ)在上单调递减,则φ的值可能是( )A.2πB.πC.D.7.(5分)已知α是锐角,若,则cos2α=( )A.B.C.D.8.(5分)设{an}是等比数列,则下列结论中正确的是( )A.若a1=1,a5=4,则a3=﹣2B.若a1+a3>0,则a2+a4>0C.若a2>a1,则a3>a2D.若a2>a1>0,则a1+a3>2a29.(5分)函数f(x)=x2﹣2|x|的图象大致是( )A.B.C.第23页共23页,D.10.(5分)已知实数a,b满足,则当时,的最大值是( )A.5B.2C.D.11.(5分)当x>0时,不等式恒成立,则a的取值范围是( )A.[0,1)∪(1,+∞)B.(0,+∞)C.(﹣∞,0]∪(1,+∞)D.(﹣∞,1)∪(1,+∞)12.(5分)设n∈N*,函数f1(x)=xex,f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),曲线y=fn(x)的最低点为Pn,△PnPn+1Pn+2的面积为Sn,则( )A.{Sn}是常数列B.{Sn}不是单调数列C.{Sn}是递增数列D.{Sn}是递减数列 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)(1+x)(1﹣x)6的展开式中,x3的系数是 .(用数字作答)14.(5分)甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:丙没有申请;乙说:甲申请了;丙说:甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 .15.(5分)设函数,则满足f(x)+f(x﹣1)<2的x的取值范围是 .16.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,P是线段BD上一点,则的最小值是 .第23页共23页, 三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=n.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{an+log2an}的前n项和.18.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+csinB=0.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若,点D在边AB上,CD=BD,求CD的长.19.(12分)某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在[100,120)内,则为合格品,否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表,图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1:甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数14192051图1:乙套设备的样本的频率分布直方图(Ⅰ)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计(Ⅱ)根据表1和图1,对两套设备的优劣进行比较;第23页共23页,(Ⅲ)将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中,随机抽取3件产品,记抽到的不合格品的个数为X,求X的期望E(X).附:P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635.20.(12分)已知函数f(x)=asinx+bcosx(a,b∈R),曲线y=f(x)在点处的切线方程为:.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)设k∈R,求函数在上的最大值.21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣2,其中e≈2.71828…是自然对数的底数.(Ⅰ)证明:当x>0时,f(x)>x﹣1≥lnx;(Ⅱ)设m为整数,函数g(x)=f(x)﹣lnx﹣m有两个零点,求m的最小值. [选修4-4:极坐标与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(α为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l和曲线C的极坐标方程;第23页共23页,(Ⅱ)已知直线l上一点M的极坐标为(2,θ),其中.射线OM与曲线C交于不同于极点的点N,求|MN|的值. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m.(Ⅰ)求m的值;(Ⅱ)设实数a,b满足2a2+b2=m,证明:2a+b≤. 第23页共23页,四川省内江市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2<1},B={x|2x>1},则A∪B=( )A.(0,1)B.(﹣1,+∞)C.(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)【解答】解:集合A={x|x2<1}={x|﹣1<x<1},B={x|2x>1}={x|x>0},则A∪B={x|x>﹣1}=(﹣1,+∞),故选B. 2.(5分)设i为虚数单位,a∈R,若是纯虚数,则a=( )A.2B.﹣2C.1D.﹣1【解答】解:∵=是纯虚数,∴,解得a=1.故选:C. 3.(5分)下列各组向量中,可以作为基底的是( )A.,B.,C.,D.,【解答】解:对于A,,,是两个共线向量,故不可作为基底.对于B,,是两个不共线向量,故可作为基底.第23页共23页,对于C,,,是两个共线向量,故不可作为基底..对于D,,,是两个共线向量,故不可作为基底.故选:B. 4.(5分)下列说法中正确的是( )A.先把高三年级的2000名学生编号:1到2000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生,其编号为m,然后抽取编号为m+50,m+100,m+150…的学生,这样的抽样方法是分层抽样法B.线性回归直线不一定过样本中心点C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的值越接近于1D.设随机变量X服从正态分布N(10,0.01),则【解答】解:在A中,先把高三年级的2000名学生编号:1到2000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生,其编号为m,然后抽取编号为m+50,m+100,m+150…的学生,这样的抽样方法是系统抽样法,故A错误;在B中,线性回归直线一定过样本中心点,故B错误;在C中,若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故C错误;在D中,设随机变量X服从正态分布N(10,0.01),则由正态分布性质得,故D正确.故选:D. 5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的a为2,则输出的a值是( )第23页共23页,A.2B.1C.D.﹣1【解答】解:当a=2,k=0时,执行循环a=﹣1,满足继续循环的条件,k=1;执行循环a=,满足继续循环的条件,k=2;执行循环a=2,满足继续循环的条件,k=3;执行循环a=﹣1,满足继续循环的条件,k=4;执行循环a=,满足继续循环的条件,k=5;执行循环a=2,不满足继续循环的条件,故输出的结果为2,故选:A 6.(5分)若函数f(x)=sin(2x+φ)在上单调递减,则φ的值可能是( )A.2πB.πC.D.【解答】解:函数f(x)=sin(2x+φ)在上单调递减,第23页共23页,则,可得φ,k∈Z.∴φ=故选:C 7.(5分)已知α是锐角,若,则cos2α=( )A.B.C.D.【解答】解:∵已知α是锐角,若,∴cos(α﹣)==,则cos2α=sin(﹣2α)=﹣sin(2α﹣)=﹣2sin(α﹣)cos(α﹣)=﹣2××=﹣,故选:D. 8.(5分)设{an}是等比数列,则下列结论中正确的是( )A.若a1=1,a5=4,则a3=﹣2B.若a1+a3>0,则a2+a4>0C.若a2>a1,则a3>a2D.若a2>a1>0,则a1+a3>2a2【解答】解:A.由等比数列的性质可得:=a1•a5=4,由于奇数项的符号相同,可得a3=2,因此不正确.B.a1+a3>0,则a2+a4=q(a1+a3),其正负由q确定,因此不正确;C.若a2>a1,则a1(q﹣1)>0,于是a3﹣a2=a1q(q﹣1),其正负由q确定,因此不正确;D.若a2>a1>0,则a1q>a1>0,可得a1>0,q>1,∴1+q2>2q,则a1(1+q2)>2a1q,即a1+a3>2a2,因此正确.故选:D. 第23页共23页,9.(5分)函数f(x)=x2﹣2|x|的图象大致是( )A.B.C.D.【解答】解:∵函数f(x)=x2﹣2|x|,∴f(3)=9﹣8=1>0,故排除C,D,∵f(0)=﹣1,f()=﹣2=0.25﹣<﹣1,故排除A,故选:B当x>0时,f(x)=x2﹣2x,∴f′(x)=2x﹣2xln2,故选:B 10.(5分)已知实数a,b满足,则当时,的最大值是( )A.5B.2C.D.【解答】解:当时,=asin2θ+bcos2θ=sin(2θ+φ),取值tanφ=,作出实数a,b满足的可行域如图:由可行域可知|AO|的距离是最大值,由,解得A(3,1),第23页共23页,=,当时,2θ∈[0,],=,时,tanφ==,所以的最大值是:.故选:B. 11.(5分)当x>0时,不等式恒成立,则a的取值范围是( )A.[0,1)∪(1,+∞)B.(0,+∞)C.(﹣∞,0]∪(1,+∞)D.(﹣∞,1)∪(1,+∞)【解答】解:由题意令f(x)=x2+(1﹣a)x﹣alnx﹣2a+a2,则f′(x)=x+(1﹣a)x﹣=,a<0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增,x→0时,f(x)→﹣∞,故不合题意,a=0时,f(x)=x2+x>0,符合题意,a>0时,令f′(x)>0,解得:x>a,令f′(x)<0,解得:0<x<a,故f(x)在(0,a)递减,在(a,+∞)递增,故f(x)min=f(a)=a(a﹣1﹣lna),第23页共23页,令h(a)=a﹣1﹣lna,(a>0),故h′(a)=1﹣=,令h′(a)>0,解得:a>1,令h′(a)<0,解得:0<a<1,故h(a)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,故h(a)≥h(1)=0,故a﹣1﹣lna≥0,故a>0时,只要a≠1,则h(a)>0,综上,a∈[0,1)∪(1,+∞),故选:A. 12.(5分)设n∈N*,函数f1(x)=xex,f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),曲线y=fn(x)的最低点为Pn,△PnPn+1Pn+2的面积为Sn,则( )A.{Sn}是常数列B.{Sn}不是单调数列C.{Sn}是递增数列D.{Sn}是递减数列【解答】解:根据题意,函数f1(x)=xex,其导数f1′(x)=(x)′ex+x(ex)′=(x+1)ex,分析可得在(﹣∞,﹣1)上,f1′(x)<0,f1(x)为减函数,在(﹣1,+∞)上,f1′(x)>0,f1(x)为增函数,曲线y=f1(x)的最低点P1,(﹣1,﹣),对于函数f2(x)=f1′(x)=(x+1)ex,其导数f2′(x)=(x+1)′ex+(x+1)(ex)′=(x+2)ex,分析可得在(﹣∞,﹣2)上,f1′(x)<0,f1(x)为减函数,在(﹣2,+∞)上,f1′(x)>0,f1(x)为增函数,曲线y=f1(x)的最低点P1,(﹣2,﹣),…分析可得曲线y=fn(x)的最低点Pn,其坐标为(﹣n,﹣);第23页共23页,则Pn+1(﹣n﹣1,﹣),Pn+2(﹣n﹣2,﹣);∴|PnPn+1|==,直线PnPn+1的方程为,即为(e﹣1)x+en+1y+e﹣n=0,故点Pn+2到直线PnPn+1的距离d=,∴Sn=|PnPn+1|•d=,设g(n)=,易知函数g(n)为单调递减函数,故{Sn}是递减数列,故选:D 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)(1+x)(1﹣x)6的展开式中,x3的系数是 ﹣5 .(用数字作答)【解答】解:(1﹣x)6展开式的通项公式为Tr+1=•(﹣x)r,∴(1+x)(1﹣x)6的展开式中,x3的系数是•(﹣1)3+•(﹣1)2=﹣20+15=﹣5.故答案为:﹣5. 14.(5分)甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:丙没有申请;乙说:甲申请了;丙说:甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 乙 .【解答】解:假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲,第23页共23页,则甲和丙说的都是假话,乙说的是真话,不满足题意;假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙,则甲和丙说的都是真话,乙说的是假话,满足题意;假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙,则甲、乙、丙说的都是假话,不满足题意.故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙.故答案为:乙. 15.(5分)设函数,则满足f(x)+f(x﹣1)<2的x的取值范围是 (﹣∞,2) .【解答】解:当x<0时,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[﹣x(﹣x﹣1)]=﹣x(x+1),①若x<0,则x﹣1<﹣1,由f(x)+f(x﹣1)<2得﹣x(x+1)﹣(x﹣1)x<2,即﹣2x2<2,即x2>﹣1,此时恒成立,此时x<0.②若x≥1,则x﹣1≥0,由f(x)+f(x﹣1)<2得x(x﹣1)+(x﹣1)(x﹣2)<2,即x2﹣2x<0,即0<x<2,此时1≤x<2,③若0≤x<1,则x﹣1<0,则由f(x)+f(x﹣1)<2得x(x﹣1)﹣(x﹣1)x<2,即0<2,此时不等式恒成立,此时0≤x<1,综上x<2,即不等式的解集为(﹣∞,2),故答案为:(﹣∞,2) 第23页共23页,16.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,P是线段BD上一点,则的最小值是 .【解答】解:建立平面直角坐标系,如图所示,菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,可设P(0,b),且﹣1≤b≤1;∴A(﹣,0),C(,0),D(0,1),∴=(﹣,﹣b),=(,﹣b),=(0,1﹣b),∴+=(,1﹣2b),∴=﹣3﹣b(1﹣2b)=﹣3﹣b+2b2=2﹣,当且仅当b=时,取得最小值﹣.故答案为:﹣. 三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=n.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{an+log2an}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)∵数列{an}满足∴当n≥2时,…(2分)∴当n≥2时,2n﹣1an=1,第23页共23页,即…(4分)当n=1时,an=1满足上式∴数列{an}的通项公式…(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,…(7分)∴(a1+log2a1)+(a2+log2a2)+(a3+log2a3)+…+(an+log2an),=…(9分)=…(12分) 18.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+csinB=0.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若,点D在边AB上,CD=BD,求CD的长.【解答】解:(Ⅰ)∵bcosC+csinB=0∴由正弦定理知,sinBcosC+sinCsinB=0,∵0<B<π∴sinB>0,于是cosC+sinC=0,即tanC=﹣1,∵0<C<π∴,(Ⅱ)由(Ⅰ)和余弦定理知,∴c=5,∴,∵在△BCD中,CD=BD第23页共23页,∴,∴. 19.(12分)某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在[100,120)内,则为合格品,否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表,图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1:甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数14192051图1:乙套设备的样本的频率分布直方图(Ⅰ)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计(Ⅱ)根据表1和图1,对两套设备的优劣进行比较;(Ⅲ)将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中,随机抽取3件产品,记抽到的不合格品的个数为X,求X的期望E(X).附:P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635.第23页共23页,【解答】解:(Ⅰ)根据表1和图1得到列联表:甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100…(3分)将列联表中的数据代入公式计算得;…(5分)∵3.053>2.706,∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;…(6分)(Ⅱ)根据表1和图1可知,甲套设备生产的合格品的概率约为,乙套设备生产的合格品的概率约为,甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间,乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散;因此,可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高,且质量指标值更稳定,从而甲套设备优于乙套设备;…(9分)(Ⅲ)由题知,不合格品的概率为P==,且X~B(3,),…(11分)∴X的数学期望为.…(12分) 20.(12分)已知函数f(x)=asinx+bcosx(a,b∈R),曲线y=f(x)在点处的切线方程为:.第23页共23页,(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)设k∈R,求函数在上的最大值.【解答】解:(Ⅰ)由切线方程知,当时,y=0,∴,∵f'(x)=acosx﹣bsinx,∴由切线方程知,,∴;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,∴g(x)=kx﹣sinx,g'(x)=k﹣cosx,当k≤0时,当时,g'(x)≤0,故g(x)单调递减,∴g(x)在上的最大值为g(0)=0;②当0<k<1时,∵g'(0)=k﹣1<0,,∴存在,使g'(x0)=0,当x∈[0,x0)时,g'(x)<0,故g(x)单调递减,当时,g'(x)>0,故g(x)单调递增.∴g(x)在上的最大值为g(0)或,又g(0)=0,,∴当时,g(x)在上的最大值为g(0)=0,当时,g(x)在上的最大值为,当k≥1时,当时,g'(x)≥0,故g(x)单调递增,∴g(x)在上的最大值为.综上所述,当时,g(x)在上的最大值为g(0)=0第23页共23页,当时,g(x)在上的最大值为. 21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣2,其中e≈2.71828…是自然对数的底数.(Ⅰ)证明:当x>0时,f(x)>x﹣1≥lnx;(Ⅱ)设m为整数,函数g(x)=f(x)﹣lnx﹣m有两个零点,求m的最小值.【解答】解:(Ⅰ)证明:设h(x)=ex﹣x﹣1,则h'(x)=ex﹣1,令h'(x)=0,得x=0,当x∈(﹣∞,0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,h'(x)≥0,h(x)单调递增,∴h(x)≥h(0)=0,当且仅当x=0时取等号,∴对任意x∈R,ex≥x+1…(2分)∴当x>0时,f(x)>x﹣1∴当x>﹣1时,x≥ln(x+1)∴当x>0时,f(x)>x﹣1≥lnx…(4分)(Ⅱ)函数g(x)的定义域为(0,+∞)当m≤0时,由(Ⅰ)知,g(x)=ex﹣lnx﹣2﹣m>﹣m≥0,故g(x)无零点…(6分)当m=1时,g(x)=ex﹣lnx﹣3,∵g'(1)=e﹣1>0,,且g'(x)为(0,+∞)上的增函数∴g'(x)有唯一的零点当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增∴g(x)的最小值为…(8分)第23页共23页,由x0为g'(x)的零点知,,于是∴g(x)的最小值由知,,即g(x0)<0…(10分)又g(2)=e2+ln2﹣3>0,∴g(x)在上有一个零点,在(x0,2)上有一个零点∴g(x)有两个零点…(11分)综上所述,m的最小值为1…(12分) [选修4-4:极坐标与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(α为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l和曲线C的极坐标方程;(Ⅱ)已知直线l上一点M的极坐标为(2,θ),其中.射线OM与曲线C交于不同于极点的点N,求|MN|的值.【解答】解:(Ⅰ)直线l的参数方程为(t为参数),直线的普通方程为,极坐标方程为.曲线C的普通方程为,极坐标方程为…(5分)(Ⅱ)∵点M在直线l上,且点M的极坐标为(2,θ)∴,∵第23页共23页,∴,∴射线OM的极坐标方程为.联立,解得ρ=3.∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m.(Ⅰ)求m的值;(Ⅱ)设实数a,b满足2a2+b2=m,证明:2a+b≤.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=|3x﹣1|+|x﹣2|=,∴f(x)在[)上单调递增,在()上单调递减∴f(x)的最小值为f()=…(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2a2+b2=,∵2ab≤a2+b2,∴(2a+b)2=4a2+b2+4ab≤4(a2+b2)+2(a2+b2)=3(2a2+b2)=5,当a=b时取等∴2a+b≤…(10分) 第23页共23页
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