2019年上海市高考数学试卷

2019年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）.)1.已知集合＝，＝‴，则＝________．2.已知，且满足，求＝________．䁕3.已知向量‴，‴，则与的夹角为________．4.已知二项式‴䁕，则展开式中含‴项的系数为________．5.已知，满足，则＝‴的最小值为________．‴6.已知函数周期为，且当且时，＝log‴，则＝________．‴7.若，，且‴，则的最大值为________．8.已知数列前项和为，且满足‴，则䁕________．9.过曲线‴＝的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线‴＝交于，，在上方，为抛物线上一点，‴，则＝________．10.某三位数密码，每位数字可在可这个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是________．‴‴11.已知数列满足且ᦙ，均在双曲线上，‴则lim________．‴12.已知＝ሺሺ，与轴交点为，若对于图象上任意一点，在其图象上总存在另一点、异于，满足，且＝，则＝________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.)13.已知直线方程‴晦＝的一个方向向量可以是（）A.‴B.‴C.‴D.‴14.一个直角三角形的两条直角边长分别为和‴，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A.B.‴C.D.15.已知，函数＝‴sin，存在常数，使为偶函数，则的值可能为（）试卷第1页，总8页 A.B.C.D.‴䁕16.已知tantan＝tan．有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（）A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.)17.如图，在长方体ܥܥ中，为上一点，已知＝‴，ܥ＝，ܥ＝，＝䁕．（1）求直线和平面ܥ的夹角；（2）求点到平面的距离．18.已知＝，．（1）当＝时，求不等式且的解集；（2）若在‴时有零点，求的取值范围．19.如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，ܥ＝可䁡‴䀀댳，ܥ＝‴‴，ܥ＝，ܥ＝䁕．（1）求的长度；（2）若＝䀀댳，求ܥ到海岸线的最短距离．（精确到䁡䀀댳）‴‴20.已知椭圆，，‴为左、右焦点，直线过‴交椭圆于，两点．（1）若直线垂直于轴，求；（2）当＝可时，在轴上方时，求、的坐标；试卷第2页，总8页 （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21.数列ᦙ有项，＝，对任意‴，存在＝，，若䀀与前项中某一项相等，则称䀀具有性质．（1）若＝，＝‴，求所有可能的值；（2）若不为等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质；（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为晦，使用，，晦表示‴䁡䁡䁡．试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2019年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）.1.‴2.䁕‴3.arccos䁕4.5.6.可7.8.9.‴10.‴11.12.‴二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.D14.B15.C16.D试卷第4页，总8页 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.依题意：平面ܥ，连接，则与平面ܥ所成夹角为，∵＝䁕，‴‴䁕，∴为等腰三角形，∴，∴直线和平面ܥ的夹角为，（空间向量），如图建立坐标系，则，，䁕，‴，∴，䁕，．‴，设平面的法向量，䁕由，可得‴‴，‴‴∴点到平面的距离．‴‴‴‴‴18.＝．当＝时，＝．试卷第5页，总8页 所以：且转换为：且，‴即：且，‴解得：‴且且．故：‴且且．函数＝在‴时，有零点，即函数在该区间上有解，即：，即求函数在‴上的值域，由于：在‴上单调，故：‴，所以：，‴故：‴‴19.由题意可得，＝ܥsin‴‴，弧所在的圆的半径＝sin，‴‴‴弧的长度为䁡可䁡‴sin‴‴䁡䀀댳；‴‴‴ܥ根据正弦定理可得，，sinsin䁕可䁡‴∴sinsin䁕䁡，＝䁕䁡‴，∴ܥ＝䁕䁡‴䁕＝䁕䁡，∴ܥ＝ܥsinܥ＝䁕䁡䁕䀀댳且ܥ＝䁡䀀댳∴ܥ到海岸线的最短距离为䁕䁡䁕䀀댳20.依题意，‴‴，当轴时，则‴‴，‴‴，得＝‴‴；设，∵＝可＝可，‴∴‴‴‴‴‴，‴‴‴又在椭圆上，满足，即‴，‴∴‴，解得＝，即‴．直线䁪＝‴，‴‴联立‴‴，解得；设，‴‴，，，直线䁪＝댳‴（斜率不存在时不满足题意），则‴‴‴‴‴，‴．试卷第6页，总8页 댳‴联立‴‴，得댳‴‴‴댳＝．댳则‴‴，‴‴．댳‴댳‴‴由直线的方程：‴，得纵坐标；‴‴‴‴‴由直线的方程：‴，得的纵坐标．‴‴‴‴若，即‴‴＝，‴‴‴‴‴‴‴＝＝＝＝‴‴，‴‴‴댳댳‴댳댳‴∴댳댳＝，댳‴댳＝，‴‴‴댳‴댳代入根与系数的关系，得댳＝，解得댳．댳‴‴댳‴‴∴存在直线‴或‴满足题意．21.∵数列有项，＝，对任意‴，存在＝，，∴若＝，＝‴，则当＝‴时，‴＝＝，当＝时，‴，则＝＝或＝‴＝䁕，当＝时，，则＝＝或＝‴＝䁕或＝＝＝䁕或＝＝‴＝∴的所有可能的值为：，䁕，；∵不为等差数列，∴数列存在댳使得댳＝댳不成立，∵对任意‴，存在＝，；∴存在‴，使댳＝，则对于댳䁞＝，䁞，存在＝，使得댳䁞＝댳，因此中存在具有性质的项；由（2）知，去除具有性质的数列中的前三项，则数列的剩余项均不相等，∵对任意‴，存在＝，，则一定能将数列的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为，公差为，∴‴䁡䁡䁡试卷第7页，总8页 可可‴＝可䁕晦．试卷第8页，总8页