2014年上海市高考数学试卷（理科）

2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）)1.函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是________．2.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z+1z)⋅z=________．3.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．4.设f(x)=x,x∈(-∞,a)x2,x∈[a,+∞) ，若f(2)＝4，则a的取值范围为________．5.若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为________．6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为________（结果用反三角函数值表示）．7.已知曲线C的极坐标方程为ρ(3cosθ-4sinθ)＝1，则C与极轴的交点到极点的距离是________．8.设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=limn→∞(a3+a4+...an)，则q=________．9.若f(x)=x23-x-12，则满足f(x)<0的x的取值范围是________．10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是________（结果用最简分数表示）．11.已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a, b}={a2, b2}，则a+b=________．12.设常数a使方程sinx+3cosx＝a在闭区间[0, 2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝________7π3．13.某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E(ξ)＝4.2，则小白得5分的概率至少为________．14.已知曲线C:x=-4-y2，直线l:x=6，若对于点A(m, 0)，存在C上的点P和l上的Q使得AP→+AQ→=0→，则m的取值范围为________．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分)15.设a，b∈R，则“a+b>4”是“a>2且b>2”的(    )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件试卷第7页，总7页 16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1, 2,…8)是上底面上其余的八个点，则AB→⋅APi→(i＝1, 2,…,8)的不同值的个数为（）A.1B.2C.3D.417.已知P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组a1x+b1y=1，a2x+b2y=1 的解的情况是(    )A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解18.设f(x)=(x-a)2，x≤0x+1x+a，x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（）A.[-1, 2]B.[-1, 0]C.[1, 2]D.[0, 2]三、解答题（共5题，满分72分）)19.底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20.设常数a≥0，函数f(x)=2x+a2x-a．(1)若a=4，求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)；(2)根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由．21.如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12∘，β=18.45∘，求CD的长（结果精确到0.01米）．试卷第7页，总7页 22.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:ax+by+c＝0和点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，记η＝(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，若η<0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A(1, 2)，B(-1, 0)被直线x+y-1＝0分隔；（2）若直线y＝kx是曲线x2-4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q(0, 2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23.已知数列{an}满足13an≤an+1≤3an，n∈N*，a1＝1．（1）若a2＝2，a3＝x，a4＝9，求x的取值范围；（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn＝a1+a2+...an，若13Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+...ak＝1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．试卷第7页，总7页 参考答案与试题解析2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1.π22.63.x=-24.(-∞, 2]5.226.arccos137.138.5-129.(0, 1)10.11511.-112.7π313.0.214.[2, 3]二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15.B16.A17.B18.D三、解答题（共5题，满分72分）19.解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60∘，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60∘，∴试卷第7页，总7页 ∠P1=60∘，同理∠P2=∠P3=60∘，∴△P1P2P3是等边三角形，P-ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，VP-ABC=212×AB3=223.20.解：(1)∵a=4，∴f(x)=2x+42x-4=y，∴2x=4y+4y-1，∴x=log24y+4y-1，∴调换x，y的位置可得y=f-1(x)=log24x+4x-1，x∈(-∞, -1)∪(1, +∞)．(2)若f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)对任意x均成立，∴2x+a2x-a=2-x+a2-x-a，整理可得a(2x-2-x)=0．∵2x-2-x不恒为0，∴a=0，此时f(x)=1，x∈R，满足条件；若f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)对任意x均成立，∴2x+a2x-a=-2-x+a2-x-a，整理可得a2-1＝0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f(x)=2x+12x-1,x≠0，满足条件；当a>0且a≠1时，f(x)为非奇非偶函数，综上所述，a=0时，f(x)是偶函数，a=1时，f(x)是奇函数．当a>0且a≠1时，f(x)为非奇非偶函数.21.解：(1)设CD的长为x米，则tanα=x35，tanβ=x80，∵0<2β≤α<π2，∴tanα≥tan2β>0，∴tanα≥2tanβ1-tan2β，即x35≥2⋅x801-x26400=160x6400-x2，解得0<x≤202≈28.28，即CD的长至多为28.28米．(2)设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180∘-α-β=123.43∘，由正弦定理得asinα=ABsin∠ADB，即a=115sin38.12∘sin123.43∘≈85.06，∴m=802+a2-160acos18.45≈26.93，答：CD的长为试卷第7页，总7页 26.93米．22.证明：把点(1, 2)、(-1, 0)分别代入x+y-1 可得(1+2-1)(-1-1)＝-4<0，∴点(1, 2)、(-1, 0)被直线 x+y-1＝0分隔．联立直线y＝kx与曲线x2-4y2＝1可得 (1-4k2)x2＝1，根据题意，此方程无解，故有 1-4k2≤0，∴k≤-12，或 k≥12．曲线上有两个点(-1, 0)和(1, 0)被直线y＝kx分隔．证明：设点M(x, y)，则 x2+(y-2)2⋅|x|＝1，故曲线E的方程为[x2+(y-2)2]x2＝1 ①．y轴为x＝0，显然与方程①联立无解．又P1(1, 2)、P2(-1, 2)为E上的两个点，且代入x＝0，有 η＝1×(-1)＝-1<0，故x＝0是一条分隔线．若过原点的直线不是y轴，设为y＝kx，代入[x2+(y-2)2]x2＝1，可得[x2+(kx-2)2]x2＝1，令f(x)＝[x2+(kx-2)2]x2-1，∵k≠2，f(0)f(1)＝-(k-2)2<0，∴f(x)＝0在(0, 1)有实数解，k＝2，f(x)＝[x2+(2x-2)2]x2-1＝0没有实数解，即y＝kx与E有公共点，∴y＝kx不是E的分隔线．∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23.依题意：13a2≤a3≤3a2，∴23≤x≤6；又13a3≤a4≤3a3∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6由已知得，an=qn-1，13a1≤a2≤3a1，∴13≤q≤3，当q＝1时，Sn＝n，13Sn≤Sn+1≤3Sn，即n3≤n+1≤3n，成立．当1<q≤3时，Sn=qn-1q-1，13Sn≤Sn+1≤3Sn，即13qn-1q-1≤qn+1-1q-1≤3qn-1q-1，∴13≤qn+1-1qn-1≤3不等式3qn+1-qn-2≥0qn+1-3qn+2≤0 ∵q>1，故3qn+1-qn-2＝qn(3q-1)-2>2qn-2>0对于不等式qn+1-3qn+2≤0，令n＝1，得q2-3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q-3<0，∴qn+1-3qn+2＝qn(q-3)+2≤q(q-3)+2＝(q-1)(q-2)≤0成立，∴1<q≤2，当13≤q<1时，Sn=qn-1q-1，13Sn≤Sn+1≤3Sn，即131-qn1-q≤1-qn+11-q≤31-qn1-q，∴此不等式即3qn+1-qn-2≤0qn+1-3qn+2≥0 ，3q-1>0，q-3<0，3qn+1-qn-2＝qn(3q-1)-2<2qn-2<0，qn+1-3qn+2＝qn(q-3)+2≥q(q-3)+2＝(q-1)(q-2)>0∴试卷第7页，总7页 13≤q<1时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：13≤q≤2．设a1，a2，…ak的公差为d．由13an≤an+1≤3an，且a1＝1，得13[1+(n-1)d]≤1+nd≤3[1+(n-1)d],n=1,2,⋯,k-1即(2n+1)d≥-2(2n-3)d≥-2 n=1,2,⋯,k-1当n＝1时，-23≤d≤2；当n＝2，3，…，k-1时，由-22n+1>-22n-3，得d≥-22n+1，所以d≥-22k-1≥-23，所以1000＝ka1+k(k-1)2d≥k+k(k-1)2⋅-22k-1，即k2-2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…ak的公差为-11999．试卷第7页，总7页