2005年上海市高考数学试卷（理科）

2005年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.函数f(x)=log4(x+1)的反函数f-1(x)=________．2.方程4x+2x-2=0的解是________．3.直角坐标平面xOy中，若定点A(1, 2)与动点P(x, y)满足OP→⋅OA→=4，则点P的轨迹方程是________．4.在(x-a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a=________．5.若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是________．6.将参数方程x=1+2cosθ,y=2sinθ, （θ为参数）化成普通方程为________．7.计算：limn→∞3n+13n+1+2n=________．8.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．（结果用分数表示）9.在△ABC中，若A=120∘，AB=5，BC=7，则△ABC的面积是________．10.函数f(x)＝sinx+2|sinx|，x∈[0, 2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________．11.有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a(a>0)，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________．12.用n个不同的实数a1，a2，…，an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵．对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi=-ai1+2ai2-3ai3+...+(-1)nnain(i=1, 2, 3,…,n!)．例如：用1，2，3可得数阵如下，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+...+b6=-12+2×12-3×12=-24．那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+...+b120=________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.若函数f(x)=12x+1，则该函数在(-∞, +∞)上是（）试卷第5页，总6页 A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值14.已知集合M={x||x-1|≤2,x∈R}，P={x|5x+1≥1，x∈Z}，则M∩P等于（）A.{x|0<x≤3, x∈Z}B.{x|0≤x≤3, x∈Z}C.{x|-1≤x≤0, x∈Z}D.{x|-1≤x<0, x∈Z}15.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在16.设定义域为R的函数f(x)=|lg|x-1||,x≠10,x=1 ，则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c＝0有7个不同的实数解得充要条件是（）A.b<0且c>0B.b>0且c<0C.b<0且c＝0D.b≥0且c＝0三、解答题（共6小题，满分86分）)17.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A=90∘，AB // CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC1与DC所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）18.在复数范围内，求方程|z|2+(z+z)i=1-i（i为虚数单位）的解．19.已知点A，B分别是椭圆x236+y220=1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点Q到点M的距离d的最小值．20.假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？21.对定义域是Df．Dg的函数y＝f(x)．y＝g(x)，规定：函数h(x)=f(x)g(x),x∈Dfx∈Dgf(x),x∈Dfx∉Dgg(x),x∉Dfx∈Dg ．（1）若函数f(x)=1x-1，g(x)＝x2，写出函数h(x)的解析式；试卷第5页，总6页 （2）求问题（1）中函数h(x)的值域；（3）若g(x)＝f(x+α)，其中α是常数，且α∈[0, π]，请设计一个定义域为R的函数y＝f(x)，及一个α的值，使得h(x)＝cos4x，并予以证明．22.在直角坐标平面中，已知点P1(1, 2)，P2(2, 22)，P3(3, 23)，…，Pn(n, 2n)，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，An为An-1关于点Pn的对称点．（1）求向量A0A2→的坐标；（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以3位周期的周期函数，且当x∈(0, 3]时，f(x)=lgx．求以曲线C为图象的函数在(1, 4]上的解析式；（3）对任意偶数n，用n表示向量A0An→的坐标．试卷第5页，总6页 参考答案与试题解析2005年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.4x-12.03.x+2y-4＝04.-125.x2-y29=16.(x-1)2+y2=47.138.379.153410.(1, 3)11.0<a<15312.-1080二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.A14.B15.B16.C三、解答题（共6小题，满分86分）17.解：由题意AB // CD，∴∠C1BA是异面直线BC1与DC所成的角．连接AC1与AC，在Rt△ADC中，可得AC=5．又在Rt△ACC1中，可得AC1=3．在梯形ABCD中，过C作CH // AD交AB于H，得∠CHB=90∘，CH=2，HB=3，∴CB=13．又在Rt△CBC1中，可得BC1=17，在△ABC1中，cos∠C1BA=31717，∴∠C1BA=arccos31717，异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos31717．试卷第5页，总6页 18.解：原方程化简为|z|2+(z+z)i=1-i，设z=x+yi(x、y∈R)，代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i，∴x2+y2=1且2x=-1，解得x=-12且y=±32，∴原方程的解是z=-12±32i．19.解：(1)由已知可得点A(-6, 0)，F(4, 0).设点P(x, y)，则AP→=(x+6, y)，FP→=(x-4, y)．由已知可得x236+y220=1,(x+6)(x-4)+y2=0,即2x2+9x-18=0，解得x=32或x=-6．由于y>0，只能x=32，于是y=532．∴点P的坐标是(32, 532)．(2)直线AP的方程是 y-0532-0=x+632+6，即x-3y+6=0． 设点M(m, 0)，则M到直线AP的距离是|m+6|2，于是|m+6|2=|6-m|.又-6≤m≤6，解得m=2，故点M(2, 0)．设椭圆上的点Q(x1, y1)到点M的距离为d，有d2=(x1-2)2+y12=x12-4x1+4+20-59x12=49(x1-92)2+15.∵-6≤x1≤6，∴当x=92时，d取得最小值为15．20.解：（1）设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=250，d=50，则Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n，令25n2+225n≥4750，即n2+9n-190≥0，而n是正整数，∴n≥10，∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400⋅(1.08)n-1，由题意可知an>0.85bn，有250+(n-1)⋅50>400⋅(1.08)n-1⋅0.85，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．试卷第5页，总6页 21.h(x)=x2x-1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞)1,x=1 ．当x≠1时，h(x)=x2x-1=x-1+1x-1+2，若x>1时，则h(x)≥4，其中等号当x＝2时成立若x<1时，则h(x)≤0，其中等号当x＝0时成立∴函数h(x)的值域是(-∞, 0]∪{1}∪[4, +∞)令f(x)＝sin2x+cos2x，α=π4则g(x)＝f(x+α)＝sin2(x+π4)+cos2(x+π4)＝cos2x-sin2x，于是h(x)＝f(x)⋅f(x+α)＝(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)＝cos4x．另解令f(x)＝1+2sin2x，α=π2，g(x)＝f(x+α)＝1+2sin2(x+π)＝1-2sin2x，于是h(x)＝f(x)⋅f(x+α)＝(1+2sin2x)(1-2sin2x)＝cos4x．22.解：（1）设点A0(x, y)，A1为A0关于点P1的对称点，A1的坐标为(2-x, 4-y)，A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x, 4+y)，∴A0A2→={2, 4}．（2）∵A0A2→={2, 4}，∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．因此，设曲线C是函数y=g(x)的图象，其中g(x)是以3为周期的周期函数，且当x∈(-2, 1]时，g(x)=lg(x+2)-4．于是，当x∈(1, 4]时，g(x)=lg(x-1)-4．（3）A0An→=A0A2→+A2A4→+...+An-2An→，由于A2k-2A2k→=2P2k-1P2k→，得A0An→=2(P1P2→+P3P4→+...+Pn-1Pn→)=2({1, 2}+{1, 23}+...+{1, 2n-1})=2{n2, 2(2n-1)3}={n, 4(2n-1)3}试卷第5页，总6页