2015年上海市高考数学试卷（文科）

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）)1.函数ꂸށʇᰰܾ灰sinށ的最小正周期为________．2.设全集ʇ．若集合ʇᰰ灰，ʇށ耀ށ晦灰，则ꂸʇ________．3.若复数满足灰䁪ʇᰰ䁪㔠，其中㔠是虚数单位，则ʇ________．ܾᰰށܾᰰ4.设ꂸށ为ꂸށʇ的反函数，则ꂸʇ________．ށ䁪ᰰ灰ᰰށʇ灰，5.若线性方程组的增广矩阵为解为则ᰰܾ＝________．ᰰʇ㈠，6.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为ᰰ灰，则ʇ________．7.抛物线ʇށꂸ上的动点到焦点的距离的最小值为ᰰ，则ʇ________．8.方程logꂸށܾᰰܾ㈠ʇlogꂸ灰ށܾᰰܾ䁪的解为________．ށܾ9.若ށ，满足ށ䁪则目标函数ʇށ䁪的最大值为________．10.在报名的灰名男老师和名女教师中，选取㈠人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）．ᰰ11.在ꂸށ䁪的二项式中，常数项等于________（结果用数值表示）．ށށ12.已知双曲线ᰰ，的顶点重合，ᰰ的方程为ܾʇᰰ，若的一条渐近线的斜率是ᰰ的一条渐近线的斜率的倍，则的方程为________．13.已知平面向量，，满足，且耀耀耀耀耀耀ʇᰰ灰，则耀䁪䁪耀的最大值是________．14.已知函数ꂸށʇsinށ．若存在ށᰰ，ށ，…，ށ满足ށᰰ晦ށ晦ǤǤǤ晦ށ，且耀ꂸށܾꂸށ耀䁪耀ꂸށܾꂸށ耀䁪ǤǤǤ䁪耀ꂸށܾꂸށ耀ʇᰰꂸ，则ᰰ灰ܾᰰ的最小值为________．二、选择题（本大题共4小题，满分21分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.)15.设ᰰ，，则“ᰰ，均为实数”是“ᰰܾ是实数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件ށ䁪16.下列不等式中，与不等式晦解集相同的是()ށ䁪ށ䁪灰试卷第1页，总8页 A.ꂸށ䁪ꂸށ䁪ށ䁪灰晦B.ށ䁪晦ꂸށ䁪ށ䁪灰ᰰށ䁪ށ䁪灰ᰰC.晦D.ށ䁪ށ䁪灰ށ䁪ށ䁪17.已知点的坐标为ꂸ灰ᰰ，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的灰纵坐标为()灰灰㈠灰ᰰᰰᰰ灰A.B.C.D.18.设ꂸށ是直线ށܾʇꂸ与圆ށ䁪ʇ在第一象限的交点，则䁪ᰰܾᰰ极限limʇꂸށܾᰰᰰA.ܾᰰB.ܾC.ᰰD.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.)19.如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知ʇ，ʇᰰ，求三棱锥ܾ的体积，并求异面直线和所成角的大小．ᰰ20.已知函数ꂸށʇށ䁪，其中为常数．ށꂸᰰ根据的不同取值，判断函数ꂸށ的奇偶性，并说明理由；ꂸ若ꂸᰰ灰，判断函数ꂸށ在ᰰ上的单调性，并说明理由．21.如图，，，三地有直道相通，ʇ灰千米，ʇ千米，ʇ㈠千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为ꂸ（单位：千米）．甲的路线是，速度为㈠千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时，乙到达地后在原地等待．设ʇᰰ时乙到达地，ʇ时乙到达地．试卷第2页，总8页 ꂸᰰ求ᰰ与ꂸᰰ的值；ꂸ已知警员的对讲机的有效通话距离是灰千米，当ᰰ时，求ꂸ的表达式，并判断ꂸ在ᰰ上的最大值是否超过灰？说明理由．22.已知椭圆ށ䁪ʇᰰ，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点，和，，ᰰ记的面积为．ꂸᰰ设ꂸށᰰᰰ，ꂸށ，用，的坐标表示点到直线ᰰ的距离，并证明ʇᰰ耀ށᰰܾށᰰ耀；灰灰ᰰꂸ设ᰰʇൌށ，ꂸ，ʇ，求ൌ的值；灰灰灰ꂸ灰设ᰰ与的斜率之积为，求的值，使得无论ᰰ和如何变动，面积保持不变．23.已知数列与满足ܾʇꂸܾ，．䁪ᰰ䁪ᰰꂸᰰ若ʇ灰䁪㈠，且ᰰʇᰰ，求的通项公式；ꂸ设的第项是最大项，即ꂸ，求证：的第项是最大项；ꂸ灰设ʇ灰晦，ʇꂸ，求的取值范围，使得对任意，，，ᰰᰰ且ꂸ．试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.2.ᰰ灰ᰰᰰ3.䁪㔠4.ܾ灰5.ᰰ6.7.8.ށʇ9.灰10.ᰰ11.ށ12.ܾʇᰰ13.灰䁪㈠14.二、选择题（本大题共4小题，满分21分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15.A16.B17.D18.A三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.解：∵ʇ，ʇᰰ，，ᰰᰰᰰ∴ʇᰰᰰʇ，为劣弧的中点；三棱锥ܾ灰灰∴ʇ㈠，又ʇ㈠；∴；∴是异面直线和所成角，在中，ʇ，ʇʇ㈠；试卷第4页，总8页 如图，取中点，连结，则，ʇ；ᰰ∴在中，cosʇʇ；ᰰᰰ∴异面直线与所成角的大小为arccos．ᰰᰰ20.解：ꂸᰰ当ʇ时，ꂸށʇ，显然为奇函数，ށ当时，ꂸᰰʇ䁪ᰰ，ꂸܾᰰʇܾᰰ，ꂸᰰꂸܾᰰ，且ꂸᰰ䁪ꂸܾᰰ，所以此时ꂸށ为非奇非偶函数．ᰰꂸ∵ꂸᰰ灰，ꂸށʇށ䁪，ށᰰށ灰ܾᰰ∴ꂸށʇށܾʇ，ށށ∵ꂸᰰ灰，ށᰰ，∴ށᰰ，∴ށ灰ᰰ，∴ށ灰ܾᰰ，∴ꂸށ，∴函数ꂸށ在ᰰ上是单调递增的．灰21.解：ꂸᰰ根据条件知ᰰʇ，设此时甲到达点，并连结，如图所示，灰ᰰ㈠则ʇ㈠ʇ,∴在中由余弦定理得，ꂸᰰʇ试卷第5页，总8页 ʇ䁪ܾcosᰰ㈠㈠灰ʇꂸ䁪ܾ㈠灰ᰰʇ（千米）.灰ꂸ可以求得ʇ，设小时后，且，甲到达了点，乙到达了点，如图所示：则ʇ㈠ܾ㈠，ʇܾ，∴在中由余弦定理得，ꂸʇʇꂸ㈠ܾ㈠䁪ꂸܾܾꂸ㈠ܾ㈠ꂸܾ㈠ʇ㈠ܾ䁪ᰰ；灰即ꂸʇ㈠ܾ䁪ᰰ，，灰设ꂸʇ㈠ܾ䁪ᰰ，，ᰰ灰ꂸ的对称轴为ʇ，㈠灰灰㈠且ꂸʇ，ꂸʇ，灰灰ᰰ即ꂸ的最大值为，则此时ꂸ取最大值晦灰，即ꂸ在ᰰ上的最大值不超过灰．ᰰ22.解：ꂸᰰ依题意，直线ᰰ的方程为ʇށ，ށᰰ由点到直线间的距离公式得：ᰰށ耀ށᰰܾ耀耀ᰰށܾށᰰ耀点到直线ᰰ的距离ʇʇ，ᰰᰰ䁪ꂸށ䁪ށᰰᰰᰰ因为耀耀ʇ耀耀ʇށ䁪，ᰰᰰᰰᰰ所以ʇ耀耀ʇ耀ށᰰܾށᰰ耀.ꂸ由ꂸᰰ得ꂸށᰰᰰ，ꂸށ，ᰰᰰ灰ᰰʇ耀ށᰰܾށᰰ耀ʇ耀ށᰰܾᰰ耀ʇ．灰灰试卷第6页，总8页 灰所以耀ށᰰܾᰰ耀ʇ，灰由ށ䁪ʇᰰ，ᰰᰰ灰灰㈠灰灰灰灰㈠灰灰解得ꂸܾ或ꂸܾ或ꂸܾ或ꂸܾ，灰灰灰灰ᰰ由ൌʇ，ށᰰᰰ得ൌʇܾᰰ或ܾ.㈠ꂸ灰设直线ᰰ的斜率为ൌ，则直线的斜率为，直线ᰰ的方程为ʇൌށ，ൌʇൌށ联立方程组ށ䁪ʇᰰᰰ消去解得ށʇ，ᰰ䁪ൌᰰ根据对称性，设ށᰰʇ，ᰰ䁪ൌൌ则ᰰʇ，ᰰ䁪ൌൌ同理可得ށʇ，ʇ，ൌ䁪ൌ䁪ᰰᰰ耀ܾൌ耀所以ʇ耀ށᰰܾށᰰ耀ʇꂸᰰ䁪ൌꂸൌ䁪，耀ܾൌ耀设ʇ（常数），ꂸᰰ䁪ൌꂸൌ䁪所以ꂸܾൌʇꂸᰰ䁪ൌꂸൌ䁪，整理得：ൌܾൌ䁪ʇൌ䁪ꂸᰰ䁪ൌ䁪，ʇᰰ由于左右两边恒成立，所以只能是ꂸᰰ䁪ʇܾᰰʇ所以ᰰʇܾ此时ʇ，ᰰ综上所述，ʇܾ，ʇ．23.解：ꂸᰰ∵䁪ᰰܾʇꂸ䁪ᰰܾ，ʇ灰䁪㈠，∴䁪ᰰܾʇꂸ䁪ᰰܾʇꂸ灰䁪ܾ灰ܾ㈠ʇ，∴是等差数列，首项为ᰰʇᰰ，公差为，则ʇᰰ䁪ꂸܾᰰʇܾ㈠.ꂸ∵ʇꂸܾܾᰰ䁪ꂸܾᰰܾܾ䁪ǤǤǤ䁪ꂸܾᰰ䁪ᰰʇꂸܾܾᰰ䁪ꂸܾᰰܾܾ䁪ǤǤǤ䁪ꂸܾᰰ䁪ᰰʇ䁪ᰰܾᰰ，ᰰ∴ʇꂸ䁪ᰰܾᰰ，试卷第7页，总8页 ᰰᰰ∴ʇꂸ䁪ᰰܾᰰꂸ䁪ᰰܾᰰ．∴数列的第项是最大项.ꂸ灰由ꂸ可得ʇ䁪，①当ܾᰰ晦晦时，ʇꂸ䁪单调递减，有最大值ʇʇ䁪；ʇܾᰰ䁪单调递增，有最小值ʇʇ灰晦，ܾᰰᰰ䁪ᰰ灰∴的最小值为ʇ，最大值为ʇ，灰䁪ᰰ䁪ᰰᰰ灰则灰晦䁪ᰰᰰ解得ܾ晦晦．ᰰ∴ꂸܾ．②当ʇܾᰰ时，ʇᰰ，ܾᰰʇܾ灰，∴ʇ灰，ʇܾᰰ，不满足条件．③当晦ܾᰰ时，当䁪时，䁪，无最大值；当䁪时，ܾᰰܾ，无最小值．ᰰ综上所述，ꂸܾ时满足条件．试卷第8页，总8页