2020年四川省高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

2020年四川省高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.已知集合♐ߙ률ɴᅠሻɴᅠᅠɴ，♐ߙ률ɴᅠሻɴ♐൅，则中元素的个数为()A.B.C.D.2.复数的虚部是（）香A.香B.香C.D.3.在一组样本数据中，，，，出现的频率分别为，，，，且♐＝，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.＝＝‴，＝＝‴B.＝＝‴，＝＝‴C.＝＝‴，＝＝‴D.＝＝‴，＝＝‴4.݋݅ݏ模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数률݅ሻ（݅的单位：天）的݋݅ݏ模型：률݅ሻ♐，其中为最大确诊病例数．当률݅ሻ＝‴歏时，标志着已初步遏制疫情，香‴률݅香歏ሻ则݅约为률ሻ률lnሻA.B.C.D.5.设为坐标原点，直线ɴ＝与抛物线＝ɴ률ሺሻ交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A.률ᅠሻB.률ᅠሻC.률ᅠሻD.률ᅠሻ6.已知向量，满足＝歏，＝，♐香，则cos，ሺ♐률ሻA.香B.香C.D.歏歏歏歏7.在中，cos♐，＝，＝，则cos＝（）A.B.C.D.试卷第1页，总10页 8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B.C.D.9.已知tan香tan률ሻ＝，则tan＝（）A.香B.香C.D.10.若直线与曲线♐ɴ和圆ɴ♐都相切，则的方程为（）歏A.＝ɴB.＝ɴC.♐ɴD.♐ɴɴ11.设双曲线香♐률ሺᅠሺሻ的左、右焦点分别为，，离心率为歏．是上一点，且．若的面积为，则＝（）A.B.C.D.൅12.已知歏歏൅，൅歏．设＝log，＝log歏，ݏ＝log൅，则（）歏൅A.ݏB.ݏC.ݏD.ݏ二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。)ɴᅠ13.若ɴ，满足约束条件ɴ香ᅠ则＝ɴ的最大值为________．ɴᅠ14.률ɴሻ的展开式中常数项是________（用数字作答）．ɴ15.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．16.关于函数률ɴሻ＝sinɴ有如下四个命题：sinɴ①률ɴሻ的图象关于轴对称．②률ɴሻ的图象关于原点对称．③률ɴሻ的图象关于直线ɴ♐对称．④률ɴሻ的最小值为．其中所有真命题的序号是________．试卷第2页，总10页 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。)17.设数列ߙ满足＝，＝香．（1）计算，，猜想ߙ的通项公式并加以证明；（2）求数列ߙ的前项和．18.某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次ᅠ률ᅠ률ᅠ空气质量等级（优）歏（良）歏（轻度污染）൅（中度污染）（1）分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有歏的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次人次ሺ空气质量好空气质量不好률ܽ香ݏሻ附：♐률ሻ률ݏܽሻ률ݏሻ률ܽሻ률ሻ‴歏‴‴‴൅‴歏‴൅൅试卷第3页，总10页 19.如图，在长方体香中，点，分别在棱，上，且＝，＝．（1）证明：点在平面内；（2）若＝，＝，＝，求二面角香香的正弦值．ɴ歏20.已知椭圆♐률歏ሻ的离心率为，，分别为的左、右顶点．歏（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线ɴ＝上，且＝，，求的面积．21.设函数률ɴሻ＝ɴɴݏ，曲线＝률ɴሻ在点（ᅠ률ሻ）处的切线与轴垂直．（1）求；（2）若률ɴሻ有一个绝对值不大于的零点，证明：률ɴሻ所有零点的绝对值都不大于．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）)ɴ♐香݅香݅ᅠ22.在直角坐标系ɴ中，曲线的参数方程为률݅为参数且݅ሻ，♐香݅݅与坐标轴交于，两点．（1）求；（2）以坐标原点为极点，ɴ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）)23.设，，ݏ，ݏ＝，ݏ＝．（1）证明：ݏݏ；（2）用maxߙᅠᅠݏ表示，，ݏ的最大值，证明：maxߙᅠᅠݏ．试卷第4页，总10页 参考答案与试题解析2020年四川省高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.D3.B4.C5.B法二：易知，∠ODE＝45°，可得D（2，2），代入抛物线方程y＝2px，可得4＝4p，解得p＝1，6.D7.A8.C9.D10.D11.A12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14.15.16.②③三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.法一：数列ߙ满足＝，＝香，则＝香＝歏，＝香＝，…，猜想ߙ的通项公式为＝．证明如下：률ሻ当＝，，时，显然成立，률ሻ假设＝时，＝률ሻ成立，当＝时，＝香＝률ሻ香＝＝률ሻ，故＝时成立，由률ሻ률ሻ知，＝，猜想成立，所以ߙ的通项公式＝．法二：数列ߙ满足＝，＝香，则＝香＝歏，＝香＝，…，猜想ߙ的通项公式为＝．试卷第5页，总10页 证明：设률ሻ＝률ሻ，可得＝香，♐香♐香∴，解得，香♐♐香∴香률ሻ香＝률香香ሻ，（不能说明ߙ香香是等比数列）∵＝，香香＝，并且香률ሻ香＝，所以＝恒成立．所以＝．令＝＝률ሻ，则数列ߙ的前项和＝歏‴‴‴률ሻ，…①两边同乘得，＝歏‴‴‴률ሻ，…②①-②得，香＝‴‴‴香률ሻ൅률香香ሻ＝香률ሻ，香所以＝률香ሻ．歏18.该市一天的空气质量等级为的概率为：♐；歏该市一天的空气质量等级为的概率为：♐；൅该市一天的空气质量等级为的概率为：♐；该市一天的空气质量等级为的概率为：♐；由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：ɴ♐‴‴歏歏‴歏＝歏；根据所给数据，可得下面的列联表，人人总次次计ሺ空气质量好空൅气质量不好总歏歏歏计률ܽ香ݏሻ률൅香ሻ由表中数据可得：♐♐歏‴൅ሺ‴൅，률ሻ률ݏܽሻ률ݏሻ률ܽሻ歏歏歏所以有歏的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19.证明：在上取点，使得＝，连接，，，，在长方体香中，有，且＝＝．试卷第6页，总10页 又＝，＝，＝，∴＝＝．∴四边形和四边形都是平行四边形．∴，且＝，，且＝．又在长方体香中，有，且＝，∴且＝，则四边形为平行四边形，∴，且＝，又，且＝，∴，且＝，则四边形为平行四边形，∴点在平面内；在长方体香中，以为坐标原点，分别以，，所在直线为ɴ，，轴建立空间直角坐标系．∵＝，＝，＝，＝，＝，∴률ᅠᅠሻ，률ᅠᅠሻ，률ᅠᅠሻ，률ᅠᅠሻ，则♐률香ᅠᅠ香ሻ，♐률ᅠ香ᅠ香ሻ，♐률ᅠ香ᅠሻ．设平面的一个法向量为♐률ɴᅠᅠሻ．♐香ɴ香♐则，取ɴ＝，得♐률ᅠᅠ香ሻ；♐香香♐设平面的一个法向量为♐률ɴᅠᅠሻ．♐香ɴ香♐则，取ɴ＝，得♐률ᅠᅠሻ．♐香♐香∴cosᅠሺ♐♐♐．设二面角香香为，则sin♐香♐．∴二面角香香的正弦值为．试卷第7页，总10页 ݏ歏歏20.由♐得＝香，即♐香，∴♐，歏ɴ故的方程是：♐；歏歏代数方法：由（1）률香歏ᅠሻ，设률ᅠ݅ሻ，点률ᅠሻ，根据对称性，只需考虑ሺ的情况，歏此时香歏歏，݅，∵＝，∴有률香歏ሻ݅＝①，又∵，∴香歏݅＝②，݅又♐③，歏歏♐♐香联立①②③得݅♐或݅♐，♐♐൅♐当݅♐时，则률ᅠሻ，률ᅠሻ，而률香歏ᅠሻ，♐则（法一）♐률൅ᅠሻ，♐률ᅠሻ，歏∴♐香률ሻ♐൅香♐，♐香歏同理可得当݅♐时，♐，♐൅歏综上，的面积是．法二：∵률ᅠሻ，률ᅠሻ，∴直线的方程为：ɴ香＝，歏∴点到直线ɴ香＝的距离ܽ♐，而♐，歏歏∴♐♐．数形结合方法：如图示：试卷第8页，总10页 ①当点在轴左侧时，过点作，直线ɴ＝和ɴ轴交于률ᅠሻ点，易知，∴＝＝，ɴ故＝时，歏♐，解得：ɴ＝，（ɴ＝舍），歏故률香ᅠሻ，易得＝൅，＝൅，歏故＝香香香♐률൅香香률歏ሻ香൅ሻ♐，②当点在轴右侧时，同理可得ɴ＝，即률ᅠሻ，＝，＝，歏故♐，歏综上，的面积是．21.由률ɴሻ＝ɴɴݏ，得̵률ɴሻ＝ɴ，∴̵률ሻ＝률ሻ♐，即♐香；证明：设ɴ为률ɴሻ的一个零点，根据题意，률ɴሻ♐ɴ香ɴݏ♐，且ɴ，则ݏ♐香ɴɴ，由ɴ，令ݏ률ɴሻ♐香ɴɴ률香ɴሻ，∴ݏ̵률ɴሻ♐香ɴ♐香률ɴሻ률ɴ香ሻ，当ɴ률香ᅠ香ሻ률ᅠሻ时，ݏ̵률ɴሻ，当ɴ률香ᅠሻ时，ݏ̵률ɴሻሺ可知ݏ률ɴሻ在률香ᅠ香ሻ，률ᅠሻ上单调递减，在률香ᅠሻ上单调递增．又ݏ률香ሻ♐，ݏ률ሻ♐香，ݏ률香ሻ♐香，ݏ률ሻ♐，∴香ݏ．设ɴ为률ɴሻ的零点，则必有률ɴሻ♐ɴ香ɴݏ♐，即香ݏ♐香ɴɴ，试卷第9页，总10页 ɴ香ɴ香♐률ɴ香ሻ률ɴሻ∴，得香ɴ，ɴ香ɴ♐률ɴሻ률ɴ香ሻ即ɴ．∴률ɴሻ所有零点的绝对值都不大于．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.当ɴ＝时，可得݅＝香（舍去），代入＝香݅݅，可得＝＝，当＝时，可得݅＝（舍去），代入ɴ＝香݅香݅，可得ɴ＝香香＝香，所以曲线与坐标轴的交点为률香ᅠሻ，률ᅠሻ，则♐률香ሻ♐；由（1）可得直线过点률ᅠሻ，률香ᅠሻ，ɴ可得的方程为香♐，即为ɴ香＝，由ɴ＝cos，＝sin，可得直线的极坐标方程为cos香sin＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.∵ݏ＝，∴률ݏሻ＝，∴ݏݏݏ＝，∴ݏݏ＝香률ݏሻ，∵ݏ＝，∴，，ݏ均不为，∴ݏݏ＝香률ݏሻ，∴ݏݏ；不妨设ݏ，则♐ሺ，ݏ∵ݏ＝，∴香香＝ݏ，而香香ሺ♐♐♐，与假设矛盾，故maxߙᅠᅠݏ．试卷第10页，总10页