2005年上海市高考数学试卷（文科）

2005年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共12小题，每空4分，满分48分）)1.函数f(x)=log4(x+1)的反函数f-1(x)=________．2.方程4x+2x-2=0的解是________．3.若x，y满足条件x+y≤3y≤2x，则z=3x+4y的最大值是________．4.直角坐标平面xOy中，若定点A(1, 2)与动点P(x, y)满足OP→⋅OA→=4，则点P的轨迹方程是________．5.函数y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T=________．6.若cosα=17，α∈(0,π2)，则cos(α+π3)=________．7.若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215，0)，则椭圆的标准方程是________．8.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．（结果用分数表示）9.直线y=12x关于直线x=1对称的直线方程是________．10.在△ABC中，若A=120∘，AB=5，BC=7，则AC=________．11.函数f(x)＝sinx+2|sinx|，x∈[0, 2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________．12.有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a(a>0)，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.若函数f(x)=12x+1，则该函数在(-∞, +∞)上是（）A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值14.已知集合M={x||x-1|≤2,x∈R}，P={x|5x+1≥1，x∈Z}，则M∩P等于（）A.{x|0<x≤3, x∈Z}B.{x|0≤x≤3, x∈Z}C.{x|-1≤x≤0, x∈Z}D.{x|-1≤x<0, x∈Z}15.条件甲“a>1”是条件乙“a>a”的（）试卷第5页，总6页 A.既不充分也不必要条件B.充要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件16.用n个不同的实数a1，a2，…，an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi=-ai1+2ai2-3ai3++(-1)nnain，i=1，2，3，…，n!，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+...+b6=-12+2×12-3×12=-24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+...+b120等于（）A.-3600B.1800C.-1080D.-720三、解答题（共6小题，满分86分）)17.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是BB1和BC的中点，AB=4，AD=2，B1D与平面ABCD所成角的大小为60∘，求异面直线B1D与MN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.在复数范围内解方程|z|2+(z+z)i=3-i2+i（i为虚数单位）．19.已知函数f(x)=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A、B，AB→=2i→+2j→（i→，j→分别是与x，y轴正半轴同方向的单位向量），函数g(x)=x2-x-6．（1）求k，b的值；（2）当x满足f(x)>g(x)时，求函数g(x)+1f(x)的最小值．20.假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？试卷第5页，总6页 21.如图，已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，4为半径作圆M，点P(m, 0)是x轴上的一个动点，试讨论直线AP与圆M的位置关系．22.对定义域是Df．Dg的函数y＝f(x)．y＝g(x)，规定：函数h(x)=f(x)g(x),x∈Dfx∈Dgf(x),x∈Dfx∉Dgg(x),x∉Dfx∈Dg ．（1）若函数f(x)=1x-1，g(x)＝x2，写出函数h(x)的解析式；（2）求问题（1）中函数h(x)的值域；（3）若g(x)＝f(x+α)，其中α是常数，且α∈[0, π]，请设计一个定义域为R的函数y＝f(x)，及一个α的值，使得h(x)＝cos4x，并予以证明．试卷第5页，总6页 参考答案与试题解析2005年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共12小题，每空4分，满分48分）1.4x-12.03.114.x+2y-4＝05.π6.-11147.x280+y220=18.379.x+2y-2=010.311.(1, 3)12.0<a<153二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.A14.B15.B16.C三、解答题（共6小题，满分86分）17.解：连接B1C，由M、N分别是BB1和BC的中点，得B1C // MN，∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角、连接BD，在Rt△ABD中，可得BD=25，又BB1⊥平面ABCD，∠B1DB是B1D与平面ABCD所成的角，∴∠B1DB=60∘、在Rt△B1BD中，B1B=BDtan60∘=215，又DC⊥平面BB1C1C，∴DC⊥B1C，在Rt△DB1C中，tan∠DB1C=DCB1C=DCBC2+BB12=12，∴∠DB1C=arctan12、即异面直线B1D与MN所成角的大小为arctan12、试卷第5页，总6页 18.解：原方程化简为|z|2+(z+z)i=1-i，设z=x+yi(x、y∈R)，代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i，∴x2+y2=1且2x=-1，解得x=-12且y=±32，∴原方程的解是z=-12±32i．19.解：（1）由已知得A(-bk, 0)，B(0, b)，则AB→={bk, b}，于是bk=2，b=2、∴k=1，b=2．（2）由f(x)>g(x)，得x+2>x2-x-6，即(x+2)(x-4)<0，得-2<x<4，由g(x)+1f(x)=x2-x-5x+2=x+2+1x+2-5由于x+2>0，则g(x)+1f(x)≥-3，其中等号当且仅当x+2=1，即x=-1时成立∴g(x)+1f(x)的最小值是-3．20.解：（1）设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=250，d=50，则Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n，令25n2+225n≥4750，即n2+9n-190≥0，而n是正整数，∴n≥10，∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400⋅(1.08)n-1，由题意可知an>0.85bn，有250+(n-1)⋅50>400⋅(1.08)n-1⋅0.85，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．21.解：（1）抛物线的准线为x=-p2，于是4+p2=5，p=2，由此可知抛物线方程为y2=4x．（2）∵点A的坐标为(4, 4)，由题意得B(0, 8)，M(0, 4)，又∵F(1, 0)，∴kFA=43又MN⊥FA，∴kMN=-34，则直线FA的方程为y=43(x-2)，直线MN的方程为y=-34x+4试卷第5页，总6页 联立方程组，解得x=165y=85，∴点N的坐标为(165，85)（3）由题意得，圆M的圆心坐标为(0, 4)，半径为4．当m=8时，直线AP的方程为x=8，此时，直线AP与圆M相离当m≠8时，直线AP的方程为y=88-m(x-m)，即为8x-(8-m)y-8m=0，所以圆心M(0, 4)到直线AP的距离d=|32+4m|64+(m-8)2，令d>4，解得m>2；令d=4，解得m=2；令d<4，解得m<2综上所述，当m>2时，直线AP与圆a+b>c相离；当m=2时，直线AP与圆a+b>c相切；当m<2时，直线AP与圆a+b>c相交．22.h(x)=x2x-1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞)1,x=1 ．当x≠1时，h(x)=x2x-1=x-1+1x-1+2，若x>1时，则h(x)≥4，其中等号当x＝2时成立若x<1时，则h(x)≤0，其中等号当x＝0时成立∴函数h(x)的值域是(-∞, 0]∪{1}∪[4, +∞)令f(x)＝sin2x+cos2x，α=π4则g(x)＝f(x+α)＝sin2(x+π4)+cos2(x+π4)＝cos2x-sin2x，于是h(x)＝f(x)⋅f(x+α)＝(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)＝cos4x．另解令f(x)＝1+2sin2x，α=π2，g(x)＝f(x+α)＝1+2sin2(x+π)＝1-2sin2x，于是h(x)＝f(x)⋅f(x+α)＝(1+2sin2x)(1-2sin2x)＝cos4x．试卷第5页，总6页