2011年上海市高考数学试卷（理科）

2011年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）)1.函数f(x)=1x-2的反函数为f-1(x)=________．2.若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA=________．3.设m是常数，若点F(0, 5)是双曲线y2m-x29=1的一个焦点，则m＝________．4.不等式x+1x≤3的解为________．5.在极坐标系中，直线ρ(2cosθ+sinθ)=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为________．（结果用反三角函数值表示）6.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75∘，∠CBA＝60∘，则A、C两点之间的距离为________千米．7.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．8.函数y=sin(π2+x)cos(π6-x)的最大值为________．9.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：x123P(ξ=x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=________．10.行列式abcd(a, b, c, d∈{-1, 1, 2})所有可能的值中，最大的是________．11.在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则AB→⋅AD→=________．12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为________（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）13.设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)=x+g(x)在区间[3, 4]上的值域为[-2, 5]，则f(x)在区间[-10, 10]上的值域为________．14.已知点O(0, 0)、Q0(0, 1)和点R0(3, 1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足(|OQ1|-2)(|OR1|-2)<0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足(|OQ2|-2)(|OR2|-2)<0．依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，则limn→∞|Q0Pn|=________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）)15.已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(    )A.a2+b2>2abB.a+b≥2abC.1a+1b>2abD.ba+ab≥216.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0, +∞)上单调递减的函数是（）A.y=ln1|x|B.y=x3C.y=2|x|D.y=cosx试卷第7页，总7页 17.设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使MA1→+MA2→+MA3→+MA4→+MA5→=0→成立的点M的个数为(    )A.0B.1C.5D.1018.设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积(i＝1, 2,…)，则{An}为等比数列的充要条件是（）A.{an}是等比数列B.a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同三、解答题（共5小题，满分74分）)19.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1⋅z2是实数，求z2．20.已知函数f(x)=a⋅2x+b⋅3x，其中常数a，b满足a⋅b≠0 .(1)若a⋅b>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若a⋅b<0，求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围．21.已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；（2）若点C到平面AB1D1的距离为43，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高．22.已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n+6，bn＝2n+7(n∈N*)．将集合{x|x＝an, n∈N*}∪{x|x＝bn, n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{cn}的通项公式．23.已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P, l)（1）求点P(1, 1)到线段l:x-y-3=0(3≤x≤5)的距离d(P, l)；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d(P, l)≤1}所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d(P, l1)=d(P, l2)}，其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．①A(1, 3)，B(1, 0)，C(-1, 3)，D(-1, 0)．②A(1, 3)，B(1, 0)，C(-1, 3)，D(-1, -2)．试卷第7页，总7页 ③A(0, 1)，B(0, 0)，C(0, 0)，D(2, 0)．试卷第7页，总7页 参考答案与试题解析2011年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1.1+2xx，(x≠0)2.(0, 1)3.164.{x|x≥12或x<0}5.arctan126.67.3π38.2+349.210.611.15212.0.98513.[-15, 11]14.3二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15.D16.A17.B18.D三、解答题（共5小题，满分74分）19.解：∵z1-2=1-i1+i=(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)=-i，∴z1=2-i.设z2=a+2i(a∈R)，∴z1⋅z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.∵z1⋅z2是实数∴4-a=0解得a=4，∴z2=4+2i.20.解：(1)①若a>0，b>0，则y=a⋅2x与y=b⋅3x均为增函数，所以f(x)=a⋅2x+b⋅3x在R上为增函数；②若a<0，b<0，则y=a⋅2x与y=b⋅3x均为减函数，所以f(x)=a⋅2x+b⋅3x在R上为减函数．(2)①若a>0，b<0，由f(x+1)>f(x)得a⋅2x+1+b⋅3x+1>a⋅2x+b⋅3x，化简得a⋅2x>-2b⋅3x，即(23)x>-2ba，解得x<log23-2ba；②若a<0，b>0，由f(x+1)>f(x)试卷第7页，总7页 可得(23)x<-2ba，解得x>log23-2ba．21.解：（1）由题意画出图形为：∵ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，∴底面为正方形且边长为1，又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，∴∠AB1A1=α，tanα=AA1A1B1，又因为二面角A-B1D1-A1的大小为β，且底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，∴∠AO1A1=β，∴2tanβ=AA1A1O1 而底面A1B1C1D1为边长为1的正方形，∴A1B1=2A1O1，∴tanβ=2tanα．（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1且交线为AO1，∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用Rt△AA1O1∽Rt△CHA 得到A1O1AA1=AHCH，而AH=AC2-CH2=2-(43)2，∴A1O1AA1=AHCH⇔22AA1=2343⇒AA1=2，故正四棱锥的高为AA1=2．22.a1＝3×1+6＝9； a2＝3×2+6＝12 a3＝3×3+6＝15b1＝2×1+7＝9 b2＝2×2+7＝11 b3＝2×3+7＝13∴c1＝9；c2＝11；c3＝12；c4＝13解对于an＝3n+6，当n为奇数时，设为n＝2k+1则3n+6＝2(3k+1)+7∈{bn}当n为偶数时，设n＝2k则3n+6＝6k-1+7不属于{bn}∴在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；b3k-2＝2(3k-2)+7＝a2k-1b3k-1＝6k+5a2k＝6k+6b3k＝6k+7∵6k+3<6k+5<6k+6<6k+7∴试卷第7页，总7页 当k＝1时，依次有b1＝a1＝c1，b2＝c2，a2＝c3，b3＝c4…∴cn=6k+3(n=4k-3)6k+5(n=4k-2)6k+6(n=4k-1)6k+7(n=4k)23.解：（1）点P(1, 1)到线段l:x-y-3=0(3≤x≤5)的距离d(P, l)是点P到(3, 0)的距离，d(P, l)=22+1=5，（2）由题意知集合D={P|d(P, l)≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，∴S=22+π=4+π（3）对于所给的三组点到坐标选第一组，A(1, 3)，B(1, 0)，C(-1, 3)，D(-1, 0)．利用两点式写出两条直线的方程，AB:x=1，CD:x=-1，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d(P, l1)=d(P, l2)}，根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴．选第二组点来计算：A(1, 3)，B(1, 0)，C(-1, 3)，D(-1, -2)，根据第一组做出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点是y轴非负半轴，抛物线x=14y2(y≤0,0≤x≤1)，直线y=-x-1(x>1)．选第三组来求解到两条线段距离相等的点，A(0, 1)，B(0, 0)，C(0, 0)，D(2, 0)，根据两条线段分别在横轴和纵轴上，知到两条线段距离相等的点在一三象限的角平分线上，方程是y=x试卷第7页，总7页 ，不是这条直线上的所有的点都合题意，根据所给的点到直线的距离知(1, 1)点左下方的符合题意，所以所求的点的集合是y=x(0<x≤1)，y=12x2+12(1<x<2)，2x-32(x≥2)或x≤0，y≤0．试卷第7页，总7页