2021年全国高考数学试卷(理科)(乙卷)
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2021年全国高考数学试卷(理科)(乙卷)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)设2(z+)+3(z﹣)=4+6i,则z=( )A.1﹣2iB.1+2iC.1+iD.1﹣i2.(5分)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( )A.∅B.SC.TD.Z3.(5分)已知命题p:∃x∈R,sinx<1;命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是( )A.p∧qB.¬p∧qC.p∧¬qD.¬(p∨q)4.(5分)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是( )A.f(x﹣1)﹣1B.f(x﹣1)+1C.f(x+1)﹣1D.f(x+1)+15.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.B.C.D.6.(5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.60种B.120种C.240种D.480种7.(5分)把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x﹣第29页(共29页),)的图像,则f(x)=( )A.sin(﹣)B.sin(+)C.sin(2x﹣)D.sin(2x+)8.(5分)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为( )A.B.C.D.9.(5分)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=( )A.+表高B.﹣表高C.+表距D.﹣表距10.(5分)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x﹣a)2(x﹣b)的极大值点,则( )A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a211.(5分)设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C第29页(共29页),上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( )A.[,1)B.[,1)C.(0,]D.(0,]12.(5分)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=﹣1,则( )A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知双曲线C:﹣y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为 .14.(5分)已知向量=(1,3),=(3,4),若(﹣λ)⊥,则λ= .15.(5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .16.(5分)以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。第29页(共29页),17.(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为s12和s22.(1)求,,s12,s22;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果﹣≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC中点,且PB⊥AM.(1)求BC;(2)求二面角A﹣PM﹣B的正弦值.19.(12分)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知第29页(共29页),+=2.(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.20.(12分)己知函数f(x)=ln(a﹣x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a;(2)设函数g(x)=.证明:g(x)<1.21.(12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB为C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出⊙C的一个参数方程;(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.[选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+3|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)>﹣a,求a的取值范围.第29页(共29页),第29页(共29页),2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)设2(z+)+3(z﹣)=4+6i,则z=( )A.1﹣2iB.1+2iC.1+iD.1﹣i【分析】利用待定系数法设出z=a+bi,a,b是实数,根据条件建立方程进行求解即可.【解答】解:设z=a+bi,a,b是实数,则=a﹣bi,则由2(z+)+3(z﹣)=4+6i,得2×2a+3×2bi=4+6i,得4a+6bi=4+6i,得,得a=1,b=1,即z=1+i,故选:C.【点评】本题主要考查复数的基本运算,利用待定系数法建立方程是解决本题的关键,是基础题.2.(5分)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( )A.∅B.SC.TD.Z【分析】分别讨论当n第29页(共29页),是偶数、奇数时的集合元素情况,结合集合的基本运算进行判断即可.【解答】解:当n是偶数时,设n=2k,则s=2n+1=4k+1,当n是奇数时,设n=2k+1,则s=2n+1=4k+3,k∈Z,则T⊊S,则S∩T=T,故选:C.【点评】本题主要考查集合的基本运算,利用分类讨论思想结合交集定义是解决本题的关键,是基础题.3.(5分)已知命题p:∃x∈R,sinx<1;命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是( )A.p∧qB.¬p∧qC.p∧¬qD.¬(p∨q)【分析】先分别判断命题p和命题q的真假,然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断,即可得到答案.【解答】解:对于命题p:∃x∈R,sinx<1,当x=0时,sinx=0<1,故命题p为真命题,¬p为假命题;对于命题q:∀x∈R,e|x|≥1,因为|x|≥0,又函数y=ex为单调递增函数,故e|x|≥e0=1,故命题q为真命题,¬q为假命题,所以p∧q为真命题,¬p∧q为假命题,p∧¬q为假命题,¬(p∨q)为假命题,故选:A.第29页(共29页),【点评】本题考查了命题真假的判断,解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法,考查了逻辑推理能力,属于基础题.4.(5分)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是( )A.f(x﹣1)﹣1B.f(x﹣1)+1C.f(x+1)﹣1D.f(x+1)+1【分析】先根据函数f(x)的解析式,得到f(x)的对称中心,然后通过图象变换,使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0),从而得到答案.【解答】解:因为f(x)==,所以函数f(x)的对称中心为(﹣1,﹣1),所以将函数f(x)向右平移一个单位,向上平移一个单位,得到函数y=f(x﹣1)+1,该函数的对称中心为(0,0),故函数y=f(x﹣1)+1为奇函数.故选:B.【点评】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换,解题的关键是确定f(x)的对称中心,考查了逻辑推理能力,属于基础题.5.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.B.C.D.【分析】由AD1∥BC1,得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角),由此利用余弦定理,求出直线PB与AD1所成的角.【解答】解:∵AD1∥BC1,∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角),设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,则PB1=PC1==,BC1==2,BP==第29页(共29页),,∴cos∠PBC1===,∴∠PBC1=,∴直线PB与AD1所成的角为.故选:D.【点评】本题考查异面直线所成角和余弦定理,考查运算求解能力,是基础题.6.(5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.60种B.120种C.240种D.480种【分析】5分先选2人一组,然后4组全排列即可.【解答】解:5名志愿者选2个1组,有种方法,然后4组进行全排列,有种,共有=240种,故选:C.第29页(共29页),【点评】本题主要考查排列组合的应用,利用先分组后排列的方法是解决本题的关键,是基础题.7.(5分)把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x﹣)的图像,则f(x)=( )A.sin(﹣)B.sin(+)C.sin(2x﹣)D.sin(2x+)【分析】由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律,得出结论.【解答】解:∵把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x﹣)的图像,∴把函数y=sin(x﹣)的图像,向左平移个单位长度,得到y=sin(x+﹣)=sin(x+)的图像;再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,可得f(x)=sin(x+)的图像.故选:B.【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律,属基础题.8.(5分)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为( )A.B.C.D.【分析】由题意可得可行域:第29页(共29页),,可得三角形的面积,结合几何概型即可得出结论.【解答】解:由题意可得可行域:,可得三角形的面积=××=,1﹣=.故选:B.【点评】本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.9.(5分)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=( )A.+表高第29页(共29页),B.﹣表高C.+表距D.﹣表距【分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解:=,=,故=,即=,解得AE=,AH=AE+EH,故AB====+DE=+表高.故选:A.【点评】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x﹣a)2(x﹣b)的极大值点,则( )A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2【分析】分a>0及a<0,结合三次函数的性质及题意,通过图象发现a,b的大小关系,进而得出答案.【解答】解:令f(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a及x=b是f(x)的两个零点,第29页(共29页),当a>0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如下图所示,则0<a<b;当a<0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如下图所示,则b<a<0;综上,ab>a2.故选:D.【点评】本题考查三次函数的图象及性质,考查导数知识的运用,考查数形结合思想,属于中档题.11.(5分)设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( )第29页(共29页),A.[,1)B.[,1)C.(0,]D.(0,]【分析】由题意可得至多一个解,根据判别式即可得到a与b的关系式,再求出离心率的取值范围.【解答】解:点B的坐标为(0,b),因为C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,所以点P的轨迹可以看成以B为圆心,2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点,即至多一个解,消去x,可得y2﹣2by+a2﹣3b2=0,∴△=4b2﹣4••(a2﹣3b2)≤0,整理可得4b4﹣4a2b2+a4≤0,即(a2﹣2b2)2≤0,解得a2=2b2,∴e==,故e的范围为(0,],故选:C.【点评】本题考查了椭圆的方程和性质,考查了运算求解能力和转化与化归思想,属于中档题.12.(5分)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=﹣1,则( )A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b【分析】构造函数f(x)=2ln(1+x)﹣(﹣1),0<x<1,h(x)=第29页(共29页),ln(1+2x)﹣(﹣1),利用导数和函数的单调性即可判断.【解答】解:∵a=2ln1.01=ln1.0201,b=ln1.02,∴a>b,令f(x)=2ln(1+x)﹣(﹣1),0<x<1,令=t,则1<t<∴x=,∴g(t)=2ln()﹣t+1=2ln(t2+3)﹣t+1﹣2ln4,∴g′(t)=﹣1==﹣>0,∴g(t)在(1,)上单调递增,∴g(t)>g(1)=2ln4﹣1+2ln4=0,∴f(x)>0,∴a>c,同理令h(x)=ln(1+2x)﹣(﹣1),再令=t,则1<t<∴x=,∴φ(t)=ln()﹣t+1=ln(t2+1)﹣t+1﹣ln2,∴φ′(t)=﹣1=<0,∴φ(t)在(1,)上单调递减,∴φ(t)<φ(1)=ln2﹣1+1﹣ln2=0,∴h(x)<0,∴c>b,第29页(共29页),∴a>c>b.故选:B.【点评】本题考查了不等式的大小比较,导数和函数的单调性和最值的关系,考查了转化思想,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知双曲线C:﹣y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为 4 .【分析】根据题意,由双曲线的性质可得=,解可得m的值,即可得双曲线的标准方程,据此计算c的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,双曲线C:﹣y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则有=,解可得m=3,则双曲线的方程为﹣y2=1,则c==2,其焦距2c=4;故答案为:4.【点评】本题考查双曲线的几何性质,涉及双曲线的渐近线方程的分析,属于基础题.14.(5分)已知向量=(1,3),=(3,4),若(﹣λ)⊥,则λ= .【分析】利用向量的坐标运算求得﹣λ=(1﹣3λ,3﹣4λ),再由(﹣λ)⊥,可得(﹣λ)•=0,即可求解λ的值.【解答】解:因为向量=(1,3),=(3,4),第29页(共29页),则﹣λ=(1﹣3λ,3﹣4λ),又(﹣λ)⊥,所以(﹣λ)•=3(1﹣3λ)+4(3﹣4λ)=15﹣25λ=0,解得λ=.故答案为:.【点评】本题主要考查数量积的坐标运算,向量垂直的充要条件,考查方程思想与运算求解能力,属于基础题.15.(5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= 2 .【分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程,解方程可得.【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,∴acsinB=⇒ac×=⇒ac=4⇒a2+c2=12,又cosB=⇒=⇒b=2,(负值舍)故答案为:2.【点评】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用,属基础题.16.(5分)以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 ②⑤或③④ (写出符合要求的一组答案即可).第29页(共29页),【分析】通过观察已知条件正视图,确定该正视图的长和高,结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形.【解答】解:观察正视图,推出正视图的长为2和高1,②③图形的高也为1,即可能为该三棱锥的侧视图,④⑤图形的长为2,即可能为该三棱锥的俯视图,当②为侧视图时,结合侧视图中的直线,可以确定该三棱锥的俯视图为⑤,当③为侧视图时,结合侧视图虚线,虚线所在的位置有立体图形的轮廓线,可以确定该三棱锥的俯视图为④.故答案为:②⑤或③④.【点评】该题考查了三棱锥的三视图,需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系,以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中,需要较强空间想象,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。第29页(共29页),17.(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为s12和s22.(1)求,,s12,s22;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果﹣≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).【分析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可;(2)比较﹣与2的大小,即可判断得到答案.【解答】解:(1)由题中的数据可得,(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,s12=[(9.8﹣10)2+(10.3﹣10)2+(10﹣10)2+(10.2﹣10)2+(9.9﹣10)2+(9.8﹣10)2+(10﹣10)2+(10.1﹣10)2+(10.2﹣10)2+(9.7﹣10)2]=0.036;s22=[(10.1﹣10.3)2+(10.4﹣10.3)2+(10.1﹣10.3)2+(10.0﹣10.3)2+(10.1﹣10.3)2+(10.3﹣10.3)2+(10.6﹣10.3)2+(10.5﹣10.3)2+(10.4﹣10.3)2第29页(共29页),+(10.5﹣10.3)2]=0.04;(2),2=,所以﹣>2,故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【点评】本题考查了样本特征数的计算,解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式,考查了运算能力,属于基础题.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC中点,且PB⊥AM.(1)求BC;(2)求二面角A﹣PM﹣B的正弦值.【分析】(1)连结BD,利用线面垂直的性质定理证明AM⊥PD,从而可以证明AM⊥平面PBD,得到AM⊥BD,证明Rt△DAB∽Rt△ABM,即可得到BC的长度;第29页(共29页),(2)建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标,然后利用待定系数法求出平面的法向量,由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可.【解答】解:(1)连结BD,因为PD⊥底面ABCD,且AM⊂平面ABCD,则AM⊥PD,又AM⊥PB,PB∩PD=P,PB,PD⊂平面PBD,所以AM⊥平面PBD,又BD⊂平面PBD,则AM⊥BD,所以∠ABD+∠DAM=90°,又∠DAM+∠MAB=90°,则有∠ADB=∠MAB,所以Rt△DAB∽Rt△ABM,则,所以,解得BC=;(2)因为DA,DC,DP两两垂直,故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,则,P(0,0,1),所以,,设平面AMP的法向量为,则有,即,令,则y=1,z=2,故,设平面BMP的法向量为,则有,即,令q=1,则r=1,故,所以=,设二面角A﹣PM﹣B的平面角为α,第29页(共29页),则sinα==,所以二面角A﹣PM﹣B的正弦值为.【点评】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解,在求解有关空间角问题的时候,一般会建立合适的空间直角坐标系,将空间角问题转化为空间向量问题进行研究,属于中档题.19.(12分)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2.(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.【分析】(1)由题意当n=1时,b1=S1,代入已知等式可得b1的值,当n≥2时,将=Sn,代入+=2,可得bn﹣bn﹣1=,进一步得到数列{bn第29页(共29页),}是等差数列;(2)由a1=S1=b1=,可得bn=,代入已知等式可得Sn=,当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣,进一步得到数列{an}的通项公式.【解答】解:(1)证明:当n=1时,b1=S1,由+=2,解得b1=,当n≥2时,=Sn,代入+=2,消去Sn,可得+=2,所以bn﹣bn﹣1=,所以{bn}是以为首项,为公差的等差数列.(2)由题意,得a1=S1=b1=,由(1),可得bn=+(n﹣1)×=,由+=2,可得Sn=,当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=﹣,显然a1不满足该式,所以an=.【点评】本题考查了等差数列的概念,性质和通项公式,考查了方程思想,是基础题.20.(12分)己知函数f(x)=ln(a﹣x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a;(2)设函数g(x)=.证明:g(x)<1.【分析】(1)确定函数f(x)的定义域,令g(x)=xf(x第29页(共29页),),由极值的定义得到g'(x)=0,求出a的值,然后进行证明,即可得到a的值;(2)将问题转化为证明,进一步转化为证明x+ln(1﹣x)>xln(1﹣x),令h(x)=x+(1﹣x)ln(1﹣x),利用导数研究h(x)的单调性,证明h(x)>h(0),即可证明.【解答】(1)解:由题意,f(x)的定义域为(﹣∞,a),令g(x)=xf(x),则g(x)=xln(a﹣x),x∈(﹣∞,a),则g'(x)=ln(a﹣x)+x•=,因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,则有g'(x)=0,即lna=0,所以a=1,当a=1时,g'(x)=,且g'(0)=0,因为g''(x)=,则g'(x)在(﹣∞,1)上单调递减,所以当x∈(﹣∞,a)时,g'(x)>0,当x∈(0,1)时,g'(x)<0,所以a=1时,x=0时函数y=xf(x)的一个极大值.综上所述,a=1;(2)证明:由(1)可知,xf(x)=xln(1﹣x),要证,即需证明,因为当x∈(﹣∞,0)时,xln(1﹣x)<0,当x∈(0,1)时,xln(1﹣x)<0,所以需证明x+ln(1﹣x)>xln(1﹣x),即x+(1﹣x)ln(1﹣x)>0,令h(x)=x+(1﹣x)ln(1﹣x),第29页(共29页),则h'(x)=(1﹣x),所以h'(0)=0,当x∈(﹣∞,0)时,h'(x)<0,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,所以x=0为h(x)的极小值点,所以h(x)>h(0)=0,即x+ln(1﹣x)>xln(1﹣x),故,所以.【点评】本题考查了导数的综合应用,主要考查了利用导数研究函数的极值问题,利用导数证明不等式问题,此类问题经常构造函数,转化为证明函数的取值范围问题,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于难题.21.(12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB为C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.【分析】(1)由点F到圆M上的点最小值为4建立关于p的方程,解出即可;(2)对求导,由导数的几何意义可得出直线PA及PB的方程,进而得到点P的坐标,再将AB的方程与抛物线方程联立,可得P(2k,﹣b),|AB|以及点P到直线AB的距离,进而表示出△PAB的面积,再求出其最小值即可.【解答】解:(1)点到圆M上的点的距离的最小值为,解得p=2;第29页(共29页),(2)由(1)知,抛物线的方程为x2=4y,即,则,设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得,从而得到,设lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b=0,∴△=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=﹣4b,∴P(2k,﹣b),∵=,,∴①,又点P(2k,﹣b)在圆M:x2+(y+4)2=1上,故,代入①得,,而yp=﹣b∈[﹣5,﹣3],∴当b=5时,.【点评】本题考查圆锥曲线的综合运用,考查直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出⊙C的一个参数方程;(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点,x第29页(共29页),轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.【分析】(1)求出⊙C的标准方程,即可求得⊙C的参数方程;(2)求出直角坐标系中的切线方程,再由x=ρcosθ,y=ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程.【解答】解:(1)⊙C的圆心为C(2,1),半径为1,则⊙C的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=1,⊙C的一个参数方程为(θ为参数).(2)由题意可知两条切线方程斜率存在,设切线方程为y﹣1=k(x﹣4),即kx﹣y﹣4k+1=0,圆心C(2,1)到切线的距离d==1,解得k=±,所以切线方程为y=±(x﹣4)+1,因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±(ρcosθ﹣4)+1.【点评】本题主要考查圆的参数方程,普通方程与极坐标方程的转化,考查运算求解能力,属于基础题.[选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+3|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)>﹣a,求a的取值范围.【分析】(1)将a=1代入f(x)中,根据f(x)≥6,利用零点分段法解不等式即可;(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|,然后根据f(x)>﹣a第29页(共29页),,得到|a+3|>﹣a,求出a的取值范围.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x﹣1|+|x+3|=,∵f(x)≥6,∴或或,∴x≤﹣4或x≥2,∴不等式的解集为(﹣∞,﹣4]∪[2,+∞).(2)f(x)=|x﹣a|+|x+3|≥|x﹣a﹣x﹣3|=|a+3|,若f(x)>﹣a,则|a+3|>﹣a,两边平方可得a2+6a+9>a2,解得a>﹣,即a的取值范围是(﹣,+∞).【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,考查运算求解能力,属于基础题.第29页(共29页)
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