2014年上海市高考数学试卷（文科）

2014年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。)1.函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是________．2.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z+1z)⋅z=________．3.设常数a∈R，函数f(x)=|x-1|+|x2-a|，若f(2)=1，则f(1)=________．4.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为________．6.若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为________．7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为________（结果用反三角函数值表示）8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于________．9.设f(x)=-x+a,x≤0，x+1x，x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为________．10.设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=limn→∞(a3+a4+...an)，则q=________．11.若f(x)=x23-x-12，则满足f(x)<0的x的取值范围是________．12.方程sinx+3cosx=1在闭区间[0, 2π]上的所有解的和等于________．13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是________（结果用最简分数表示）．14.已知曲线C:x=-4-y2，直线l:x=6，若对于点A(m, 0)，存在C上的点P和l上的Q使得AP→+AQ→=0→，则m的取值范围为________．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分)15.设a，b∈R，则“a+b>4”是“a>2且b>2”的(    )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件试卷第7页，总7页 16.已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a, b}={a2, b2}，则a+b=(    )A.2B.1C.0D.-117.如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi(i=1, 2,…,7)是小正方形的其余顶点，则AB→⋅APi→(i=1, 2,…,7)的不同值的个数为(    )A.7B.5C.3D.118.已知P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组a1x+b1y=1，a2x+b2y=1 的解的情况是(    )A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解三、解答题（共5小题，满分74分）)19.底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20.设常数a≥0，函数f(x)=2x+a2x-a．(1)若a=4，求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)；(2)根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由．21.如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12∘，β=18.45∘，求CD的长（结果精确到0.01米）．22.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，若η<0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l试卷第7页，总7页 为曲线C的一条分隔线．(1)求证：点A(1, 2)，B(-1, 0)被直线x+y-1=0分隔；(2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；(3)动点M到点Q(0, 2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．23.已知数列{an}满足13an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．(1)若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；(2)若{an}是等比数列，且am=11000，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}的公比；(3)若a1，a2，…a100成等差数列，求数列a1，a2，…a100的公差的取值范围．试卷第7页，总7页 参考答案与试题解析2014年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1.π22.63.34.x=-25.706.227.arcsin138.249.(-∞, 2]10.5-1211.(0, 1)12.7π313.11514.[2, 3]二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15.B16.D17.C18.B三、解答题（共5小题，满分74分）19.解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60∘，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60∘，∴∠P1=60∘，同理∠P2=∠P3=60∘，∴△P1P2P3是等边三角形，P-ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，VP-ABC=212×AB3=223.20.解：(1)∵a=4，∴f(x)=2x+42x-4=y，∴2x=4y+4y-1，∴x=log24y+4y-1，∴试卷第7页，总7页 调换x，y的位置可得y=f-1(x)=log24x+4x-1，x∈(-∞, -1)∪(1, +∞)．(2)若f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)对任意x均成立，∴2x+a2x-a=2-x+a2-x-a，整理可得a(2x-2-x)=0．∵2x-2-x不恒为0，∴a=0，此时f(x)=1，x∈R，满足条件；若f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)对任意x均成立，∴2x+a2x-a=-2-x+a2-x-a，整理可得a2-1＝0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f(x)=2x+12x-1,x≠0，满足条件；当a>0且a≠1时，f(x)为非奇非偶函数，综上所述，a=0时，f(x)是偶函数，a=1时，f(x)是奇函数．当a>0且a≠1时，f(x)为非奇非偶函数.21.解：(1)设CD的长为x米，则tanα=x35，tanβ=x80，∵0<2β≤α<π2，∴tanα≥tan2β>0，∴tanα≥2tanβ1-tan2β，即x35≥2⋅x801-x26400=160x6400-x2，解得0<x≤202≈28.28，即CD的长至多为28.28米．(2)设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180∘-α-β=123.43∘，由正弦定理得asinα=ABsin∠ADB，即a=115sin38.12∘sin123.43∘≈85.06，∴m=802+a2-160acos18.45≈26.93，答：CD的长为26.93米．22.(1)证明：把点(1, 2)、(-1, 0)分别代入x+y-1可得η=(1+2-1)(-1-1)=-4<0，∴点(1, 2)、(-1, 0)被直线 x+y-1=0分隔．(2)解：联立x2-4y2=1，y=kx， 可得 (1-4k2)x2=1，根据题意，此方程无解，故有1-4k2≤0，∴|k|≥12．当|k|≥12时，对于直线y=kx试卷第7页，总7页 ，曲线x2-4y2=1上的点(-1, 0)和(1, 0)满足η=-k2<0，即点(-1, 0)和(1, 0)被y=kx分隔．故实数k的取值范围是(-∞, -12]∪[12, +∞)．(3)设点M(x, y)，则 x2+(y-2)2⋅|x|=1，故曲线E的方程为[x2+(y-2)2]x2=1 ．对任意的y0，(0, y0)不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点． 又曲线E上的点(1, 2)、(-1, 2)对于y轴(x=0)满足η=1×(-1)=-1<0，即点(-1, 2)和(1, 2)被y轴分隔，所以y轴为曲线E的分隔线．23.解：(1)由题意可得：13a2≤a3≤3a2，∴23≤x≤6；又13a3≤a4≤3a3，∴3≤x≤27．综上可得：3≤x≤6．(2)设公比为q，由已知可得，an=qn-1，又13a1≤a2≤3a1，∴13≤q≤3．因此am=qm-1=11000，∴13≤q<1，∴m=1-logq1000=1-1log1000q=1-3lgq≥1-3lg13=1+3lg3≈7.29．∴m的最小值是8，因此q7=11000，∴q=(11000)17=10-37．(3)设公差为d，由已知可得1+(n-1)d3≤1+nd≤3[1+(n-1)d]，即(2n+1)d≥-2，(2n-3)d≥-2， 令n=1，得-23≤d≤2．当2≤n≤99时，不等式即d≥-22n+1，d≥-22n-3．∴d≥-2199．综上可得：公差d试卷第7页，总7页 的取值范围是[-2199,2]．试卷第7页，总7页