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2013年上海市高考数学试卷(理科)
2013年上海市高考数学试卷(理科)
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2013年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.)th1.计算:lim________.t2.设,htht끨h䁕是纯虚数,其中是虚数单位,则=________.hh3.若,t________.4.已知香䁨的内角、香、䁨所对的边分别是、、,若hththh=,则角䁨的大小是________.h5.设常数,若t的二项展开式中项的系数为,则=________.6.方程t的实数解为________.7.在极坐标系中,曲线cost与cos的公共点到极点的距离为________.8.盒子中装有编号为,h,,,,,,,的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示).9.设香是椭圆Γ的长轴,点䁨在Γ上,且䁨香,若香=,香䁨h,则Γ的两个焦点之间的距离为________.10.设非零常数是等差数列,h,…,的公差,随机变量等可能地取值,h,…,,则方差=________.h11.若coscostsinsin,sinhtsinh,则sin끨t䁕________.hh12.设为实常数,끨䁕是定义在上的奇函数,当时,끨䁕tt.若끨䁕t对一切成立,则的取值范围为__________.13.在‸平面上,将两个半圆弧끨䁕hth끨䁕和끨䁕hth끨䁕,两条直线和围成的封闭图形记为,如图中阴影部分,记绕轴旋转一周而成的几何体为.过끨䁪䁕끨䁕作的水平截面,所得截面积为ht.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为________.试卷第1页,总7页 14.对区间上有定义的函数끨䁕,记끨䁕==끨䁕䁪.已知定义域为䁪的函数=끨䁕有反函数=끨䁕,且끨䁪䁕)=䁪h䁕䁪끨끨h䁪䁕=䁪䁕.若方程끨䁕=有解,则=________.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.)15.设常数,集合끨䁕끨䁕,香,若香,则的取值范围为끨䁕A.끨䁪h䁕B.끨䁪hC.끨h䁪t䁕D.h䁪t䁕16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的끨䁕A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件17.在数列中,=h,若一个行h列的矩阵的第行第列的元素=tt,끨=䁪h,…,;=䁪h,…,h䁕,则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()A.B.hC.D.18.在边长为的正六边形香䁨쳌中,记以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、h、、、;以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、h、、、.若、分别为끨tt䁕끨tt䁕的最小值、最大值,其中䁪䁪䁪h䁪䁪䁪,䁪䁪䁪h䁪䁪䁪,则、满足()A.=,㐠B.,㐠C.,=D.,三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.)19.如图,在长方体香䁨香䁨中,香h,,.证明直线香䁨平行于平面䁨,并求直线香䁨到平面䁨的距离.20.甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得的利润是끨t䁕元.(1)要使生产该产品h小时获得的利润不低于元,求的取值范围;(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.21.已知函数끨䁕=hsin끨䁕,其中常数㐠.h(1)若=끨䁕在䁪上单调递增,求的取值范围;试卷第2页,总7页 (2)令=h,将函数=끨䁕的图象向左平移个单位,再向上平移个单位,得到函数=끨䁕的图象,区间䁪끨,,且䁕满足:=끨䁕在䁪上至少含有个零点.在所有满足上述条件的䁪中,求的最小值.h22.如图,已知双曲线䁨h,曲线䁨h=t,是平面内一点,若存在h过点的直线与䁨,䁨h都有公共点,则称为“䁨䁨h型点”(1)在正确证明䁨的左焦点是“䁨䁨h型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线=与䁨h有公共点,求证㐠,进而证明原点不是“䁨䁨h型点”;hh(3)求证:圆t内的点都不是“䁨䁨h型点”.h23.给定常数㐠,定义函数끨䁕=httt.数列,h,,…满足=끨䁕,.t(1)若=h,求h及;(2)求证:对任意,;t(3)是否存在,使得,h,…,,…成等差数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由.试卷第3页,总7页 参考答案与试题解析2013年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.2.h3.4.arccos5.h6.logt7.h8.9.10.hh11.12.13.hht14.h二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.B16.B17.A18.D三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.解:解法一:因为香䁨香䁨为长方体,故香䁨,香䁨,故香䁨为平行四边形,故香䁨,显然香䁨不在平面䁨内,于是直线香䁨平行于平面䁨.直线香䁨到平面䁨的距离即为点香到平面䁨的距离,设为,考虑三棱锥香䁨的体积,以香䁨为底面,可得三棱锥香䁨的体积为试卷第4页,总7页 끨䁕,hh而䁨中,䁨䁨,h,故䁨的底边上的高为,hh故䁨的面积䁨h,hhhhh所以,,即直线香䁨到平面䁨的距离为.h解法二:以所在的直线为轴,以䁨所在的直线为轴,以所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.则由题意可得,点끨䁪䁪䁕、香끨䁪h䁪䁕、䁨끨䁪h䁪䁕、䁨끨䁪h䁪䁕、끨䁪䁪䁕.设平面䁨的一个法向量为끨䁞䁪䁪䁕,则由,䁨,可得,䁨.䁞t䁞h∵끨䁪䁪䁕,䁨끨䁪h䁪䁕,∴,解得.hth令,可得䁞h,h,可得끨h䁪䁪h䁕.由于香䁨끨䁪䁪䁕,∴香䁨,故有香䁨.再由香䁨不在平面䁨内,可得直线香䁨平行于平面䁨.htt끨h䁕h由于䁨香끨䁪䁪䁕,可得点香到平面䁨的距离,hhtht끨h䁕hh故直线香䁨到平面䁨的距离为.20.解:(1)生产该产品h小时获得的利润为끨t䁕h=h끨t䁕h根据题意,h끨t䁕,即∴或∵,∴;(2)设利润为元,则生产千克该产品获得的利润为=끨t䁕h=끨tt䁕=끨䁕thh∵,∴=时,取得最大利润为元h故甲厂应以千克/小时的速度生产,可获得最大利润为元.试卷第5页,总7页 h21.∵函数=끨䁕在䁪上单调递增,且㐠,h∴,且,hh解得.끨䁕=hsinh,∴把=끨䁕的图象向左平移个单位,再向上平移个单位,得到hsinh끨t䁕t,∴函数=끨䁕hsinh끨t䁕t,令끨䁕=,得t,或t끨䁕.hh∴相邻两个零点之间的距离为或.若最小,则和都是零点,此时在区间䁪t,䁪ht,…,䁪t끨䁕分别恰有,,…,ht个零点,所以在区间䁪t是恰有h个零点,从而在区间끨t䁪至少有一个零点,∴.另一方面,在区间䁪tt恰有个零点,hh因此的最小值为t.22.(1)解:䁨的左焦点为끨䁪䁕,写出的直线方程可以是以下形式:或끨t䁕,其中.(2)证明:因为直线=与䁨h有公共点,t所以方程组有实数解,因此=t,得㐠.t若原点是“䁨䁨h型点”,则存在过原点的直线与䁨、䁨h都有公共点.考虑过原点与䁨h有公共点的直线=或=끨㐠䁕.显然直线=与䁨无公共点.hh如果直线为=끨㐠䁕,则由方程组hh,得h,矛盾.hh所以直线=끨㐠䁕与䁨也无公共点.因此原点不是“䁨䁨h型点”.hh(3)证明:记圆‸t,取圆‸内的一点,设有经过的直线与䁨,䁨hh都有公共点,显然不与轴垂直,故可设=t.若,由于圆‸夹在两组平行线=与=之间,因此圆‸也夹在直线=与=之间,从而过且以为斜率的直线与䁨h无公共点,矛盾,所以㐠.因为与䁨由公共点,试卷第6页,总7页 t所以方程组hh有实数解,h得끨hh䁕hhhh=.因为㐠,所以hh,因此=끨䁕h끨hh䁕끨hhh䁕=끨hthh䁕,即hhh.因为圆‸的圆心끨䁪䁕到直线的距离,thhhthhhh所以,从而㐠h,得,与㐠矛盾.thhhhh因此,圆t内的点不是“䁨䁨h型点”.h23.(1)解:h=끨䁕=끨h䁕=hhttht=h=h,=끨h䁕=끨h䁕=hhttht=h끨t䁕끨th䁕=t.tt䁪(2)证明:由已知可得끨䁕tt䁪䁪当时,t=t㐠;当时,t=htth끨䁕tt=;当时,t=h㐠h끨䁕=.∴对任意,;t(3)解:假设存在,使得,h,…,,…成等差数列.由(2)及㐠,得t,即为无穷递增数列.又为等差数列,所以存在正数,当㐠时,,从而t=끨䁕=tt,由于为等差数列,因此公差=t.①当时,则h=끨䁕=,又h=t=tt,故=tt,即=,从而h=,当h时,由于为递增数列,故h=㐠,∴t=끨䁕=tt,而h=tt,故当=时,为无穷等差数列,符合要求;②若,则h=끨䁕=tt,又h=t=tt,∴tt=tt,得=,应舍去;③若,则由得到t=끨䁕=tt,从而为无穷等差数列,符合要求.综上可知:的取值范围为䁪䁪t䁕.试卷第7页,总7页
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高考 - 历年真题
发布时间:2021-10-23 09:04:02
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