2019-2020学年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(理科)
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辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若i是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为( )A.B.C.D.2.(5分)设集合A={x|x>1},B={x|2x>1},则( )A.A∩B={x|x>0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>0}D.A∩B=∅3.(5分)命题“若xy=0,则x=0”的逆否命题是( )A.若xy=0,则x≠0B.若xy≠0,则x≠0C.若xy≠0,则y≠0D.若x≠0,则xy≠04.(5分)已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的x的值为( )A.﹣3B.﹣3或9C.3或﹣9D.﹣9或﹣35.(5分)刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.B.C.D.第22页共22页,6.(5分)如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.B.C.D.7.(5分)设x、y满足约束条件,则的最大值是( )A.﹣15B.﹣9C.1D.98.(5分)若4个人按原来站的位置重新站成一排,恰有一个人站在自己原来的位置,则共有( )种不同的站法.A.4B.8C.12D.249.(5分)函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是( )A.B.C.D.10.(5分)已知双曲线的一条渐近线与圆(x﹣4)2+y2=4相切,则该双曲线的离心率为( )A.2B.C.D.11.(5分)在各项都为正数的等比数列{an}中,若a1=2,且a1•a5=64,则数列的前n项和是( )A.B.C.D.12.(5分)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2﹣x),当x∈[﹣2,0]时,,若在区间(﹣2,6)内关于x的方程f(x)﹣loga第22页共22页,(x+2)=0(a>0且a≠1)有且只有4个不同的根,则实数a的取值范围是( )A.B.(1,4)C.(1,8)D.(8,+∞) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题纸上.13.(5分)已知随机变量ξ~N(1,σ2),若P(ξ>3)=0.2,则P(ξ≥﹣1)= .14.(5分)在推导等差数列前n项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°= .15.(5分)已知正三角形△AOB(O为坐标原点)的顶点A、B在抛物线y2=3x上,则△AOB的边长是 .16.(5分)已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形,且A为直角顶点,P为平面ABC内一点,则的最小值是 . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在△ABC中,已知内角A,B,C对边分别是a,b,c,且2ccosB=2a+b.(Ⅰ)求∠C;(Ⅱ)若a+b=6,△ABC的面积为,求c.18.(12分)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PA=PD,∠APD=90°.(Ⅰ)证明:平面PAB⊥平面PCD;(Ⅱ)求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.第22页共22页,19.(12分)高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是:家占、朋友聚集的地方占、个人空间占.为了考察高中生的“恋家(在家里感到最幸福)”是否与国别有关,构建了如下2×2列联表.在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计(Ⅰ)请将2×2列联表补充完整;试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关;(Ⅱ)从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法,随机抽取了5人,再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为X,求随机变量X的分布列及期望.附:,其中n=a+b+c+d.P(k2≥k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.82820.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(Ⅰ)求点P的轨迹方程E;(Ⅱ)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点,过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点,求证:为定值.21.(12分)已知f(x)=ex﹣ax2﹣2x,a∈R.(Ⅰ)求函数f(x)图象恒过的定点坐标;(Ⅱ)若f'(x)≥﹣ax﹣1恒成立,求a的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下,证明:f(x)存在唯一的极小值点x0,且第22页共22页,. (二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:极坐标与参数方程]22.(10分)设过原点O的直线与圆(x﹣4)2+y2=16的一个交点为P,M点为线段OP的中点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求点M的轨迹C的极坐标方程;(Ⅱ)设点A的极坐标为,点B在曲线C上,求△OAB面积的最大值. [选修4-5:不等式选讲]23.已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|﹣|x﹣b|.(Ⅰ)当a=1,b=1时,解关于x的不等式f(x)>1;(Ⅱ)若函数f(x)的最大值为2,求证:. 第22页共22页,辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若i是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为( )A.B.C.D.【解答】解:∵=,∴复数的实部为,虚部为,∴复数的实部与虚部之积为.故选:B. 2.(5分)设集合A={x|x>1},B={x|2x>1},则( )A.A∩B={x|x>0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>0}D.A∩B=∅【解答】解:集合A={x|x>1},B={x|2x>1}={x|x>0},则A∩B={x|x>1};A∪B={x|x>0}.故选C. 3.(5分)命题“若xy=0,则x=0”的逆否命题是( )A.若xy=0,则x≠0B.若xy≠0,则x≠0C.若xy≠0,则y≠0D.若x≠0,则xy≠0【解答】解:命题若p则q的逆否命题为:若¬q,则¬p,即命题的逆否命题为:若x≠0,则xy≠0,故选:D 第22页共22页,4.(5分)已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的x的值为( )A.﹣3B.﹣3或9C.3或﹣9D.﹣9或﹣3【解答】解:输出才结果为零,有y=0由程序框图可知,当:y=()x﹣8=0时,解得选x=﹣3;当y=2﹣log3x=0,解得x=9.综上,有x=﹣3,或者9.故选:B. 5.(5分)刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.B.C.D.【解答】解:如图所示,设圆的半径为R,则圆的面积为πR2,圆内接正六边形的边长为R,面积为6××R2×sin=;第22页共22页,则所求的概率为P==.故选:B. 6.(5分)如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.B.C.D.【解答】解:由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径r=2,高为2的圆锥的一半,如图,∴该几何体的体积为:V==.故选:A. 7.(5分)设x、y满足约束条件,则的最大值是( )第22页共22页,A.﹣15B.﹣9C.1D.9【解答】解:作出x、y满足约束条件对应的平面区域,由,得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣x+z的截距最大,此时z最大.由,得A(0,1),此时z的最大值为z=+1=1,故选:A. 8.(5分)若4个人按原来站的位置重新站成一排,恰有一个人站在自己原来的位置,则共有( )种不同的站法.A.4B.8C.12D.24【解答】解:根据题意,分2步分析:①,先从4个人里选1人,其位置不变,其他三人的都不在自己原来的位置,有C41=4种选法,②第22页共22页,,对于剩余的三人,因为每个人都不能站在原来的位置上,因此第一个人有两种站法,被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上,因此三个人调换有2种调换方法.故不同的调换方法有4×2=8,故选:B. 9.(5分)函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是( )A.B.C.D.【解答】解:函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=+sin2x+3•=2+sin2x+cos2x=2+sin(2x+),令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤π+,故函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.结合,可得增区间为(0,],故选:C. 10.(5分)已知双曲线的一条渐近线与圆(x﹣4)2+y2=4相切,则该双曲线的离心率为( )A.2B.C.D.【解答】解:双曲线的一条渐近线y=与圆(x﹣4)2+y2=4相切,可得:=2,可得:2b=c,即4b2=c2,所以4c2﹣4a2=c2,第22页共22页,解得e==.故选:B. 11.(5分)在各项都为正数的等比数列{an}中,若a1=2,且a1•a5=64,则数列的前n项和是( )A.B.C.D.【解答】解:在各项都为正数的公比设为q的等比数列{an}中,若a1=2,且a1•a5=64,则4q4=64,解得q=2,则an=2n,可得数列,即为{},可得=﹣,数列的前n项和是﹣+﹣+…+﹣=1﹣,故选:A. 12.(5分)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2﹣x),当x∈[﹣2,0]时,,若在区间(﹣2,6)内关于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>0且a≠1)有且只有4个不同的根,则实数a的取值范围是( )A.B.(1,4)C.(1,8)D.(8,+∞)第22页共22页,【解答】解:∵对于任意的x∈R,都有f(x﹣2)=f(2+x),∴f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[(x+2)﹣2]=f(x),∴函数f(x)是一个周期函数,且T=4.又∵当x∈[﹣2,0]时,,且函数f(x)是定义在R上的偶函数,若在区间(﹣2,6)内关于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0恰有4个不同的实数解,则函数y=f(x)与y=loga(x+2)(a>1)在区间(﹣2,6)上有四个不同的交点,如下图所示:又f(﹣2)=f(2)=f(6)=1,则对于函数y=loga(x+2),由题意可得,当x=6时的函数值小于1,即loga8<1,由此解得:a>8,∴a的范围是(8,+∞)故选D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题纸上.13.(5分)已知随机变量ξ~N(1,σ2),若P(ξ>3)=0.2,则P(ξ≥﹣1)= 0.8 .【解答】解:随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),∴曲线关于x=1对称,第22页共22页,∵P(ξ>3)=0.2,∴P(ξ≤﹣1)=P(ξ>3),∴P(ξ≥﹣1)=1﹣P(ξ>3)=1﹣0.2=0.8.故答案为:0.8 14.(5分)在推导等差数列前n项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°= 44.5 .【解答】解:设S=sin21°+sin22°+…+sin289°,则S=sin289°+sin288°+…+sin21°,两式倒序相加,得:2S=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin289°+sin21°)=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin289°+coss289°)=89,∞S=44.5.故答案为:44.5. 15.(5分)已知正三角形△AOB(O为坐标原点)的顶点A、B在抛物线y2=3x上,则△AOB的边长是 6 .【解答】解:由抛物线的对称性可得∠AOx=30°,∴直线OA的方程为y=x,联立,解得A(9,3).∴|AO|==6.故答案为:. 16.(5分)已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形,且A为直角顶点,P为平面ABC内一点,则的最小值是 ﹣1 .【解答】解:以BC为x轴,以BC边上的高为y轴建立坐标系,△ABC是直角边为2的等腰直角三角形,且A为直角顶点,斜边BC=2,第22页共22页,则A(0,),B(﹣,0),C(,0),设P(x,y),则+=2=(﹣2x,﹣2y),=(﹣x,﹣y),∴=2x2+2y2﹣2y=2x2+2(y﹣)2﹣1,∴当x=0,y=时,则取得最小值﹣1.故答案为:﹣1. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在△ABC中,已知内角A,B,C对边分别是a,b,c,且2ccosB=2a+b.(Ⅰ)求∠C;(Ⅱ)若a+b=6,△ABC的面积为,求c.【解答】解:(Ⅰ)由正弦定理得2sinCcosB=2sinA+sinB,又sinA=sin(B+C),∴2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB,∴2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB,∴2sinBcosC+sinB=0,(sinB>0)∴,又C∈(0,π)∴;第22页共22页,(Ⅱ)由面积公式可得,即ab=2,∴ab=8,c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+ab+b2=(a+b)2﹣ab=36﹣8=28,∴. 18.(12分)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PA=PD,∠APD=90°.(Ⅰ)证明:平面PAB⊥平面PCD;(Ⅱ)求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:∵底面ABCD为正方形,∴CD⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,∴CD⊥平面PAD.又∵AP⊂平面PAD,∴CD⊥AP.∵PD⊥AP,CD∩PD=D,∴AP⊥平面PCD.∵AP⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD;(Ⅱ)解:取AD的中点为O,BC的中点为Q,连接PO,OQ,可得PO⊥底面ABCD,OQ⊥AD,以O为原点,以的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,不妨设正方形的边长为2,可得A(1,0,0),B(1,2,0),C(﹣1,2,0),P(0,0,1),设平面APB的一个法向量为,而,,第22页共22页,则,即,取x1=1,得;设平面BCP的一个法向量为,而,,则,即,取y2=1,得,∴=,由图知所求二面角为钝角,故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为. 19.(12分)高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是:家占、朋友聚集的地方占、个人空间占.为了考察高中生的“恋家(在家里感到最幸福)”是否与国别有关,构建了如下2×2列联表.在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生第22页共22页,合计(Ⅰ)请将2×2列联表补充完整;试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关;(Ⅱ)从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法,随机抽取了5人,再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为X,求随机变量X的分布列及期望.附:,其中n=a+b+c+d.P(k2≥k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828【解答】解:(Ⅰ)根据题意,填写列联表如下;在家其他合计中国223355美国93645合计3169100根据表中数据,计算=,∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关;(Ⅱ)依题意得,5个人中2人来自于“在家中”是幸福,3人来自于“在其他场所”是幸福,∴X的可能取值为0,1,2;计算,,;∴X的分布列为:X013P第22页共22页,数学期望为:. 20.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(Ⅰ)求点P的轨迹方程E;(Ⅱ)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点,过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点,求证:为定值.【解答】(Ⅰ)解:设P(x,y),则N(x,0),,又∵,∴,由M在椭圆上,得,即;(Ⅱ)证明:当l1与x轴重合时,|AB|=6,,∴.当l1与x轴垂直时,,|CD|=6,∴.当l1与x轴不垂直也不重合时,可设l1的方程为y=k(x﹣1)(k≠0),此时设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),把直线l1与曲线E联立,得(8+9k2)x2﹣18k2x+9k2﹣72=0,可得△=(﹣18k2)2﹣4(8+9k2)(9k2﹣72)>0.,.第22页共22页,∴,把直线l2与曲线E联立,同理可得.∴为定值. 21.(12分)已知f(x)=ex﹣ax2﹣2x,a∈R.(Ⅰ)求函数f(x)图象恒过的定点坐标;(Ⅱ)若f'(x)≥﹣ax﹣1恒成立,求a的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下,证明:f(x)存在唯一的极小值点x0,且.【解答】解:(Ⅰ)∵要使参数a对函数值不发生影响,∴必须保证x=0,此时f(0)=e0﹣a×02﹣2×0=1,所以函数的图象恒过点(0,1).(Ⅱ)依题意得:ex﹣2ax﹣2≥﹣ax﹣1恒成立,∴ex≥ax+1恒成立.构造函数g(x)=ex﹣ax﹣1,则g(x)=ex﹣ax﹣1恒过(0,0),g'(x)=ex﹣a,①若a≤0时,g'(x)>0,∴g(x)在R上递增,∴ex≥ax+1不能恒成立.②若a>0时,g'(x)=0,∴x=lna.∵x∈(﹣∞,lna)时,g'(x)<0,函数g(x)=ex﹣ax﹣1单调递减;x∈(lna,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)=ex﹣ax﹣1单调递增,∴g(x)在x=lna时为极小值点,g(lna)=a﹣alna﹣1,第22页共22页,∴要使ex﹣2ax﹣2≥﹣ax﹣1恒成立,只需a﹣alna﹣1≥0.设h(a)=a﹣alna﹣1,则函数h(a)恒过(1,0),h'(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna,a∈(0,1),h'(a)>0,函数h(a)单调递增;a∈(1,+∞),h'(a)<0,函数h(a)单调递减,∴h(a)在a=1取得极大值0,∴要使函数h(a)≥0成立,只有在a=1时成立.证明(Ⅲ)f'(x)=ex﹣2x﹣2,设m(x)=ex﹣2x﹣2,∴m'(x)=ex﹣2,令m'(x)>0,x>ln2∴m(x)在(﹣∞,ln2)单调递减,在(ln2,+∞)单调递增,m(ln2)=﹣2ln2<0,∴f'(x)=m(x)=ex﹣2x﹣2在x=ln2处取得极小值,可得f'(x)一定有2个零点,分别为f(x)的一个极大值点和一个极小值点,设x0为函数f(x)的极小值点,则x0∈(0,2),∴f'(x0)=0,,=∵m(2)=e2﹣2×2﹣2=e2﹣6>0,,∴在区间上存在一个极值点,∴最小极值点在内.∵函数f(x)的极小值点的横坐标,∴函数f(x)的极小值,∴ 第22页共22页,(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:极坐标与参数方程]22.(10分)设过原点O的直线与圆(x﹣4)2+y2=16的一个交点为P,M点为线段OP的中点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求点M的轨迹C的极坐标方程;(Ⅱ)设点A的极坐标为,点B在曲线C上,求△OAB面积的最大值.【解答】解:(Ⅰ)设M(ρ,θ),则P(2ρ,θ)又点P的轨迹的极坐标方程为ρ=8cosθ∴2ρ=8cosθ,化简,得点M的轨迹C的极坐标方程为:ρ=4cosθ,,k∈Z.(Ⅱ)直线OA的直角坐标方程为点(2,0)到直线的距离为:,∴△OAB面积的最大值. [选修4-5:不等式选讲]23.已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|﹣|x﹣b|.(Ⅰ)当a=1,b=1时,解关于x的不等式f(x)>1;(Ⅱ)若函数f(x)的最大值为2,求证:.【解答】解:(Ⅰ)当a=1,b=1时,.不等式f(x)>1为|x+1|﹣|x﹣1|>1.①当x≥1时,因为不等式为x+1﹣x+1=2>1,所以不等式成立,此时符合;符合要求的不等式的解集为{x|x≥1};②当﹣1≤x<1时,因为不等式为x+1+x﹣1=2x>1,所以,第22页共22页,此时,符合不等式的解集为;③当x≥1时,因为不等式为﹣x﹣1+x﹣1=﹣2>1不成立,解集为空集;综上所述,不等式f(x)>1的解集为.(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得||x+a|﹣|x﹣b||≤|a+b|,a>0,b>0∴a+b=2.∴,当且仅当a=b=1时,等号成立.另解:(Ⅱ)因为a>0,b>0,所以﹣a<0<b,所以函数f(x)=|x+a|﹣|x﹣b|=|x﹣(﹣a)|﹣|x﹣b|=,所以函数f(x)的图象是左右两条平行于x轴的射线和中间连结成的线段,所以函数的最大值等于a+b,所以a+b=2.∵a+b=2,∴.或者=,当且仅当a=2﹣a,即a=1时,“等号”成立. 第22页共22页
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