2012年上海市高考数学试卷（文科）

2012年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）)1.计算：3-i1+i=________（i为虚数单位）．2.若集合A={x|2x-1>0}，B={x||x|<1}，则A∩B=________．3.函数f(x)=sinx2-1cosx的最小正周期是________．4.若d→=(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．6.方程4x-2x+1-3＝0的解是________．7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则limn→∞(V1+V2+...+Vn)=________．8.在(x-1x)6的二项式展开式中，常数项等于________．9.已知y=f(x)是奇函数，若g(x)=f(x)+2且g(1)=1，则g(-1)=________．10.满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z＝y-x的最小值是________．11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是________（结果用最简分数表示）12.在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM→||BC→|=|CN→||CD→|，则AM→⋅AN→的取值范围是________．13.已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0, 0)、B(12，1)、C(1, 0)，函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．14.已知f(x)=11+x，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f(an)，若a2010=a2012，则a20+a11的值是________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）)15.若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则（）A.b＝2，c＝3B.b＝2，c＝-1C.b＝-2，c＝-1D.b＝-2，c＝316.对于实数m，n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（    ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，则的形状是(    )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定试卷第7页，总7页 18.若Sn=sinπ7+sin2π7+...+sinnπ7(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A.16B.72C.86D.100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）)19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC=π2，AB=2，AC=23，PA=2，求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）20.已知f(x)=lg(x+1).(1)若0<f(1-2x)-f(x)<1，求x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g(x)=f(x)，求函数y=g(x)(x∈[1, 2])的反函数．21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y=1249x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2-y2=1．（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|=22，求点M的坐标；试卷第7页，总7页 （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k(|k|<2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．23.对于项数为m的有穷数列{an}，记bk=max{a1, a2, ..., ak}(k=1, 2,…,m)，即bk为a1，a2，…，ak中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（1）若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{an}．（2）设{bn}是{an}的控制数列，满足ak+bm-k+1=C(C为常数，k=1，2，…，m)，求证：bk=ak(k=1, 2,…,m)．（3）设m=100，常数a∈(12, 1)，an=an2-(-1)n(n+1)2n，{bn}是{an}的控制数列，求(b1-a1)+(b2-a2)+...+(b100-a100)．试卷第7页，总7页 参考答案与试题解析2012年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1.1-2i2.(12, 1)3.π4.arctan125.6π6.x＝log237.878.-209.310.-211.2312.[1, 4]13.1414.135+326二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.D16.B17.A18.C三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19.解：（1）∵∠BAC=π2，AB=2，AC=23，∴S△ABC=12×2×23=23又∵PA⊥底面ABC，PA=2∴三棱锥P-ABC的体积为：V=13×S△ABC×PA=433试卷第7页，总7页 ；（2）取BP中点E，连接AE、DE，∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点∴DE // BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．∵在△ADE中，DE=2，AE=2，AD=2∴cos∠ADE=22+22-22×2×2=34，可得∠ADE=arccos34（锐角）因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos34．20.解：(1)f(1-2x)-f(x)=lg(1-2x+1)-lg(x+1)=lg(2-2x)-lg(x+1)，要使函数有意义，则由2-2x>0,x+1>0,解得：-1<x<1．由0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg2-2xx+1<1，得：1<2-2xx+1<10，∵x+1>0，∴x+1<2-2x<10x+10，∴-23<x<13．由-1<x<1，-23<x<13，得：-23<x<13．(2)当x∈[1, 2]时，2-x∈[0, 1]，∴y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x)，由单调性可知y∈[0, lg2]，又∵x=3-10y，∴所求反函数是y=3-10x，x∈[0, lg2]．21.解：（1）t=0.5时，P的横坐标xP=7t=72，代入抛物线方程y=1249x2中，得P的纵坐标yP=3．…2分由|AP|=9492，得救援船速度的大小为949海里/时．…4分由tan∠OAP=730，得∠OAP=arctan730试卷第7页，总7页 ，故救援船速度的方向为北偏东arctan730弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t, 12t2)．由vt=(7t)2+(12t2+12)2，整理得v2=144(t2+1t2)+337．…10分因为t2+1t2≥2，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分22.解：（1）双曲线C1:x212-y21=1的左焦点F(-62,0)，设M(x, y)，则|MF|2=(x+62)2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥22，所以|MF|=3x+22=22，得x=62，所以M(62,±2)．（2）左焦点F(-62,0)，渐近线方程为：y=±2x．过F与渐近线y=2x平行的直线方程为y=2(x+62)，即y=2x+3，所以y=-2xy=2x+3，解得x=-64y=32．所以所求平行四边形的面积为S=|OF||y|=324．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故|b|k2+1=1，即b2=k2+1…①，由y=kx+b2x2-y2=1，得(2-k2)x2-2bkx-b2-1=0，设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则x1+x2=2kb2-k2x1x2=-1-b22-k2，又y1y2=(kx1+b)(kx2+b)．所以OP→⋅OQ→=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=(1+k2)(-1-b2)2-k2+2k2b22-k2+b2=-1+b2-k22-k2．由①式可知OP→⋅OQ→=0，故PO⊥OQ．试卷第7页，总7页 23.解：（1）数列{an}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；…4分（2）∵bk=max{a1, a2, ..., ak}，bk+1=max{a1, a2, ..., ak+1}，∴bk+1≥bk...6分∵ak+bm-k+1=C，ak+1+bm-k=C，∴ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，即ak+1≥ak，…8分∴bk=ak...10分（3）对k=1，2，…25，a4k-3=a(4k-3)2+(4k-3)，a4k-2=a(4k-2)2+(4k-2)，a4k-1=a(4k-1)2-(4k-1)，a4k=a(4k)2-4k，…12分比较大小，可得a4k-2>a4k-1，∵12<a<1，∴a4k-1-a4k-2=(a-1)(8k-3)<0，即a4k-2>a4k-1；a4k-a4k-2=2(2a-1)(4k-1)>0，即a4k>a4k-2，又a4k+1>a4k，从而b4k-3=a4k-3，b4k-2=a4k-2，b4k-1=a4k-2，b4k=a4k，…15分∴(b1-a1)+(b2-a2)+...+(b100-a100)=(a2-a3)+(a6-a7)+...+(a98-a99)=k=125(a4k-2-a4k-1)=(1-a)k=125(8k-3)=2525(1-a)…18分试卷第7页，总7页