专题4.8图形的位似 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库（教师版）

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题4.8图形的位似姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•汝南县一模）如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'．以下说法中错误的是（　　）A．△ABC∽△A'B'C'B．点C，O，C'三点在同一条直线上C．AO：AA'＝1：2D．AB∥A'B'【分析】根据位似的性质对各选项进行判断．【解析】∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，∴△ABC∽△A'B'C'，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，CC′经过点O．故选：C．2．（2019秋•揭西县期末）在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是原点O，若△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），则它的对应点A1的坐标是（　　）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣2，﹣6）C．（2，6）或（﹣2，﹣6）D．（﹣1，﹣3）【分析】直接利用△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，结合位似变换是以原点为位似中心，相似比为第19页/共19页 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．【解析】∵△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），∴它的对应点A1的坐标是：（2，6）或（﹣2，﹣6）．故选：C．3．（2020•安阳模拟）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是（　　）A．（4，2）B．（1，12）C．（1，12）或（﹣1，-12）D．（4，2）或（﹣4，﹣2）【分析】先根据图形求出点B的坐标，根据以原点O为位似中心的位似图形的性质计算．【解析】由图可知，点B的坐标为（2，1），∵以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，∴点B的对应点B1的坐标是（2×2，1×2）或（﹣2×2，﹣1×2），即（4，2）或（﹣4，﹣2），故选：D．4．（2020•河北模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣2，0），则点B'的坐标为（　　）A．（1，﹣5）B．（32，﹣5）C．（1，-92）D．（32，-92）第19页/共19页 【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，B′作B′F⊥x轴于点F，根据位似变换的性质得到ABAB'=AOAO'=23，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解析】过点B作BE⊥x轴于点E，B′作B′F⊥x轴于点F，则BE∥B′F，由题意得，OE＝EA＝2，BE＝3，∵点A、B的坐标分别为（4，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣2，0），∴OB∥O′B′，∴ABAB'=AOAO'=46=23，∵BE∥B′F，∴△AEB∽△AFB′，∴AEAF=BEB'F=ABAB'=23，即2AF=3B'F=23，解得，AF＝3，B′F=92，∴OF＝1，则点B'的坐标为（1，-92），故选：C．5．（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（　　）第19页/共19页 A．四边形NPMQB．四边形NPMRC．四边形NHMQD．四边形NHMR【分析】由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC=5，OM＝25，OD=2，OB=10，OA=13，OR=5，OQ＝22，OP＝210，OH＝35，ON＝213，由OMOC=2，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果．【解析】∵以点O为位似中心，∴点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC=22+12=5，OM=42+22=25，OD=2，OB=32+12=10，OA=32+22=13，OR=22+12=5，OQ＝22，OP=62+22=210，OH=62+32=35，ON=62+42=213，∵OMOC=255=2，∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故选：A．6．（2019秋•汝阳县期中）如图，已知线段AB的两个端点的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为12，把线段AB缩小，则经过位似变换后，A的对应点A′坐标是（　　）第19页/共19页 A．（12m，n）B．（12m，m）C．（12m，12m）D．（12n，n）【分析】根据位似变换的性质解答．【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为12，把线段AB缩小，点A的坐标为（m，m），∴点A′坐标是（12m，12m），故选：C．7．（2020•渝中区校级二模）如图，以点C（﹣1，0）为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C，若点B的横坐标是﹣2，点B的对应点B'的横坐标是2，则△ABC与△A'B'C的周长之比为（　　）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：1【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应线段长进而得出相似比，即可得出周长比．【解析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′F⊥x轴于点F，∵以点C（﹣1，0）为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C，点B的横坐标是﹣2，∴EC＝1，∵点B的对应点B'的横坐标是2，∴CF＝3，∴ECCF=BCCB'=13，∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：1：3．故选：B．8．（2020•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）第19页/共19页 A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．9．（2019秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（　　）A．（8，6）B．（9，6）C．(912，6)D．（10，6）【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．【解析】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴BCEF=OBEO=13，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，第19页/共19页 ∴13=BOBO+6，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．10．（2019春•荣成市期中）如图，△ABO放大后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，点A、B、A′、B′均在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　）A．（m，n）B．（m3，n3）C．（m3，3n）D．（3m，3n）【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比进而得出对应点坐标．【解析】如图所示：OB=12+32=10，OB′=92+32=310，∵△ABO放大后变为△A′B′O，∴△A′B′O与△ABO是位似图形，∴位似比为：OB'OB=31010=3，∵线段AB上有一点P（m，n），∴点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（3m，3n）．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•滨州一模）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣6，2），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是　（﹣3，1）或（3，﹣1）　．第19页/共19页 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律，把A点的横纵坐标分别都乘以12或-12得到C点坐标．【解析】∵A点坐标为（﹣6，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的12得到△CDO，∴C点坐标为（﹣3，1）或（3，﹣1）．故答案为（﹣3，1）或（3，﹣1）．12．（2020•长沙模拟）如图，已知△ABO顶点A（﹣2，4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的12，则与点A对应的点A'的坐标是　（﹣1，2）或（1，﹣2）　．【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把A点的横纵坐标分别乘以12或-12得到点A'的坐标．【解析】∵顶点A（﹣2，4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的12，∴与点A对应的点A'的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）．故答案为（﹣1，2）或（1，﹣2）．13．（2019秋•涟源市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），若点A′（5，6），则A的坐标为　（2.5，3）　．【分析】利用点B（3，1），B′（6，2）即可得出位似比进而得出A的坐标．【解析】∵点B（3，1），B′（6，2），点A′（5，6），∴A的坐标为：（2.5，3）．第19页/共19页 故答案为：（2.5，3）．14．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是　（14，0）或（4，-32）　．【分析】分两种情况讨论，一种是点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点；另一种是点A和G是对应顶点，C和E是对应顶点．【解析】（1）当点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点时，位似中心就是AE与BF的交点，如图所示：连接AE，交x轴于点N，点N即为两个正方形的位似中心，∵点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），∴AB＝3，EF＝1，BF＝1﹣（﹣2）＝3，∵AB∥EF，∴△ABN∽△EFN，∴ABEF=NBNF，∴31=BN3-BN，解得：BN=94，∴ON=94-2=14，∴两个正方形的位似中心的坐标是：（14，0）．（2）当点A和G是对应顶点，C和E是对应顶点时，位似中心就是AG与CE的交点，第19页/共19页 如图所示：连接AG，DF，BH，CE并延长交于点M，设AG所在直线解析式为：y＝kx+b，把A（﹣2，3），G（2，0）代入得：故3=-2k+b0=2k+b，解得：k=-34b=32，故y=-34x+32；设BH所在直线解析式为：y＝mx+n，把B（﹣2，0），H（2，﹣1）代入得：m=-14n=-12，故y=-14x-12，y=-34x+32y=-14x-12，解得：x=4y=-32，故M（4，-32），综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：（14，0）或（4，-32）．故答案为：（14，0）或（4，-32）．15．（2019秋•鄄城县期末）在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．若点A（2，3），则A′的坐标为　（4，6）　．第19页/共19页 【分析】根据点B和B′的坐标求出△ABC和△A′B′C′的相似比，根据位似变换的性质计算即可．【解析】△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B（3，1），B′（6，2），则△ABC和△A′B′C′的相似比为1：2，∵点A（2，3），∴A′的坐标为（2×2，3×2），即（4，6），故答案为（4，6）．16．（2019秋•海珠区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段CD与线段AB是位似图形，若C（2，3），D（3，1），A（4，6），则B的坐标为　（6，2）　．【分析】直接利用C，A点的变化规律得出B点坐标即可．【解析】∵以原点为位似中心线段CD与线段AB是位似图形，C（2，3），A（4，6），∴D（3，1）的对应点B的坐标为：（6，2）．故答案为：（6，2）．17．（2020•温州三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形，坐标原点O为位似中心．A与A1，B与B1是对应顶点．已知A（﹣6，2），A1（3，﹣1），BC＝5，则B1C1的长为　52　．第19页/共19页 【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【解析】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，坐标原点O为位似中心，A（﹣6，2），A1（3，﹣1），∴△ABC与△A1B1C1的相似比为：12，∵BC＝5，∴B1C1的长为：5×12=52．故答案为：52．18．（2020•泰兴市模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B'的坐标是　（﹣2，3）或（2，﹣3）　．【分析】根据位似图形的概念得到矩形OA'B'C'∽矩形OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案．【解析】∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC，∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的14，∴矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比为12，∵点B的坐标为（﹣4，6），∴点B'的坐标为（﹣4×12，6×12）或（4×12，﹣6×12），即（﹣2，3）或（2，﹣3），第19页/共19页 故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．根据下列要求画图：（1）如图①，以AB的中点O为位似中心，把矩形ABCD按相似比1：2缩小；（2）如图②，以点B为位似中心，把△ABC按相似比2：1放大．【分析】（1）直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案．【解析】（1）如图①所示：矩形A′B′C′D′、矩形A′B′C″D″即为所求；（2）如图②所示：△BC′A′、△BA″C″即为所求．20．（2020•合肥二模）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是　（2a，﹣2b）　．第19页/共19页 【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）点P的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．故答案为（2a，﹣2b）．21．（2018•宁波模拟）我们把三个顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的三角形称为格点三角形，如图1中的△ABC就是一个格点三角形．第19页/共19页 （1）在图2中画出面积最小的格点△DBE，使△DBE∽△ABC．（2）在图3中画出面积最大的格点△FBG，使△FBG∽△ABC．【分析】（1）由题意AB：BC＝2：1，利用数形结合的思想画出BD＝2，BE＝1的直角三角形即可．．（2）BF的最大值＝210，画出BF＝210，BG=10的直角三角形即可．【解析】（1）如图2中，△DBE即为所求．（2）如图3中，△FBG即为所求．22．（2020•武汉模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段OA的端点在格点上，且OA＝1．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）作△OAB，使线段OB＝22，线段AB=13．（2）C为线段OB的中点，画△OCD∽△AOB．（3）选择适当的格点E，作∠BAE＝45°．【分析】（1）依据勾股定理即可得出点B的位置；（2）依据相似三角形的判定，即可得到格点D的位置；（3）依据等腰直角三角形的底角等于45°，即可得到格点E的位置．【解析】（1）如图所示，△OAB即为所求；（2）如图所示，△OCD∽△AOB；（3）如图所示，∠BAE＝45°．第19页/共19页 23．（2020•福清市模拟）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，在AC边上求作点E，使△CDE∽△CBA；并求出当AB＝10，BC＝8，CD＝3时，四边形ABDE的面积．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）【分析】由△CDE∽△CBA知∠CDE＝∠B，据此利用尺规作图作∠CDE＝∠B即可得；先求出S△ABC＝24，再由S△CDES△CBA=（CDCB）2求出S△CDE=278，最后根据可得答案．【解析】如图所示点E即为所求．∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝6，则S△ABC=12×6×8＝24，又∵△CDE∽△CBA，∴S△CDES△CBA=（CDCB）2，∵CD＝3，∴S△CDE24=964，解得S△CDE=278，则四边形ABDE的面积＝S△ABC﹣S△CDE＝24-278=1658．第19页/共19页 24．（2020•常州一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为63，求FH的长．【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；（2）先判断出∠A+∠ADB＝140°＝∠ADC，即可得出结论；（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2＝FE•FG，再判断出EQ=32FE，继而求出FG•FE＝24，即可得出结论．【解析】（1）如图1所示．AB=5，BC＝25，∠ABC＝90°，AC＝5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴ACAB=CDBC或ACBC=CDAB，∴55=CD25或525=CD5，∴CD＝2.5或CD＝10，第19页/共19页 同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，如图中，D1，D2，D3，D4即为所求．（2）如图2，BD是四边形ABCD的“相似对角线”，理由如下：∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝40°，∴∠A+∠ADB＝140°，∵∠ADC＝140°，∴∠BDC+∠ADB＝140°∴∠A＝∠BDC，∴△ABD∽△DBC，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFH与△HFG相似．又∠EFH＝∠HFG，∴△FEH∽△FHG，∴FEFH=FHFG，∴FH2＝FE•FG，过点E作EQ⊥FG垂足为Q，第19页/共19页 可得EQ=FE×sin60°=32FE，∵12FG×EQ=63，∴12FG×32FE=63，∴FG•FE＝24，∴FH2＝FG•FE＝24，∴FH=26．第19页/共19页