2010年上海市高考数学试卷（文科）

2010年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．)1.已知集合A={1, 3, m}，B={3, 4}，A∪B={1, 2, 3, 4}，则m=________．2.不等式2-xx+4>0的解集是________．3.行列式cosπ6sinπ6sinπ6cosπ6的值是________．4.若复数z=1-2i（i为虚数单位），则z⋅z+z=________．5.将一个总体为A、B、C三层，其个体数之比为5:3:2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．6.已知四棱椎P-ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=8，则该四棱椎的体积是________．7.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=________．8.动点P到点F(2, 0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为________．9.函数f(x)=log3(x+3)的反函数的图象与y轴的交点坐标是________．10.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为________（结果用最简分数表示）．11.2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入________．12.在n行n列表123…n-2n-1n234…n-1n1345…n12…………………n12…n-3n-2n-1中，记位于第i行第j列的数为aij(i, j=1, 2,…,n)．当n=9时，a11+a22+a33+...+a99=________．试卷第5页，总6页 13.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e→1=(2,1)、e→2=(2,-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若OP→=ae→1+be2→(a、b∈R)，则a、b满足的一个等式是________．14.将直线l1:x+y-1=0、l2:nx+y-n=0、l3:x+ny-n=0(n∈N*, n≥2)围成的三角形面积记为Sn，则limn→∞Sn=________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．)15.满足线性约束条件2x+y≤3x+2y≤3x≥0y≥0，的目标函数z=x+y的最大值是（）A.1B.32C.2D.316.“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanx=1”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.若x0是方程式lgx+x=2的解，则x0属于区间（）A.(0, 1)B.(1, 1.25)C.(1.25, 1.75)D.(1.75, 2)18.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形试卷第5页，总6页 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．)19.已知0<x<π2，化简：lg(cosx⋅tanx+1-2sin2x2)+lg[2cos(x-π4)]-lg(1+sin2x)．20.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n-5an-85，n∈N*．（1）证明：{an-1}是等比数列；（2）求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整数n．22.若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|，则称x比y接近m．（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2abab；（3）已知函数f(x)的定义域D{x|x≠kπ, k∈Z, x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．23.已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A(0, b)、B(0, -b)和Q(a, 0)为Γ的三个顶点．（1）若点M满足AM→=12(AQ→+AB→)，求点M的坐标；（2）设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若k1⋅k2=-b2a2，证明：E为CD的中点；（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足PP1→+PP2→=PQ→PP1→+PP2→=PQ→？令a=10，b=5，点P的坐标是(-8, -1)，若椭圆Γ上的点P1、P2满足PP1→+PP2→=PQ→，求点P1、P2的坐标．试卷第5页，总6页 参考答案与试题解析2010年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.22.(-4, 2)3.124.6-2i5.206.967.38.y2=8x9.(0, -2)10.11711.S=S+a12.4513.4ab＝114.12二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.C16.A17.D18.C三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.解：原式=lg(cosx⋅sinxcosx+cosx)+lg2(cosx⋅22+sinx⋅22)-lg(sin2x+cos2x+2sinxcosx)=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0．20.解：（1）设圆柱形灯笼的母线长为l，由题意知l=1.2-2r(0<r<0.6)，故所用材料的面积S=S侧+S底=-3π(r-0.4)2+0.48π，所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；试卷第5页，总6页 （2）当r=0.3时，l=0.6，作三视图如图所示：．21.当n＝1时，a1＝-14；当n≥2时，an＝Sn-Sn-1＝-5an+5an-1+1，所以an-1=56(an-1-1)，又a1-1＝-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；由（1）知：an-1=-15⋅(56)n-1，得an=1-15⋅(56)n-1，从而Sn=75⋅(56)n-1+n-90(n∈N*)；由Sn+1>Sn，得(56)n<115，即n>log56115≈14.9，最小正整数n＝15．22.解：(1)|x2-1|<3，0≤x2<4，-2<x<2x∈(-2, 2)；（2）对任意两个不相等的正数a、b，有a2b+ab2>2abab，a3+b3>2abab，因为|a2b+ab2-2abab|-|a3+b3-2abab|=-(a+b)(a-b)2<0，所以|a2b+ab2-2abab|<|a3+b3-2abab|，即a2b+ab2比a3+b3接近2abab；（3）f(x)=1+sinxx∈(2kπ-π,2kπ)1-sinxx∈(2kπ,2kπ+π)=1-|sinx|，x≠kπ，k∈Z，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间[kπ-π2，kπ)单调递增，在区间(kπ,kπ+π2]单调递减，k∈Z．23.解：（1）∵AM→=12(AQ→+AB→)，∴M是B(0, -b)和Q(a, 0)的中点，∴M(a2，-b2)．试卷第5页，总6页 （2）由方程组y=k1x+px2a2+y2b2=1，消y得方程(a2k12+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0，因为直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，所以△>0，即a2k12+b2-p2>0，设C(x1, y1)、D(x2, y2)，CD中点坐标为(x0, y0)，设C(x1, y1)、D(x2, y2)，CD中点坐标为(x0, y0)，则x0=a2k1pa2k12+b2y0=b2pa2k12+b2，由方程组y=k1x+py=k2x，消y得方程(k2-k1)x=p，又因为k2=-b2a2k1，所以x=px2-x1=x0y=k2x=y0，故E为CD的中点；（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由PP1→+PP2→=PQ→知F为P1P2的中点，根据（2）可得直线l的斜率k1=-b2a2k2，从而得直线l的方程．F(1,-12)，直线OF的斜率k2=-12，直线l的斜率k1=-b2a2k2=12，解方程组y=12x-1x2100+y225=1，消y:x2-2x-48=0，解得P1(-6, -4)、P2(8, 3)，或P1(8, 3)、P2(-6, -4)，．试卷第5页，总6页