2015年上海市高考数学试卷（理科）

2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．)1.设全集全．若集合全ሼ，全耀，则全________．2.若复数满足䁪全ሼ䁪㔠，其中㔠是虚数单位，则全________．ሼ全，3.若线性方程组的增广矩阵为解为则ሼ＝________．ሼ全㈠，4.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为ሼ，则全________．5.抛物线全上的动点到焦点的距离的最小值为ሼ，则全________．6.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为________．7.方程logሼ㈠全logሼ䁪的解为________．8.在报名的名男老师和名女教师中，选取㈠人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）．9.已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线ሼ和．若ሼ的渐近线方程为全，则的渐近线方程为________．10.设ሼ为全䁪，的反函数，则全䁪ሼ的最大值为________．ሼሼ11.在ሼ䁪䁪的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）．ሼ㈠12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有ሼ，，，，㈠的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的ሼ倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ሼ和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则ሼ全________（元）．13.已知函数全sin．若存在ሼ，，…，满足ሼ，且耀耀䁪耀耀䁪䁪耀耀全ሼ，则ሼሼ的最小值为________．ሼ14.在锐角三角形中，tan全，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则全________．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．)15.设ሼ，，则“ሼ、中至少有一个数是虚数”是“ሼ是虚数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件试卷第1页，总8页 16.已知点的坐标为ሼ，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为()㈠ሼሼሼA.B.C.D.17.记方程①：䁪䁪ሼ全，方程②：䁪䁪全，方程③：䁪䁪ሼ全，其中ሼ，，是正实数．当ሼ，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根18.设是直线全与圆䁪全在第一象限的交点，则䁪ሼሼ极限lim全ሼሼA.ሼB.C.ሼD.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.)19.如图，在长方体ሼሼሼሼ中，ሼ全ሼ，全全，、分别是、的中点，证明ሼ、ሼ、、四点共面，并求直线ሼ与平面ሼሼ所成的角的大小．20.如图，，，三地有直道相通，全㈠千米，全千米，全千米．现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）．甲的路线是，速度为㈠千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时．乙到达地后原地等待．设全ሼ时乙到达地．ሼ求ሼ与ሼ的值；试卷第2页，总8页 已知警员的对讲机的有效通话距离是千米．当ሼሼ时，求的表达式，并判断在ሼሼ上的最大值是否超过？说明理由．21.已知椭圆䁪全ሼ，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，ሼ记得到的平行四边形的面积为．ሼ设ሼሼ，，用、的坐标表示点到直线ሼ的距离，并证明全耀ሼሼ耀；ሼ设ሼ与的斜率之积为，求面积的值．22.已知数列与满足全，．䁪ሼ䁪ሼሼ若全䁪㈠，且ሼ全ሼ，求数列的通项公式；设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；设全，全，求的取值范围，使得有最大值与最小值，ሼ且．23.对于定义域为的函数，若存在正常数，使得cos是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为．设单调递增，全，全．ሼ验证全䁪sin是以为周期的余弦周期函数；设，证明对任意，存在，使得全；证明：“为方程cos全ሼ在上得解，”的充分条件是“䁪为方程cos全ሼ在区间上的解”，并证明对任意，都有䁪全䁪．试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1.ሼሼሼ2.䁪㔠3.ሼ4.5.6.7.全8.ሼ9.全10.11.㈠12.13.ሼ14.ሼ㈠二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.B16.D17.B18.A三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.解：连接，因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以．由长方体的性质知ሼሼ，所以ሼሼ，所以ሼ、ሼ、、四点共面．以为坐标原点，、、ሼ分别为、、轴，建立空间直角坐标系，试卷第4页，总8页 易求得ሼ全ሼ，ሼሼ全，ሼ全ሼሼ，设平面ሼሼ的法向量为全，ሼሼ全，则ሼ全，䁪全，所以全，令全ሼ，得全ሼ，全ሼ，所以全ሼሼሼ，耀ሼ耀耀ሼሼሼሼ耀ሼ㈠所以耀cos，ሼ耀全全全，耀耀耀ሼ耀㈠ሼ㈠ሼ㈠所以直线ሼ与平面ሼሼ所成的角的大小arcsin．ሼ㈠20.解：ሼ由题意可得ሼ全全小时，ሼ㈠设此时甲运动到点，则全甲ሼ全㈠全千米，∴ሼ全全䁪cosሼ㈠ሼ㈠ሼ全䁪全千米.㈠当ሼ时，乙在上的点，设甲在点，∴全䁪全，全全㈠㈠，∴全全䁪cos全䁪㈠㈠㈠㈠全㈠䁪ሼ，试卷第5页，总8页 当ሼ时，乙在点不动，设此时甲在点，∴全全全㈠㈠㈠䁪ሼ，∴全㈠㈠ሼ，ሼ∴当ሼ时，，故的最大值没有超过千米．ሼ21.解：ሼ依题意，直线ሼ的方程为全，ሼ由点到直线间的距离公式得：ሼ耀ሼ耀耀ሼሼ耀点到直线ሼ的距离全全，ሼሼ䁪ሼሼ䁪ሼ因为耀耀全耀耀全ሼ䁪ሼ，所以全耀耀全耀ሼሼ耀.当ሼ与时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立.ሼ设直线ሼ的斜率为，则直线的斜率为，全，设直线ሼ的方程为全，联立方程组䁪全ሼ，ሼ消去解得全，ሼ䁪ሼ根据对称性，设ሼ全，则ሼ全，ሼ䁪ሼ䁪同理可得全，全，ሼ䁪ሼ䁪所以全耀ሼሼ耀全．22.ሼ解：∵䁪ሼ全䁪ሼ，全䁪㈠，∴䁪ሼ全䁪ሼ全䁪㈠全，∴是等差数列，首项为ሼ全ሼ，公差为，则全ሼ䁪ሼ全㈠；证明：∵全ሼ䁪ሼ䁪䁪ሼ䁪ሼ全ሼ䁪ሼ䁪䁪ሼ䁪ሼ全䁪ሼሼ，ሼ∴全䁪ሼሼ，ሼሼ∴全䁪ሼሼ䁪ሼሼ．∴数列的第项是最大项；解：由可得全，①当ሼ时，全单调递减，有最大值全全；ሼ全ሼ单调递增，有最小值全ሼ全，试卷第6页，总8页 ∴全ሼ，ሼ∴，，ሼ∴，．②当全ሼ时，全，ሼ全ሼ，∴全，全ሼ，全，不满足条件．③当ሼ时，当䁪时，䁪，无最大值；当䁪时，ሼ，无最小值．ሼ综上所述，时满足条件．23.解：ሼ全䁪sin，䁪∴cos䁪全cos䁪䁪sin全cos䁪sin全cos，∴是以为周期的余弦周期函数；∵的值域为，∴存在，使全.又，∴，而为增函数.∴，即存在，使全.证明：若䁪为方程cos全ሼ在区间上的解，则：cos䁪全ሼ，䁪，∴cos全ሼ，且，∴为方程cos全ሼ在上的解，∴“为方程cos全ሼ在上得解”的充分条件是“䁪为方程cos全ሼ在区间上的解”；下面证明对任意，都有䁪全䁪：①当全时，全，∴显然成立；②当全时，cos全cos全ሼ，∴全ሼ，ሼ，全，且ሼ，∴ሼ；ሼ若ሼ全，全，由知存在，使全；cos䁪全cos全ሼ䁪全，，∴䁪，∴，∴，无解；若ሼ㈠，ሼ，则存在ሼ，使得ሼ全，全，则，ሼ，，为cos全ሼ在上的个解，但方程cos全ሼ在上只有全，，，个解，矛盾；当ሼ全时，全全䁪，结论成立；③当时，，考查方程cos全在上的解，试卷第7页，总8页 设其解为ሼ，，…，，ሼ，则ሼ䁪，䁪，…，䁪为方程cos全在上的解，又䁪，而ሼ䁪，䁪，…，䁪为方程cos全在上的解，∴㔠䁪全㔠䁪全㔠䁪，∴综上对任意，都有䁪全䁪．试卷第8页，总8页