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2003年北京市春季高考数学试卷(理科)

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2003年北京市春季高考数学试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分))1.若集合컐߈ʈ컐,컐߈ʈ컐,则컐䁧A.߈ʈݕʈ߈.Dݕʈ߈.Cݕʈ߈.Bݕݕ2.若䁧컐,则方程䁧=的根是()ݕݕA.B.C.D.ݕݕ3.设复数ݕ컐ݕͳ,컐ͳ,则arg컐䁧ݕA.B.C.D.ݕݕݕݕݕ4.函数䁧컐的最大值是䁧ݕ䁧ݕA.B.C.D.5.在同一坐标系中,方程ͳ컐ݕ䁧ݕ컐ͳ与ݕ的曲线大致是()A.B.C.D.6.若,,是的三个内角,且൏൏䁧,则下列结论中正确的是()A.sin൏sinB.cos൏cosC.݃൏݃D.݃൏݃컐ͳcos,7.椭圆(为参数)的焦点坐标为()컐sin,A.䁧ݕ䁢㌳䁧,ݕ䁢ݕ䁧.B㌳䁢ݕ䁧,ݕ䁢ݕC.䁧ݕ䁢㌳䁧,ݕ䁢ݕ䁧.D㌳䁢ݕ䁧,ݕ䁢ݕ试卷第1页,总9页,8.如图,在正三角形中,,,分别为各边的中点,,,,分别为,,、的中点.将沿,,折成三棱锥以后,与所成角的度数为()A.ݕ.D.Cݕ.Bݕ9.某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为()A.B.C.㌳D.ݕ10.已知直线ͳͳ컐ݕ컐ͳ圆与ݕ䁧ݕ相切,则三条边长分别为ʈʈ,ʈʈ,ʈʈ的三角形()A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在11.若不等式ʈͳʈ൏的解集为䁧ݕ䁢,则实数等于()A.㌳B.C.D.㌳12.在直角坐标系‸中,已知‸三边所在直线的方程分别为컐ݕ컐,ݕ,ͳ컐ݕ,则‸内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是()A.B.ݕC.㌳㌳D.二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分))13.如图,一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为的实心铁球,水面高度恰好升高,则컐________.14.在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白()内.年龄(岁)ݕݕݕݕ收缩压(水银柱毫米)ݕ________䁧ݕݕݕݕݕݕݕݕݕݕݕ舒张压(水银柱毫米)ݕ㌳㌳ݕ㌳䁧________㌳㌳试卷第2页,总9页,15.如图,ݕ컐ͳ圆椭为别分,ݕ的左、右焦点,点在椭圆上,‸是面积为的正三角形,则的值是________.16.若存在常数ݕ,使得函数䁧满足䁧컐䁧䁧,则䁧的一个正周期为________.三、解答题(共6小题,满分74分))17.解不等式:logݕݕ䁧ݕgol䁧ݕ.cosͳsin18.已知函数䁧컐,求䁧的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.cos19.如图,正四棱柱ݕݕݕݕ中,底面边长为,侧棱长为.,分别为棱,的中点,=.䁧Ⅰ求证:平面ݕݕ面平ݕ;䁧Ⅱ求点ݕ面平到ݕ的距离;䁧Ⅲ求三棱锥ݕݕ的体积.20.某租赁公司拥有汽车ݕݕݕ为金租月的车辆每当.辆ݕݕݕ元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加ݕ元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费ݕ费护维要需月每辆每车的出租未,元ݕݕ元.(1)当每辆车的月租金定为ݕݕ元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?21.如图,在边长为的等边中,圆‸ݕ为的内切圆,圆‸与圆‸ݕ外切,且与,相切,…,圆‸ͳݕ与圆‸外切,且与,相切,如此无限继续下去.记圆‸的面积为䁧.(1)证明߈是等比数列;lim(2)求䁧ݕͳͳǤǤǤͳ的值.试卷第3页,总9页,22.已知动圆过定点䁧ݕ컐线直定与且,ݕ䁢ݕ相切,点在上.(1)求动圆圆心的轨迹的方程;(2)设过点,且斜率为的直线与曲线相交于,两点.䁧问:能否为正三角形?若能,求点的坐标;若不能,说明理由;䁧当为钝角三角形时,求这种点的纵坐标的取值范围.试卷第4页,总9页,参考答案与试题解析2003年北京市春季高考数学试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A10.B11.C12.B二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.14.ݕݕ,㌳15.16.(或的整数倍)三、解答题(共6小题,满分74分)17.解:原不等式变形为logݕ䁧logݕ䁧.ݕݕͳ䁧䁧ݕ所以原不等式ݕݕݕݕ൏ݕ൏൏൏൏ݕ൏.故原不等式的解集为߈ʈ൏൏.18.解:由cosݕ,得ͳ,解得ͳ,.所以䁧的定义域为߈ʈ且ͳ,Ǥ因为䁧的定义域关于原点对称,cos䁧ͳsin䁧且䁧컐cos䁧试卷第5页,总9页,cosͳsin컐컐䁧,cos所以䁧是偶函数.当ͳ,时,cosͳsin䁧컐cos䁧cosݕcos䁧ݕ컐컐cosݕ,cosݕݕ所以䁧的值域为߈ʈݕ൏或൏.19.(1)证法一:连接.∵正四棱柱ݕݕݕݕ的底面是正方形,∴,又ݕݕ面平故,ݕ.∵,分别为,的中点,故,∴平面ݕݕ,∴平面ݕݕ面平ݕ.证法二:∵=,==,∴.又ݕ∴平面ݕݕ,∴平面ݕݕ面平ݕ.(2)在对角面ݕݕ中,作ݕݕ,垂足为.∵平面ݕݕ面平ݕ,且平面ݕ=ݕݕ面平ݕ,∴ݕ面平ݕ,且垂足为,∴点ݕ=离距的ݕ面平到ݕ.解法一:在ݕݕsinݕݕ=ݕ,中ݕݕ.∵ݕݕ컐ݕݕ컐컐,ݕsinݕsin컐ݕݕ컐컐컐,ݕݕͳݕݕݕ∴컐ݕ컐컐.ݕݕ解法二:∵ݕݕݕ,ݕݕݕ∴컐,ݕݕݕݕݕ∴컐ݕ컐컐컐.ݕݕͳݕ解法三:连接ݕݕ形方正于等积面的ݕݕ形角三则,ݕ面积的一半,ݕݕ即ݕ컐ݕݕ,ݕݕݕ∴컐ݕ컐컐.ݕݕ试卷第6页,总9页,ݕ䁧Ⅲ컐ݕ컐ݕݕ컐ݕݕݕݕݕݕ컐ݕ컐.ݕ20.解:(1)当每辆车的月租金定为ݕݕ元时,ݕݕݕݕݕ未租出的车辆数为컐ݕ,ݕ所以这时租出了㌳㌳辆车.(2)设每辆车的月租金定为元,ݕݕݕݕݕݕ则租赁公司的月收益为䁧컐䁧ݕݕݕ䁧ݕݕݕ,ݕݕݕ整理得䁧컐ͳݕݕݕͳݕݕ䁧컐ݕݕݕݕݕ.ݕݕ所以,当컐ݕݕݕ컐ݕݕ䁧为值大最,大最䁧,时ݕݕ,即当每辆车的月租金定为ݕݕݕ为益收月大最,大最益收月的司公赁租,时元ݕݕ元.21.(1)证明:记为圆‸的半径,则ݕtan컐ݕ컐,ݕݕ컐sinݕ컐.ݕͳݕ所以컐ݕ䁧,试卷第7页,总9页,ݕ于是ݕ컐컐ݕ,ݕ컐䁧컐ݕݕ故߈成等比数列.ݕݕ(2)解:因为컐䁧ݕ䁧,limݕ所以䁧ݕ컐ͳͳͳݕ컐.ݕ22.解:(1)依题意,曲线是以点为焦点,直线为准线的抛物线,所以曲线的方程为컐.䁧䁧由题意得,컐䁧ݕ直线的方程为컐䁧ݕ由컐ݕ消得ݕ得解,ݕ컐ͳݕݕ컐,컐.ݕ所以点坐标为䁧,,ݕ点坐标为䁧䁢,ʈʈ컐ݕͳͳ컐.假设存在点䁧ݕ䁢,使为正三角形,则ʈʈ컐ʈʈ且ʈʈ컐ʈʈ,ݕ䁧ͳݕͳ䁧ͳ컐䁧即①②ݕݕ䁧ͳݕͳ䁧컐䁧由①-②得ͳ䁧ͳ컐䁧ͳ䁧,ݕ解得컐.ݕ但컐不符合①,所以由①,②组成的方程组无解.因此,直线上不存在点,使得是正三角形.䁧设䁧ݕ䁢使成钝角三角形,컐䁧ݕ由得컐,컐ݕ即当点的坐标为䁧ݕ䁢时,,,三点共线,试卷第8页,总9页,故.ݕ㌳又ʈʈ컐䁧ݕͳ䁧컐ͳ,ʈʈ컐䁧ͳݕͳ䁧ͳ컐㌳ͳͳ,ݕʈʈ컐䁧컐.当ʈʈʈʈͳʈʈ,㌳即㌳ͳͳͳͳ,即时,为钝角.当ʈʈʈʈͳʈʈ,㌳即ͳ㌳ͳͳͳ,ݕݕ即൏时为钝角.又ʈʈʈʈͳʈʈ,㌳即ͳͳ㌳ͳͳ,即ͳͳ൏ݕ൏ͳ䁧,ݕ.该不等式无解,所以不可能为钝角.因此,当为钝角三角形时,ݕݕ点的纵坐标的取值范围是൏或䁧.试卷第9页,总9页

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发布时间:2021-10-19 09:45:15 页数:9
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文章作者: 真水无香

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