2002年安徽省普通高中理科实验班招生考试数学试卷

2002年安徽省普通高中理科实验班招生考试数学试卷一、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）)1.已知ȁ൅ȁ＝，则代数式ݕ͸的值是（）A.B.͸C.D.൅2.把一个长宽不等的长方形纸条形纸条，像如图所示那样沿形条折叠，折叠后纸点的位置在纸，形纸与条交于，则下列结论正确的是（）A.形条有可能是直角三角形B.形条有可能是等边三角形C.形条不一定是钝角三角形D.形条一定是等腰三角形3.如图，已知等腰梯形形纸条的腰形＝纸条＝，对角线纸形条，锐角形纸＝，则该梯形的面积是（）A.sinB.sinC.cosD.cos4.某企业进行了制度创新和技术改造，效益逐年提高．下面是年利润的几个统计数据（单位均为百万元）：㔠㔠㔠年㤵൅，年㤵͸，年㤵㔠，且年利润与年号间的关系可以近似地用二次函数来反映．由此，请你预测年的年利润应为（）A.͸B.㌳㤵͸C.൅㤵D.㤵൅二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）)ݕݕ5.已知，化简________．൅㔠6.如图是置于水平地面上的一个球形储油罐，小敏想测量它的半径、在阳光下，他测得球的影子的最远点到球罐与地面接触点形的距离是米（如示意图，形＝米）；同一时刻，他又测得竖直立在地面上长为米的竹竿的影子长为米，那么，球的半径是________米．试卷第1页，总9页 7.方程的解是________．㔠͸8.正六边形形纸条的边长为ݕ，点为形纸条内的任意一点，点到正六边形形纸条各边所在直线的距离之和为，则＝．9.、为正整数，且t，若͸＝，则＝________．10.形纸中，形＝纸，＝ݕ________＝积面的纸形则，＝纸形，ݕ．形纸11.如果________．12.如图，在直角梯形形纸条中，条形纸，形形纸，形纸＝ݕ条，纸条＝͸条，、为两腰的中点，下面给出四个结论：①形纸条＝൅②纸条＝㔠③条条纸④形形纸其中正确的有________（要求：把正确结论的序号都填上）．三、解答题（共2小题，满分30分）)13.如图，形纸中，纸形与纸形均为锐角，分别以纸、纸形为边向形纸外侧作正方形纸条和正方形纸形形，再作条条直线形于条，直线形于．求证：Ⅰ条条＝形；Ⅱ线段形的中点也平分线段条．14.如图为机器人足球世界杯赛的一个模拟场景，直角坐标系中，原点为球门，机器人在点㌳͸处发现在点形处对方另一机器人踢的小球正向球门作匀速直线运动，已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的两倍，假定机器人与小球同时分别自、形出发，问机器人从点沿直线前进，最快可在何处截住小球？并求出机器人行走路线对应的一次函数解析式．试卷第2页，总9页 五、标题)15.设一组数据是，，…，，它们的平均数是，方差．Ⅰ证明：方差也可表示为，当；并且＝＝…＝时，方差取最小值；Ⅱ求满足方程的一切实数对．ݕ六、标题)㌳16.已知是实数，函数＝，若ȁȁ，求证：ȁȁ．͸七、标题)17.一张台面为长方形形纸条的台球桌，只有四个角袋（分别以台面顶点、形、纸、条表示），台面的长、宽分别是、、为互质的奇数，且t，台面被分成个正方形．只用一个桌球，从桌角以与桌边成͸㌳夹角射出，碰到桌边后也以与桌边成͸㌳角反弹（入射线与反射线垂直，如图）．假设桌球不受阻力影响，在落袋前能一直运动．求证：不论经过多少次反弹，桌球都不可能落入条袋．八、标题)18.如图，等腰三角形形纸中，形＝形纸，为形纸的外接圆，纸条为纸形的平分线，纸条的延长线交于，过作纸条的垂线交形纸于，再过作纸条的平行线交形于，的延长线交于．求证：Ⅰ纸；试卷第3页，总9页 Ⅱ形＝条．试卷第4页，总9页 参考答案与试题解析2002年安徽省普通高中理科实验班招生考试数学试卷一、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）1.C2.D3.B4.C二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）5.6.㌳7.㔠8.（18）9.൅10.11.൅＝，൅＝，那么的值等于͸12.①②③三、解答题（共2小题，满分30分）13.证明：（1）过点纸作纸形于，∵条条形、形，∴条条＝形＝纸＝形纸＝㔠，∴条条纸形＝纸纸＝纸形形纸＝纸形形＝㔠，∴条条＝纸，形＝形纸，∵条＝纸，形纸＝形，∴条条纸，形形纸，∴条条＝，＝形，∴条条＝形；（2）设为条的中点，为条的中点，则：条条形且形，当四边形条条为矩形时，以上结论仍然成立．∴条条纸，形形纸，又∵条＝纸＝形，∴形的中点就是条的中点．试卷第5页，总9页 14.设截点为：纸，则形纸＝，纸㌳͸，∴形纸＝纸，即可得：＝͸㌳൅，解得：＝或，ݕ∴最快在出截住．设机器人行走路线对应的一次函数解析式为：＝，͸ݕ，解得：，㌳͸ݕݕ͸ݕ∴机器人行走路线对应的一次函数解析式为：．ݕݕ五、标题15.（1）∵，，㤵㤵㤵（），㤵㤵㤵，㤵㤵㤵㤵㤵㤵，㤵㤵㤵，∴；当＝＝…＝时，，∴此时方差取最小值；（2）设数据，，的平均数为：，ݕ，ݕ试卷第6页，总9页 方差，ݕ㔠ݕ当且仅当＝＝时，ݕ＝，此时，．ݕݕ六、标题㌳16.证明：当＝，＝，则ȁȁ；͸当，∴，∴＝，随的增大而减小，而，㌳∴当＝，有最大值，此时＝＝，͸㌳㌳即时，的最大值为，满足ȁȁ．͸͸㌳当＝，有最小值，此时＝＝，͸㌳㌳即时，的最小值为，满足ȁȁ．͸͸㌳所以若ȁȁ，有ȁȁ．͸七、标题17.证明：如图：将桌边的正方形顶点从开始：按逆时针方向依次编号为，，，…，，，∵、均为奇数，∴点形的编号必为，点纸的编号必为，点条的编号必为（1）由于桌球从点以͸㌳角射出，碰到桌边也以͸㌳角反弹，当桌球反弹至邻边时，射线与两边桌边围成一个等腰直角三角形，该等腰直角三角形的斜边两端点也就是球的射线的两端点编号必相同，（如图中射线，等腰纸中，∵纸＝纸，∴从经、纸、到，编号变为偶数次，与的编号必相同）…：当桌球反弹至对边时，球的射线的两个端点的编号必也相同（如图中射线形，因为＝形＝纸条，纸＝条形，从经路径纸条到形，编号也变了偶数次，与形的编号必也相同）．综上，不论经过多少次的反弹，桌球在桌边碰到的点的编号均为与点的编号相同，而点的编号为，所以桌球不可能落入编号为的条袋中．试卷第7页，总9页 八、标题18.证明：（1）如图，设直线与纸交于点，∵纸，∴纸＝，∵在纸和中，纸，纸∴纸纸，∴纸＝，∵纸平分形纸，∴纸＝纸，∴＝纸，∴纸，（2）如图，连接形，纸，过作纸垂线形，形为垂足．过作纸垂线，为垂足，∵纸，纸，∴，∴四边形为矩形，∴＝，∵形＝形纸，∴形纸形，∵纸，∴纸，∴形形，形＝形，∴形纸＝纸形，∴纸平分纸，∴形＝，∴形＝，∵形纸＝纸，∴纸＝纸＝纸，∵形纸＝㔠纸，＝㔠纸，∴形纸＝，即形纸＝，∵形＝形，∴形＝形，即，纸＝形，∵形＝纸形纸，条＝形，∴形＝条，试卷第8页，总9页 ∵在形和条中，形条形条，形∴形条，∴＝条，∵在形和纸中，纸形纸，纸形∴形纸，∴形＝，∴形＝条．试卷第9页，总9页