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中考数学复习方法技巧:最短距离训练(含答案)

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中考数学复习方法技巧:最短距离训练(含答案)方法技巧专题十 最短距离训练探究平面内最短路径的原理主要有以下两种:一是“垂线段最短”,二是“两点之间,线段最短”.立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题.求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段.一、选择题1.[2016·苏州]矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图F10-1所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为(  )A.(3,1)B.(3,)C.(3,)D.(3,2)图F10-1图F10-2   2.[2015·遵义]如图F10-2,在四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为(  )A.50°B.60°C.70°D.80°3.[2015·贵港]如图F10-3,已知P是⊙O外一点,Q是⊙O上的动点,线段PQ的中点为M,连结OP,OM.若⊙O的半径为2,OP=4,则线段OM的最小值是(  )A.0B.1C.2D.3图F10-3图F10-44.[2017·天津]如图F10-4,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是(  ),A.BCB.CEC.ADD.AC5.[2017·莱芜]如图F10-5,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是(  )A.B.C.D.图F10-5图F10-66.[2017·乌鲁木齐]如图F10-6,点A(a,3)、B(b,1)都在双曲线y=上,点C,D分别是x轴、y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为(  )A.5B.6C.2+2D.87.[2016·雅安]如图F10-7,在矩形ABCD中,AD=6,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,点P,Q分别在BD,AD上,则AP+PQ的最小值为(  )A.2B.C.2D.3图F10-7图F10-88.[2016·安徽]如图F10-8,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为(  )A.B.2C.D.二、填空题9.[2016·东营]如图F10-9,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点D在BC上,以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE的最小值是________.图F10-9,10.[2017·德阳]如图F10-10,已知⊙C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为⊙C上一动点,经过O的直线l上有两点A、B且OA=OB,∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值为________.图F10-10三、解答题11.[2017·德阳]如图F10-11,函数y=的图象与双曲线y=(k≠0,x>0)相交于点A(3,m)和点B.(1)求双曲线的解析式及点B的坐标;(2)若点P在y轴上,连结PA、PB,求当PA+PB的值最小时点P的坐标.图F10-11,12.把△EFP按如图F10-12所示的方式放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上.已知EP=FP=4,EF=4,∠BAD=60°,且AB>4.(1)求∠EPF的大小;(2)若AP=6,求AE+AF的值;(3)若△EFP的三个顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.图F10-12参考答案,1.B [解析]如图,作点D关于直线AB的对称点H,连结CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D(,0),A(3,0),∴H(,0),可求得直线CH的解析式为y=-x+4,当x=3时,y=,∴点E的坐标为(3,).故选B.2.D3.B [解析]连结OQ,设线段OP与⊙O相交于点N,连结MN,则MN是△POQ的中位线,∴MN=OQ=1.当点Q与点N重合时,OM=3;当点Q是射线PO与⊙O的另一个交点时,OM=1.∴OM的最小值是1.故选B.4.B [解析]连结PC.由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称,BP=CP,因此连结CE,BP+CP的最小值为CE,故选B.5.A [解析]连结BD、DM,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DF⊥BC于点F,过点M作ME∥BD交AC于点E.∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°.又∵DC=BC,∴△BCD是等边三角形.∴BF=CF=BC=3.∴MF=CF-CM=3-2=1,DF=BF=3.∴DM==2.∵ME∥BD,∴△CEM∽△COB.∴===.又∵OB=OD,∴=.∵ME∥BD,∴△PEM∽△POD.,∴==,∴PM=DM=×2=.故选A.6.B [解析]∵点A(a,3)、B(b,1)都在双曲线y=上,∴a=1,b=3,∴A(1,3)、B(3,1),则AB===2.作点A关于y轴的对称点A1,作点B关于x轴的对称点B1,连结A1B1,交y轴于点D,交x轴于点C,则A1(-1,3)、B1(3,-1),A1B1===4,根据轴对称的性质,四边形ABCD周长的最小值是AB+A1B1=2+4=6,故选B.7.D [解析]设BE=x,则DE=3x,∵四边形ABCD为矩形,且AE⊥BD,∴△ABE∽△DAE,∴AE2=BE·DE,即AE2=3x2,∴AE=x.在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD2=AE2+DE2,即62=(x)2+(3x)2,解得x=.∴AE=3,DE=3.如图,设A点关于BD的对称点为A′,连结A′D,PA′,则A′A=2AE=6=AD,AD=A′D=6,∴△AA′D是等边三角形.∵PA=PA′,∴当A′,P,Q三点在一条直线上时,A′P+PQ最小.由垂线段最短可知当PQ⊥AD时,A′P+PQ最小,∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3,故选D.8.B [解析]首先证明点P在以AB为直径的⊙O上,连结OC与⊙O交于点P,此时PC最小,利用勾股定理求出OC即可解决问题.∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°.∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°.∴点P在以AB为直径的⊙O上,连结OC交⊙O于点P,此时PC的长最小,在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,,∴OC==5,∴PC=OC-OP=5-3=2.∴PC长的最小值为2.故选B.9.4 [解析]∵四边形ADCE是平行四边形,∴BC∥AE,∴当DE⊥BC时,DE最短.此时∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∴DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∵∠B=90°,∴四边形ABDE是矩形,∴DE=AB=4,∴DE的最小值为4.故答案为4.10.4 [解析]连结OP、OC、PC,则有OP≥OC-PC,当O、P、C三点共线的时候,OP=OC-PC.∵∠APB=90°,OA=OB,∴点P在以AB为直径的圆上,∴⊙O与⊙C相切的时候,OP取到最小值,此时OP=OC-CP=2,∴AB=2OP=4.11.解:(1)由点A(3,m)在直线y=2x上,得m=6,则A(3,6),代入y=得到k=18.联立解得或(舍),则点B(6,3).(2)如图所示,作A关于y轴的对称点A′(-3,6),连结PA′,则PA′=PA,∴PA+PB=PA′+PB≥A′B,当A′,P,B三点共线时,PA+PB有最小值,∵A′(-3,6),B(6,3),∴A′B=3,∴PA+PB的最小值为3.设A′B:y=kx+b,将B(6,3),A′(-3,6),代入y=kx+b,得解得,得A′B:y=-x+5,当x=0时,y=5,即当PA+PB取得最小值的时候,P的坐标为(0,5).12.解:(1)如图①,作PQ⊥EF于点Q,∵EP=FP=4,EF=4,∴QF=QE=2.∴cos∠QFP==,∴∠QFP=30°.∴∠QEP=∠QFP=30°,∴∠EPF=120°.(2)如图②,将△PAF绕点P逆时针旋转120°,得△PA′E,作PM⊥AA′,垂足为M,在等腰三角形PAA′中,AM=APcos∠PAA′=6cos30°=3,∴AA′=2AM=2×3=6.即AE+AF=6.(3)最大值是8,最小值是4.

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发布时间:2021-08-25 19:40:33 页数:8
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文章作者:155****2065

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