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2019-2020学年湖北省荆州市高考数学一模试卷(理科)

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湖北省荆州市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项正确.1.(5分)已知集合A={x|≥0,x∈R},B={y|y=3x2+1,x∈R}.则A∩B=(  )A.∅B.(1,+∞)C.[1,+∞)D.(﹣∞,0)∪(1,+∞)2.(5分)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是(  )A.y=exB.y=tanxC.y=x3﹣xD.y=ln3.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣5,﹣12),则sin(+α)的值等于(  )A.﹣B.﹣C.D.4.(5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是(  )A.15B.30C.31D.645.(5分)若a,b,c为实数,下列结论正确的是(  )A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若a<b<0,则C.若a<b<0,则D.若a>b>0,则a2>ab>b26.(5分)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则的值为(  )A.B.4C.2D.7.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,sinB=2sinC,则△ABC的面积是(  )A.B.C.D.8.(5分)函数的图象大致为(  )第19页共19页,A.B.C.D.9.(5分)已知x、y满足约束条件,如果目标函数的取值范围为[0,2),则实数a的取值范围是(  )A.a≥1B.a≤2C.a<2D.a<110.(5分)已知函数,若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(  )A.B.C.D.11.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x﹣3)=f(﹣x﹣3),且当x≤﹣3时,f(x)=ln(﹣x).若对任意x∈R,不等式f(sinx﹣t)>f(3sinx﹣1)恒成立,则实数t的取值范围是(  )A.t<﹣3或t>9B.t<﹣1或t>3C.﹣3<t<9D.t<1或t>912.(5分)设函数f(x)=ex+1﹣ma,g(x)=aex﹣x(m,a为实数),若存在实数a,使得f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是(  )A.B.C.D. 二、填空题13.(5分)计算定积分=  .14.(5分)已知实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,则的最小值是  .第19页共19页,15.(5分)某商船在海上遭海盗袭扰,正以15海里/h的速度沿北偏东15°方向行驶,此时在其南偏东45°方向,相距20海里处的我海军舰艇接到命令,必须在80分钟内(含80分钟)追上商船为其护航.为完成任务,我海军舰艇速度的最小值为  (海里/h).16.(5分)在数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an﹣1+n,若不等式对任意n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是  . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知函数.(1)若f(x)=0,,求x的值;(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线对称,求函数h(x)在上的值域.18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)若bn=nan+n,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式的n的最小值.19.(12分)已知点O是等边△ABC内一点,BC=3,∠BOC=120°,设∠BCO=θ.(1)若AO=BO,求θ;(2)设△BOC与△AOC的面积差为S,求S关于θ的函数S(θ),那么θ取何值时,S(θ)有最大值?最大值是多少?20.(12分)习总书记在十九大报告中明确指出,“要着力解决突出环境问题,坚持全民共治,源头防治,持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战.”.为落实十九大报告精神,某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为:,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且.第19页共19页,(1)令,x∈[0,24],求t(x)的最值;(2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣m﹣xlnx﹣(m﹣1)x,m∈R,f′(x)为函数f(x)的导函数.(1)若m=1,求证:对任意x∈(0,+∞),f′(x)≥0;(2)若f(x)有两个极值点,求实数m的取值范围. 选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数).(1)求曲线C的普通方程;(2)在以O为极点,x正半轴为极轴的极坐标系中,直线l方程为,已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|. 选修4-5:不等式选讲23.已知函数f(x)=|x﹣a|,不等式f(x)≤3的解集为[﹣6,0].(1)求实数a的值;(2)若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 第19页共19页,湖北省荆州市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项正确.1.(5分)已知集合A={x|≥0,x∈R},B={y|y=3x2+1,x∈R}.则A∩B=(  )A.∅B.(1,+∞)C.[1,+∞)D.(﹣∞,0)∪(1,+∞)【解答】解:∵集合A={x|≥0,x∈R}={x|x≤0或x>1},B={y|y=3x2+1,x∈R}={y|y≥1}.∴A∩B={x|y>1}=(1,+∞).故选:B. 2.(5分)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是(  )A.y=exB.y=tanxC.y=x3﹣xD.y=ln【解答】解:函数y=ex,不是奇函数,不满足题意;函数y=tanx是奇函数,但在定义域内图象是不连续的,不是增函数,不满足题意;函数y=x3﹣x是奇函数,当x∈(﹣,)时,y′=3x2﹣1<0为减函数,不满足题意;函数y=ln是奇函数,在定义域(﹣2,2)上内函数为增函数,外函数y=lnt也为增函数,故函数y=ln在定义域内为增函数,满足题意;故选:D 3.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣5,﹣12),则sin(+α)的值等于(  )A.﹣B.﹣C.D.第19页共19页,【解答】解:∵角α的终边经过点P(﹣5,﹣12),则sin(+α)=﹣cosα=﹣=,故选:C. 4.(5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是(  )A.15B.30C.31D.64【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a4+a5=3,a8=8,∴3a4=3,即a1+3d=1,a1+7d=8,联立解得a1=﹣,d=则a12=﹣+×11=15.故选:A. 5.(5分)若a,b,c为实数,下列结论正确的是(  )A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若a<b<0,则C.若a<b<0,则D.若a>b>0,则a2>ab>b2【解答】解:对于A:若a>0,b,c,d均小于0,则不正确,对于B:若a<b<0,则a2>b2,则>,即>,故B不正确,对于C:若a<b<0,则<,即<,故C不正确,对于D:若a>b>0,则a2>ab>b2,正确,故选:D. 6.(5分)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则的值为(  )A.B.4C.2D.【解答】解:数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}第19页共19页,的连续三项,∴=a1•a7,可得=a1(a1+6d),化为:a1=2d≠0.∴公比q====2.则==.故选:A. 7.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,sinB=2sinC,则△ABC的面积是(  )A.B.C.D.【解答】解:∵,,sinB=2sinC,可得:b=2c.sinA==,∴由a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:8=4c2+c2﹣3c2,解得c=2,b=4.∴S△ABC=bcsinA=×2×4×=.故选:A. 8.(5分)函数的图象大致为(  )A.B.C.D.【解答】解:函数是非奇非偶函数,排除A、B,函数的零点是x=e﹣1,当x=e时,f(e)=,排除选项D.故选:C. 第19页共19页,9.(5分)已知x、y满足约束条件,如果目标函数的取值范围为[0,2),则实数a的取值范围是(  )A.a≥1B.a≤2C.a<2D.a<1【解答】解:x、y满足约束条件的可行域如图:目标函数的取值范围为[0,2),说明可行域内的点与(a,﹣2)的连续的斜率的范围是[0,2),直线2x﹣y﹣4=0的斜率为2;由图形可知(a,﹣2)在BA的直线上,A的左侧,所以a<1.故选:D. 10.(5分)已知函数,若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(  )A.B.C.D.【解答】解:f(x)=cosωx+sinωx=sin(ωx+).第19页共19页,令ωx+=kπ可得x=﹣+,k∈Z.令π<﹣+<2π解得ω+<k<2ω+,∵函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,∴区间(ω+,2ω+)内不存在整数.又•≥2π﹣π=π,∴ω≤1,又ω>0,∴(ω+,2ω+)⊂(0,1)或(ω+,2ω+)⊂(1,2).∴2ω+≤1或1≤ω+<2ω+≤2,解得0<ω≤或≤ω≤.故选C. 11.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x﹣3)=f(﹣x﹣3),且当x≤﹣3时,f(x)=ln(﹣x).若对任意x∈R,不等式f(sinx﹣t)>f(3sinx﹣1)恒成立,则实数t的取值范围是(  )A.t<﹣3或t>9B.t<﹣1或t>3C.﹣3<t<9D.t<1或t>9【解答】解:∵f(x﹣3)=f(﹣x﹣3),∴f(x)关于直线x=﹣3对称,当x≤﹣3时,f(x)=ln(﹣x),故f(x)在(﹣∞,﹣3]递减,在(﹣3,+∞)递增,若对任意x∈R,不等式f(sinx﹣t)>f(3sinx﹣1)恒成立,则或,即1﹣t>2或1﹣t<﹣2,第19页共19页,解得:t<﹣1或t>3,故选:B. 12.(5分)设函数f(x)=ex+1﹣ma,g(x)=aex﹣x(m,a为实数),若存在实数a,使得f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是(  )A.B.C.D.【解答】解:令h(x)=f(x)﹣g(x)=ex+1﹣ma﹣aex+x=(e﹣a)ex﹣ma+x,则h′(x)=(e﹣a)ex+1,若e﹣a≥0,可得h′(x)>0,函数h(x)为增函数,当x→+∞时,h(x)→+∞,不满足h(x)≤0对任意x∈R恒成立;若e﹣a<0,由h′(x)=0,得,则x=ln,∴当x∈(﹣∞,ln)时,h′(x)>0,当x∈(ln,+∞)时,h′(x)<0,∴==.若f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立,则≤0(a>e)恒成立,若存在实数a,使得≤0成立,则ma≥ln,∴(a>e),令F(a)=,则F′(a)===.第19页共19页,∴当a<2e时,F′(a)<0,当a>2e时,F′(a)>0,则.∴m.则实数m的取值范围是[).故选:C. 二、填空题13.(5分)计算定积分= e﹣1 .【解答】解:=(ex)=e﹣1,故答案为:e﹣1. 14.(5分)已知实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,则的最小值是 5+2 .【解答】解:实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,∴8a•2b=2,∴23a+b=2,解得3a+b=1.则=(3a+b)=5+≥5+2=5+2,当且仅当b=a=﹣2时取等号.故答案为:. 15.(5分)某商船在海上遭海盗袭扰,正以15海里/h的速度沿北偏东15°方向行驶,此时在其南偏东45°方向,相距20海里处的我海军舰艇接到命令,必须在80分钟内(含80分钟)追上商船为其护航.为完成任务,我海军舰艇速度的最小值为 15 (海里/h).【解答】解:设海盗袭扰处为C,我海军舰艇为A,B为商船,由条件知∠ACB=120°,AC=20海里,设我海军舰艇速度为x,可得BC=15×=20,AB=x,第19页共19页,由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB.得:(x)2=202+202﹣2×20×20cos120°,解得:x=15,故我海军舰艇速度的最小值为,故答案为:15. 16.(5分)在数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an﹣1+n,若不等式对任意n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是 [2,+∞) .【解答】解:在数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an﹣1+n,即an﹣an﹣1=n,∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1=n+(n﹣1)+…+2+1=,(n=1时也成立).∴an=.不等式化为:λ>,由于2>,不等式对任意n∈N*恒成立,则λ≥2.则实数λ的取值范围是:[2,+∞).故答案为:[2,+∞).第19页共19页, 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知函数.(1)若f(x)=0,,求x的值;(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线对称,求函数h(x)在上的值域.【解答】解:==.(1)由f(x)=0,得,∴,∴,或,k∈Z.又∵,∴x=或0或;(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,可得函数图象的解析式为y==2cos2x+1,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2cosx+1,又曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线对称,∴=2sinx+1,∵x∈,∴sinx∈.故函数h(x)的值域为(0,3]. 18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).第19页共19页,(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)若bn=nan+n,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式的n的最小值.【解答】(1)证明:当n=1时,a1+1=2a1,∴a1=1.∵Sn+n=2an,n∈N*,∴当n≥2时,Sn﹣1+n﹣1=2an﹣1,两式相减得:an+1=2an﹣2an﹣1,即an=2an﹣1+1,∴an+1=2(an﹣1+1),∴数列{an+1}为以2为首项,2为公比的等比数列,∴,则,n∈N*;(2)解:∵,∴,∴,两式相减得:,∴,由,得,设,∵>0,∴数列{cn}为递增数列,∵,,∴满足不等式的n的最小值为11. 第19页共19页,19.(12分)已知点O是等边△ABC内一点,BC=3,∠BOC=120°,设∠BCO=θ.(1)若AO=BO,求θ;(2)设△BOC与△AOC的面积差为S,求S关于θ的函数S(θ),那么θ取何值时,S(θ)有最大值?最大值是多少?【解答】解:(1)∵OA=OB,CA=CB,∴△ACO≌△BCO.∴,∴∠BCO=θ=300.(4分)(2)在△BOC中,∠OBC=60°﹣θ,由正弦定理有:,∴,(6分)又;,∴=3sin(600﹣θ)(sinθ﹣+)=9()()=9()=,θ∈(0,600)(10分)故当2θ=900,即θ=450时S(θ)取得最大值.(12分) 20.(12分)习总书记在十九大报告中明确指出,“要着力解决突出环境问题,坚持全民共治,源头防治,持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战.”.为落实十九大报告精神,某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为:第19页共19页,,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且.(1)令,x∈[0,24],求t(x)的最值;(2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?【解答】解:(1)由,x∈[0,24],得,令t′(x)≥0,得(x+2)(x﹣2)≤0,即0≤x≤2,令t′(x)<0,得(x+2)(x﹣2)>0,即x>2,∴t(x)在[0,2]上递增,在(2,+∞)上递减,∴当x=0时,t(x)min=0;当x=2时,;(2)由(1),令g(t)=f(x)=t•|t﹣a|+,t∈[0,],则g(t)=,∵g(t)在和上递增,在上递减,且,g()=,,令,解得;令,解得0,∴,第19页共19页,∵fmax(x)≤1,∴目前市中心的综合污染指数没有超标. 21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣m﹣xlnx﹣(m﹣1)x,m∈R,f′(x)为函数f(x)的导函数.(1)若m=1,求证:对任意x∈(0,+∞),f′(x)≥0;(2)若f(x)有两个极值点,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)m=1时,f(x)=ex﹣1﹣xlnx,f′(x)=ex﹣1﹣lnx﹣1令G(x)=ex﹣1﹣x,则G′(x)=ex﹣1﹣1,当x>1时,G′(x)>0当x<1时,G′(x)<0,故G(x)在(﹣∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以G(x)≥G(1)=0,即ex﹣1≥x(当且仅当x=1时取等号).令j(x)=x﹣1﹣lnx(x>0),则j′(x)=,当0<x<1时,j′(x)<0,当x>1时,j′(x)>0,故j(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以j(x)≥j(1)=0,即x≥lnx+1(当且仅当x=1时取等号).当f′(x)=ex﹣1﹣lnx﹣1≥x﹣(lnx+1)≥0(当且仅当x=1时取等号)所以,∀x∈(0,+∞),f′(x)≥0;(4分)(2)f(x)有两个极值点,即f′(x)=ex﹣m﹣lnx﹣m有两个变号零点.①当m≤1时,f′(x)=ex﹣m﹣lnx﹣m≥ex﹣1﹣lnx﹣1,由(1)知f′(x)≥0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,无极值点;(6分)②当m>1时,令g(x)=f′(x),则,∵g′(1)=e1﹣m﹣1<0>0,且g′(x)在(0,+∞)上单增,∴∃x0∈(1,m),使g′(x0)=0.当x∈(0,x0)时,g′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0.所以,g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.第19页共19页,则g(x)在x=x0处取得极小值,也即最小值g(x0)=.(8分)由g′(x0)=0得m=x0+lnx0,则g(x0)=(9分)令h(x)=(1<x<m)则,h(x)在(1,m)上单调递减,所以h(x)<h(1)=0.即g(x0)<0,(10分)又x→0时,g(x)→+∞,x→+∞时,g(x)→+∞,故g(x)在(0,+∞)上有两个变号零点,从而f(x)有两个极值点.所以,m>1满足题意.(11分)综上所述,f(x)有两个极值点时,m的取值范围是(1,+∞).(12分)(其他解法酌情给分) 选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数).(1)求曲线C的普通方程;(2)在以O为极点,x正半轴为极轴的极坐标系中,直线l方程为,已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|.【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(α为参数).由已知,整理得:普通方程为,化简得x2+y2=2.(2)由ρsin(﹣θ)+=0,知,化为普通方程为x﹣y+=0圆心到直线l的距离h=,由垂径定理. 第19页共19页,选修4-5:不等式选讲23.已知函数f(x)=|x﹣a|,不等式f(x)≤3的解集为[﹣6,0].(1)求实数a的值;(2)若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)由f(x)≤3,得|x﹣a|≤3,∴a﹣3≤x≤a+3,又f(x)≤3的解集为[﹣6,0],解得:a=﹣3;(5分)(2)∵f(x)+f(x+5)=|x+3|+|x+8|≥5.又f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,∴2m≤5,m≤(10分) 第19页共19页

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发布时间:2022-05-19 09:38:11 页数:19
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文章作者:yuanfeng

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