2021年山东省潍坊市中考数学试卷

2021年山东省潍坊市中考数学试卷一、单项选择题(共8小题，每小题3分，共24分．每小题四个选项只有一项正确．)1．下列各数的相反数中，最大的是（　　）A．B．1C．﹣D．﹣22．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（　　）A．15°B．30°C．45°D．60°3．第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101527000用科学记数法（精确到十万位）表示为（　　）A．1.02×108B．0.102×109C．1.015×108D．0.1015×1094．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）A．B．4C．2D．55．如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A．主视图B．左视图C．俯视图D．不存在6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）A．B．C．D．7．如图为2021年第一季度中国工程机械出口额TOP10国家的相关数据（同比增速是指相对于2020年第一季度出口额的增长率），下列说法正确的是（　　）A．对10个国家出口额的中位数是26201万美元B．对印度尼西亚的出口额比去年同期减少第22页（共22页） C．去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口额D．出口额同比增速中，对美国的增速最快8．记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，例如min{﹣1，1，2}＝﹣1，则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为（　　）A．B．C．D．二、多项选择题(共4小题，每小题3分，共12分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分．)9．下列运算正确的是　　．A．（a﹣）2＝a2﹣a+B．（﹣a﹣1）2＝C．＝D．＝210．如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，线段AB与x轴所成的角∠ABO为锐角，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值可能为　　．A.3B.C.5D.11．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③连接CO，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论正确的是　　．A．△AOE的内心与外心都是点GB．∠FGA＝∠FOAC．点G是线段EF的三等分点D．EF＝AF12．在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是　　．A．抛物线的对称轴是直线x＝B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果．)13．甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点（0，1）；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为　　．第22页（共22页） 14．若x＜2，且+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝　　．15．在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为　　．16．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝　　．（结果用a，b表示）四、解答题(共7小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（8分）（1）计算：（﹣2021）0++（1﹣3﹣2×18）；（2）先化简，再求值：•﹣xy（+），其中（x，y）是函数y＝2x与y＝的图象的交点坐标．18．（7分）如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据：≈1.4，≈1.7）19．（10分）从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．第22页（共22页） （1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩（取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）；（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试，用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；（3）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．则可计算得两班学生的样本平均成绩为＝76，＝76；样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4．请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．20．（10分）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：年度（年）201620172018201920202021年度纯收入（万元）1.52.54.57.511.3若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y＝（m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．（1）能否选用函数y＝（m＞0）进行模拟，请说明理由；（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．21．（9分）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．第22页（共22页） 22．（12分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2）与点C关于y轴对称．（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标．直线AC的函数表达式S取的一个特殊值满足条件的P点的个数S的可能取值范围①　　64个③　　②　　3个102个④　　23．（12分）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求证：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值为　　；②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．第22页（共22页） 2021年山东省潍坊市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题(共8小题，每小题3分，共24分．每小题四个选项只有一项正确．)1．下列各数的相反数中，最大的是（　　）A．B．1C．﹣D．﹣2【解答】解：的相反数是﹣，1的相反数是﹣1，﹣的相反数是，﹣2的相反数是2，∵2＞＞﹣1＞﹣，故选：D．2．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（　　）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，∵EF⊥平面镜，∴CD∥EF，∴∠CDH＝∠EFH＝α，根据题意可知：AG∥DF，∴∠AGC＝∠CDH＝α，∴∠AGC＝α，∵∠AGC＝AGB＝×60°＝30°，∴α＝30°．故选：B．3．第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101527000用科学记数法（精确到十万位）表示为（　　）A．1.02×108B．0.102×109C．1.015×108D．0.1015×109【解答】解：101527000＝1.01527×108≈1.015×108．故选：C．4．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）A．B．4C．2D．5【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，第22页（共22页） 即AC＝4，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故选：A．5．如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A．主视图B．左视图C．俯视图D．不存在【解答】解：该几何体的三视图如下：三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，故选：C．6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）A．B．C．D．【解答】解：解不等式2x+1≥x，得：x≥﹣1，解不等式﹣，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：D．7．如图为2021年第一季度中国工程机械出口额TOP10国家的相关数据（同比增速是指相对于2020年第一季度出口额的增长率），下列说法正确的是（　　）第22页（共22页） A．对10个国家出口额的中位数是26201万美元B．对印度尼西亚的出口额比去年同期减少C．去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口额D．出口额同比增速中，对美国的增速最快【解答】解：A、将这组数据按从小到大的顺序排列为19677，19791，21126，24268，25855，26547，29285，35581，39513，67366，位于中间的两个数分别是25855，26547，所以中位数是＝26201（万美元），故本选项说法正确，符合题意；B、根据折线图可知，对印度尼西亚的出口额比去年同期增长27.3%，故本选项说法错误，不符合题意；C、去年同期对日本的出口额为：≈27078.4，对俄罗斯联邦的出口额为：≈23803.0，故本选项说法错误，不符合题意；D、根据折线图可知，出口额同比增速中，对越南的增速最快，故本选项说法错误，不符合题意；故选：A．8．记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，例如min{﹣1，1，2}＝﹣1，则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为（　　）A．B．C．D．【解答】解：如图，第22页（共22页） 则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为B．故选：B．二、多项选择题(共4小题，每小题3分，共12分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分．)9．下列运算正确的是　AB　．A．（a﹣）2＝a2﹣a+B．（﹣a﹣1）2＝C．＝D．＝2【解答】解：A选项，原式＝a2﹣a+，故该选项正确；B选项，原式＝（a﹣1）2＝（）2＝，故该选项正确；C选项，根据分式的基本性质，分子，分母都乘或除以一个不为0的数，分式的值不变，不能分子，分母都加3，故该选项错误；D选项，原式＝，故该选项错误；故答案为：AB．10．如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，线段AB与x轴所成的角∠ABO为锐角，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值可能为　B或D　．A.3B.C.5D.第22页（共22页） 【解答】解：如图，当⊙A在第二象限，与两坐标轴同时相切时，在Rt△ABM中，AM＝1＝OM，BM＝BO﹣OM＝4﹣1＝3，∴tan∠ABO＝＝；当⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切时，在Rt△ABM中，AM＝1＝OM，BM＝BO+OM＝4+1＝5，∴tan∠ABO＝＝；故答案为：B或D．11．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③连接CO，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论正确的是　A，B，C　．A．△AOE的内心与外心都是点GB．∠FGA＝∠FOAC．点G是线段EF的三等分点D．EF＝AF【解答】解：在正六边形AEDBCF中，∠AOF＝∠AOE＝∠EOD＝60°，∵OF＝OA＝OE＝OD，∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，∴AF＝AE＝OE＝OF，OA＝AE＝ED＝OD，∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，∴AD⊥OE，EF⊥OA，第22页（共22页） ∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，∵∠EAF＝120°，∠EAD＝30°，∴∠FAD＝90°，∵∠AFE＝30°，∴∠AGF＝∠AOF＝60°，故B正确，∵∠GAE＝∠GEA＝30°，∴GA＝GE，∵FG＝2AG，∴FG＝2GE，∴点G是线段F的三等分点，故C正确，∵AF＝AE，∠FAE＝120°，∴EF＝AF，故D错误，故答案为：A，B，C．12．在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是　ACD　．A．抛物线的对称轴是直线x＝B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0【解答】解：当抛物线图象经过点A和点B时，将A（1，﹣2）和B（2，﹣2）分别代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，不符合题意；当抛物线图象经过点B和点C时，将B（2，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，得，此时无解；当抛物线图象经过点A和点C时，将A（1，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，综上，抛物线经过点A和点C，其解析式为y＝x2﹣x﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，故A选项正确；∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1），∴x1＝2，x2＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（2，0），故B选项不正确；由ax2+bx﹣2＝t得ax2+bx﹣2﹣t＝0，方程根的判别式Δ＝b2﹣4a（﹣2﹣t），当a＝1，b＝﹣1时，Δ＝9+4t，第22页（共22页） 当Δ＞0时，即9+4t＞0，解得t＞﹣，此时关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根，故C选项正确；∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点（﹣1，0）和（2，0），且其图象开口向上，若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上y＝x2﹣x﹣2的点且n＜0，∵n＜0，∴﹣1＜m＜2，∴3＜m+4＜6，∴yx＝m+4＞yx＝2，即h＞0，故D选项正确．故答案为：ACD．三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果．)13．甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点（0，1）；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为　y＝﹣x+1（答案不唯一）　．【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，∵函数的图象经过点（0，1），∴b＝1，∵y随x的增大而减小，∴k＜0，取k＝﹣1，∴y＝﹣x+1，此函数图象不经过第三象限，∴满足题意的一次函数解析式为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．14．若x＜2，且+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝　1　．【解答】解：+|x﹣2|+x﹣1＝0，∵x＜2，∴方程为+2﹣x+x﹣1＝0，即＝﹣1，方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），解得：x＝1，经检验x＝1是原方程的解，故答案为：1．15．在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：第22页（共22页） A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为　2022　．【解答】解：∵到达终点An（506，﹣505），且此点在第四象限，根据题意和图的坐标可知：A6（2，﹣1），A10（3，﹣2），A14（4，﹣3）•••，∵6＝2+4×（2﹣1），10＝2+4×（3﹣1），14＝2+4×（4﹣1），•••n＝2+4×（506﹣1）＝2022．故答案为：2022．16．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝　a﹣　．（结果用a，b表示）【解答】解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）第22页（共22页） ＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案为：a﹣．四、解答题(共7小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（8分）（1）计算：（﹣2021）0++（1﹣3﹣2×18）；（2）先化简，再求值：•﹣xy（+），其中（x，y）是函数y＝2x与y＝的图象的交点坐标．【解答】解：（1）原式＝1+3+（），＝1+3﹣1，＝3；（2）原式＝﹣2y﹣3x，＝2x+3y﹣2y﹣3x，＝﹣x+y，∵（x，y）是函数y＝2x与y＝的图象的交点坐标，∴联立，解得，，当x＝1，y＝2时，原式＝﹣x+y＝1，当x＝﹣1，y＝﹣2时，原式＝﹣x+y＝﹣1．18．（7分）如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据：≈1.4，≈1.7）【解答】解：过点C作CD⊥AM，垂足为D，由题意得，∠CAD＝75°﹣45°＝30°，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，设CD＝a，则BD＝a，BC＝a，AC＝2CD＝2a，∵两船同时到达C处海岛，∴t甲＝t乙，第22页（共22页） 即＝，∴＝，∴V甲＝＝v≈1.4v．19．（10分）从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．（1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩（取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）；（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试，用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；（3）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．则可计算得两班学生的样本平均成绩为＝76，＝76；样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4．请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．【解答】解：（1）D组人数为：20×25%＝5（人），C组人数为：20﹣（2+4+5+3）＝6（人），补充完整频数分布直方图如下：第22页（共22页） 估算参加测试的学生的平均成绩为：＝76.5（分）；（2）把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，画树状图如图：共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为＝；（3）∵样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4，∴s甲2＜s乙2，∴甲班的成绩稳定，∴甲班的数学素养总体水平好．20．（10分）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：年度（年）201620172018201920202021年度纯收入（万元）1.52.54.57.511.3若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y＝（m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．（1）能否选用函数y＝（m＞0）进行模拟，请说明理由；（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．第22页（共22页） 【解答】解：（1）∵1×1.5＝1.5，2×2.5＝5，∴1.5≠5，∴不能选用函数y＝（m＞0）进行模拟．（2）选用y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），理由如下，由（1）可知不能选用函数y＝（m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知，x每增大1个单位，y的变化不均匀，∴不能选用函数y＝x+b（k＞0），故只能选用函数y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）模拟．（3）把（1，1.5），（2，2.5）代入y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）得：，解得：，∴y＝0.5x2﹣0.5x+1.5，当x＝6时，y＝0.5×36﹣0.5×6+1.5＝16.5，∵16.5＞16，∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．21．（9分）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．第22页（共22页） 【解答】解：（1）当点H，O重合时，如图，∵AC＝CD，∴OC是直角三角形斜边上的中线，∴OC＝AD，又∵OC＝OA，即OA＝AD，∴∠D＝30°，又∵∠D+∠DAO＝90°，∠ABC+∠DAO＝90°，∴∠ABC＝∠D＝30°，∴sinθ＝；（2）∵∠DCB＝∠DHB＝∠ACB＝90°，由（1）知∠ABC＝∠D，∴△BHF∽△DCF∽△DHA，∴BH：DC：DH＝HF：CF：HA，∴BH•AH＝DH•FH；（3）当θ＝45°时，∠AOC＝90°，∴＝π•AB＝2π，即圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r＝＝1，∵圆锥的母线＝AB＝2，∴圆锥的高h＝＝＝，即圆锥的底面半径和高分别为1和．22．（12分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2）与点C关于y轴对称．（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．直线AC的函数表达式S取的一个特殊值满足条件的P点的个数S的可能取值范围①　y＝x+　64个③　0＜S＜　②　　3个第22页（共22页） 102个④　S＞　【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣，将A（4，0）代入，得：0＝a（4﹣2）2﹣，解得：a＝，∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣＝x2﹣x，∵点B（2，2）与点C关于y轴对称，∴C（﹣2，2），当x＝﹣2时，y＝（﹣2﹣2）2﹣＝2，∴点C在该抛物线y＝（x﹣2）2﹣上；（2）四边形ABCO是菱形．证明：∵B（2，2），C（﹣2，2），∴BC∥x轴，BC＝2﹣（﹣2）＝4，∵A（4，0），∴OA＝4，∴BC＝OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OC＝＝4，∴OC＝OA，∴四边形ABCO是菱形．（3）①设直线AC的函数表达式为y＝kx+b，∵A（4，0），C（﹣2，2），∴，解得：，∴直线AC的函数表达式为y＝x+；第22页（共22页） 故答案为：y＝x+；②当点P在直线AC下方的抛物线上时，如图2，设P（t，t2﹣t），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则H（t，t+），∴PH＝t+﹣（t2﹣t）＝﹣t2+t+，∵满足条件的P点有3个，∴在直线AC下方的抛物线上只有1个点P，即S△PAC的值最大，∵S△PAC＝S△PHC+S△PHC＝PH•[4﹣（﹣2）]＝3PH＝3（﹣t2+t+）＝（t﹣1）2+，∴当t＝1时，S△PAC取得最大值，故答案为：；③由②知，当0＜S＜时，在直线AC下方的抛物线上有2个点P，满足S△PAC＝S，在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，∴满足条件S△PAC＝S的P点有4个，符合题意．故答案为：0＜S＜；④∵满足条件S△PAC＝S的P点只有2个，而在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，∴在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，由②知，当S＞时，在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，符合题意．故答案为：S＞．第22页（共22页） 23．（12分）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求证：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值为　　；②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）证明：∵∠DBF＝∠ABE＝60°，∴∠DBF﹣∠ABF＝∠ABE﹣∠ABF，∴∠ABD＝∠EBF，在△BDA与△BFE中，，∴△BDA≌△BFE（SAS）；（2）①∵两点之间，线段最短，即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∴CD+DF+FE最小值为CE，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，∴AB＝2，∵tan∠ABC＝30°＝，∴BC＝，∵∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，第22页（共22页） ∴CE＝，故答案为：；②证明：∵BD＝BF，∠DBF＝60°，∴△BDF为等边三角形，即∠BFD＝60°，∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∴∠BFE＝120°，∵△BDA≌△BFE，∴∠BDA＝120°，∴∠ADF＝∠ADB﹣∠BDF＝120°﹣60°＝60°，∴∠ADF＝∠BFD，∴AD∥BF；（3）∠MPN的大小是为定值，理由：如图，连接MN，∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，∴MN∥AD，MN＝，PN∥EF，PN＝，∵△BDA≌△BFE∴AD＝EF，∴NP＝MN，∵AB＝BE且∠ABE＝60°，∴△ABE为等边三角形，设∠BEF＝∠BAD＝α，∠PAN＝β，则∠AEF＝∠APN＝60°﹣α，∠EAD＝60°+α，∴∠PNF＝60°﹣α+β，∠FNM＝∠FAD＝60°+α﹣β，∴∠PNM＝∠PNF+∠FNM＝60°﹣α+β+60°+α﹣β＝120°，∴∠MNP＝（180°﹣∠PNM）＝30°．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/208:57:39；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第22页（共22页）