中考数学复习方法技巧：最短距离训练（含答案）

中考数学复习方法技巧：最短距离训练（含答案）方法技巧专题十　最短距离训练探究平面内最短路径的原理主要有以下两种：一是“垂线段最短”，二是“两点之间，线段最短”．立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题．求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段．一、选择题1．[2016·苏州]矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图F10－1所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为(　　)A．(3，1)B．(3，)C．(3，)D．(3，2)图F10－1图F10－2　　　2．[2015·遵义]如图F10－2，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为(　　)A．50°B．60°C．70°D．80°3．[2015·贵港]如图F10－3，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连结OP，OM.若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是(　　)A．0B．1C．2D．3图F10－3图F10－44．[2017·天津]如图F10－4，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是(　　),A．BCB．CEC．ADD．AC5．[2017·莱芜]如图F10－5，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是(　　)A.B.C.D.图F10－5图F10－66．[2017·乌鲁木齐]如图F10－6，点A(a，3)、B(b，1)都在双曲线y＝上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为(　　)A．5B．6C．2＋2D．87．[2016·雅安]如图F10－7，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P，Q分别在BD，AD上，则AP＋PQ的最小值为(　　)A．2B.C．2D．3图F10－7图F10－88．[2016·安徽]如图F10－8，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为(　　)A.B．2C.D.二、填空题9．[2016·东营]如图F10－9，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC>AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是________．图F10－9,10．[2017·德阳]如图F10－10，已知⊙C的半径为3，圆外一定点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过O的直线l上有两点A、B且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．图F10－10三、解答题11．[2017·德阳]如图F10－11，函数y＝的图象与双曲线y＝(k≠0，x>0)相交于点A(3，m)和点B.(1)求双曲线的解析式及点B的坐标；(2)若点P在y轴上，连结PA、PB，求当PA＋PB的值最小时点P的坐标．图F10－11,12．把△EFP按如图F10－12所示的方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上．已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝6，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．图F10－12参考答案,1．B　[解析]如图，作点D关于直线AB的对称点H，连结CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D(，0)，A(3，0)，∴H(，0)，可求得直线CH的解析式为y＝－x＋4，当x＝3时，y＝，∴点E的坐标为(3，)．故选B.2．D3．B　[解析]连结OQ，设线段OP与⊙O相交于点N，连结MN，则MN是△POQ的中位线，∴MN＝OQ＝1.当点Q与点N重合时，OM＝3；当点Q是射线PO与⊙O的另一个交点时，OM＝1.∴OM的最小值是1.故选B.4．B　[解析]连结PC.由AB＝AC，可得△ABC是等腰三角形，根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称，BP＝CP，因此连结CE，BP＋CP的最小值为CE，故选B.5．A　[解析]连结BD、DM，DM交AC于点P，则此时PB＋PM的值最小．过点D作DF⊥BC于点F，过点M作ME∥BD交AC于点E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°.又∵DC＝BC，∴△BCD是等边三角形．∴BF＝CF＝BC＝3.∴MF＝CF－CM＝3－2＝1，DF＝BF＝3.∴DM＝＝2.∵ME∥BD，∴△CEM∽△COB.∴＝＝＝.又∵OB＝OD，∴＝.∵ME∥BD，∴△PEM∽△POD.,∴＝＝，∴PM＝DM＝×2＝.故选A.6．B　[解析]∵点A(a，3)、B(b，1)都在双曲线y＝上，∴a＝1，b＝3，∴A(1，3)、B(3，1)，则AB＝＝＝2.作点A关于y轴的对称点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连结A1B1，交y轴于点D，交x轴于点C，则A1(－1，3)、B1(3，－1)，A1B1＝＝＝4，根据轴对称的性质，四边形ABCD周长的最小值是AB＋A1B1＝2＋4＝6，故选B.7．D　[解析]设BE＝x，则DE＝3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2＝BE·DE，即AE2＝3x2，∴AE＝x.在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2＋DE2，即62＝(x)2＋(3x)2，解得x＝.∴AE＝3，DE＝3.如图，设A点关于BD的对称点为A′，连结A′D，PA′，则A′A＝2AE＝6＝AD，AD＝A′D＝6，∴△AA′D是等边三角形．∵PA＝PA′，∴当A′，P，Q三点在一条直线上时，A′P＋PQ最小．由垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P＋PQ最小，∴AP＋PQ＝A′P＋PQ＝A′Q＝DE＝3，故选D.8．B　[解析]首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连结OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP＋∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°.∴点P在以AB为直径的⊙O上，连结OC交⊙O于点P，此时PC的长最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，,∴OC＝＝5，∴PC＝OC－OP＝5－3＝2.∴PC长的最小值为2.故选B.9．4　[解析]∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短．此时∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝4，∴DE的最小值为4.故答案为4.10．4　[解析]连结OP、OC、PC，则有OP≥OC－PC，当O、P、C三点共线的时候，OP＝OC－PC.∵∠APB＝90°，OA＝OB，∴点P在以AB为直径的圆上，∴⊙O与⊙C相切的时候，OP取到最小值，此时OP＝OC－CP＝2，∴AB＝2OP＝4.11．解：(1)由点A(3，m)在直线y＝2x上，得m＝6，则A(3，6)，代入y＝得到k＝18.联立解得或(舍)，则点B(6，3)．(2)如图所示，作A关于y轴的对称点A′(－3，6)，连结PA′，则PA′＝PA，∴PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当A′，P，B三点共线时，PA＋PB有最小值，∵A′(－3，6)，B(6，3)，∴A′B＝3，∴PA＋PB的最小值为3.设A′B：y＝kx＋b，将B(6，3)，A′(－3，6)，代入y＝kx＋b，得解得,得A′B：y＝－x＋5，当x＝0时，y＝5，即当PA＋PB取得最小值的时候，P的坐标为(0，5)．12．解：(1)如图①，作PQ⊥EF于点Q，∵EP＝FP＝4，EF＝4，∴QF＝QE＝2.∴cos∠QFP＝＝，∴∠QFP＝30°.∴∠QEP＝∠QFP＝30°，∴∠EPF＝120°.(2)如图②，将△PAF绕点P逆时针旋转120°，得△PA′E，作PM⊥AA′，垂足为M，在等腰三角形PAA′中，AM＝APcos∠PAA′＝6cos30°＝3，∴AA′＝2AM＝2×3＝6.即AE＋AF＝6.(3)最大值是8，最小值是4.