2018年上海市高考数学试卷

2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.)1.行列式的值为________．2.双曲线的渐近线方程为________．3.在㌲的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）．4.设常数，函数log㌲．若的反函数的图象经过点，则________．5.复数满足㌲൅൅，则________．6.记等差数列的前项和为，若，㌲，则________．7.已知在且，数函奇为数函幂若，，㌲上递减，则________．8.在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为________．9.有编号互不相同的五个砝码，其中克，克，克砝码各一个，克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为克的概率是________（结果用最简分数表示）．的通项公式为，前项和为lim10.设等比数列．若，㌲则________．ㄵ㌲11.已知常数知，函数的图象经过点ㄵ，．若㌲ㄵ，则________．12.已知实数，，，满足：㌲，㌲，㌲，则㌲㌲㌲的最大值为________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.)13.设是椭圆㌲上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.B.C.D.14.已知，则“知”是“”的（）试卷第1页，总8页 A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如下图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A.B.C.D.16.设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是()A.B.C.D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.)17.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为．设圆锥的母线长为，求圆锥的体积；设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图．求异面直线与所成的角的大小．18.设常数，函数sin㌲cos．若为偶函数，求的值；若㌲，求方程在区间上的解．19.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中Ψ的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为试卷第2页，总8页 ，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间㌲，不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．20.设常数知．在平面直角坐标系中，已知点，直线ǣ，曲线：．与轴交于点、与交于点．，分别是曲线与线段上的动点．用表示点到点的距离；设，，线段的中点在直线上，求的面积；设，是否存在以，为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．21.给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”．设是首项为，公比为的等比数列，㌲㌲，，判断数列是否与接近，并说明理由；设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合൅൅，求中元素的个数；已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，…，中至少有个为正数，求的取值范围．试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.㌲二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.C14.A15.D16.B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.解：∵圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为，圆锥的母线长为，∴圆锥的体积．∵，，是底面半径，且，为线段的中点，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，试卷第4页，总8页 ，，，，，，，设异面直线与所成的角为，则cos．∴arccos．∴异面直线与所成的角的为arccos．18.解：∵sin㌲cos，∴sin㌲cos，∵为偶函数，∴，∴sin㌲cossin㌲cos，∴sin，∴.∵㌲，∴sin㌲cos㌲㌲，∴，∴sin㌲cossin㌲cos㌲sin㌲㌲，∵，∴sin㌲㌲，∴sin㌲，∴㌲㌲㐲，或㌲㌲㐲，㐲，∴㌲㐲，或㌲㐲，㐲，试卷第5页，总8页 ∵，∴或或或19.解：由题意知，当时，㌲知，即㌲知，解得或知，∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；当时，Ψ㌲Ψ；当时，㌲Ψ㌲Ψ㌲；，∴㌲，当时，单调递减；当时，单调递增；说明该地上班族中有小于Ψ的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于Ψ的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为Ψ时，人均通勤时间最少．20.解：由题意可知：设，则㌲㌲，∴㌲.，，，则，∴，∴，设的中点，，㐲，则直线方程：，，联立，试卷第6页，总8页 整理得：㌲，解得：，（舍去），∴的面积.存在，设，，则㐲，㐲，直线方程为，∴，，根据㌲，㌲则㌲，㌲∴㌲，解得：，∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．21.解：数列与接近．理由：是首项为，公比为的等比数列，可得，㌲㌲㌲，则㌲，，可得数列与接近；是一个与接近的数列，可得㌲，数列的前四项为：，，，，可得，，，，可能与相等，与相等，但与不相等，与不相等，集合൅൅，中元素的个数或；是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，可得㌲，①若知，取，可得㌲㌲知，则，，…，中有个正数，符合题意；②若，取，则，，可得㌲知，㌲则，，…，中有个正数，符合题意；试卷第7页，总8页 ③若，可令，㌲，则㌲㌲知，则，，…，中恰有个正数，符合题意；④若，若存在数列满足：与接近，即为㌲，㌲㌲㌲㌲，可得㌲㌲㌲㌲，，，…，中无正数，不符合题意．综上可得，的范围是㌲．试卷第8页，总8页