专题1.1菱形的性质与判定 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库（教师版）

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题1.1菱形的性质与判定姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•海安市期中）下列性质中，菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（　　）A．对角线互相平分B．对角线相等C．邻角相等D．邻边相等【分析】根据平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分；菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角进行解答即可．【解析】菱形具备但平行四边形不一定具有的是邻边相等，故选：D．2．（2020春•锡山区期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）A．AB＝CDB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AD＝BC【分析】由点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得EG＝FH=12AB，EH＝FG=12CD，又由当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，即可求得答案．【解析】∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，∴EG＝FH=12AB，EH＝FG=12CD，第17页/共17页 ∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．故选：A．3．（2020春•锡山区期中）菱形的对角线不具备的性质是（　　）A．对角线互相平分B．对角线一定相等C．对角线一定垂直D．对角线平分一组对角【分析】由菱形的性质即可得出结论．【解析】菱形的性质：四条边都相等，对角线互相垂直平分，是轴对称图形，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的对角线不一定相等；故选：B．4．（2020春•大悟县期中）如图，在菱形ABCD中，AC＝23，BD＝2，DH⊥AB于点H，则BH的长为（　　）A．1B．3C．23D．233【分析】利用菱形的对角线互相平分线且垂直即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式求出即可求出DH的长，再由勾股定理即可求出BH的长．【解析】∵在菱形ABCD中，AC＝23，BD＝2，∴AO＝CO=12AC=3，BO＝DO=12BD＝1，∴AB=3+1=2，∴DH×2=12AC×BD，∴DH=12×23×22=3，∴BH=4−3=1，故选：A．5．（2020春•锡山区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　）第17页/共17页 A．125B．245C．12D．24【分析】由四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，可求得此菱形的面积与AB的长，继而求得答案．【解析】设AC与BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，∴AC⊥BD，OA=12AC＝4，OB=12BD＝3，∴AB=AO2+BO2=5，∵S菱形ABCD=12AC•BD＝24，DH⊥AB，∴DH＝24÷DH=245．故选：B．6．（2020春•江阴市校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）A．34B．43C．32D．53【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，再利用AE＝t，CF＝2t，则BF＝BC﹣CF＝5﹣2t求出时间t的值．【解析】连接BD，∵四边形ABCD是菱形，第17页/共17页 ∴AB＝AD，∠ADB=12∠ADC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠DEF＝60°，又∵∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，∠ADE=∠BDFAD=BD∠A=∠DBF，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，∵AE＝t，CF＝2t，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，∴t＝5﹣2t∴t=53，故选：D．7．（2020春•西城区校级期中）在菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（　　）A．23B．4C．1D．2【分析】由菱形ABCD中，∠DAB：∠ABC＝1：2，可求得∠DAB的度数，由周长为8，可求得菱形的边长，然后由勾股定理求得菱形的两条对角线的长，即可求解．【解析】如图：第17页/共17页 ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∵菱形ABCD的周长为8，∴AB＝2，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAB：∠ABC＝1：2，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝2，∵在Rt△OAB中，∠OAB=12∠DAB＝30°，∴OB＝1，OA=3OB=3，∴AC＝2OA＝23，∵23＞2，∴较短的那条对角线长为2，故选：D．8．（2020春•西山区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝4，∠ABC＝60°，则BD的长为（　　）A．43B．4C．23D．3【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，BD＝2OB，OA＝OC，证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝4，则OA＝2，由勾股定理求出OB，即可得出答案．【解析】∵四边形ABCD是菱形，第17页/共17页 ∴AC⊥BD，BD＝2OB，OA＝OC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴OA＝2，∴OB=AB2−OA2=42−22=23，∴BD＝2OB＝43故选：A．9．（2020春•番禺区期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为（　　）A．16B．8C．42D．4【分析】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边解答即可．【解析】∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．故选：A．10．（2020春•滨江区期末）如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　）A．AB＝CDB．∠ADB＝∠DBCC．AO＝BOD．AC，BD互相垂直第17页/共17页 【分析】根据菱形的判定方法得出D正确，A、B、C不正确；即可得出结果．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故D选项正确；故选：D．二．填空题（共8小题）11．（2020春•贵港期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加一个适当的条件：　AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）　可使其成为菱形（只填一个即可）．【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．【解析】▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，当AC⊥BD或AB＝BC使其成为菱形．故答案为：AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）．12．（2020春•曹县期末）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，∠BAD＝40°，则∠OED的度数为　20°　．【分析】根据菱形的性质得出∠DAO=12∠BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE＝90°，∠DEB＝90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD＝OE，求出∠ODE＝∠OED即可．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO=12∠BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，第17页/共17页 ∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠AD∠E﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE=12BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．13．（2020春•南京期末）如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥AB，垂足为E，PE＝5，则点P到BC的距离是　5　．【分析】利用菱形的性质，得BD平分∠ABC，利用角平分线的性质，得结果即可．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，∵PE⊥AB，PE＝5，∴点P到BC的距离等于5，故答案为：5．14．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　27　．【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝33=EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．【解析】如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，第17页/共17页 得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝33=EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF=EH2+FH2=27+1=27．故答案为：27．15．（2020春•锦江区期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，连接OE．若菱形ABCD的面积等于12，对角线BD＝4，则OE的长为　3　．【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵BD＝4，S菱形ABCD═12AC×BD＝12，∴AC＝6，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，第17页/共17页 ∴OE=12AC＝3，故答案是：3．16．（2020春•淮安区期末）已知菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，则菱形ABCD的面积为　40　．【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半列式计算即可得解．【解析】∵菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，∴菱形的面积S=12AC•BD=12×10×8＝40，故答案为：40．17．（2020•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为　22　．【分析】设BE＝x，则CD＝2x，根据菱形的性质得AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明DE＝DA＝2x，所以1+x=32x，解得x＝2，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长．【解析】设BE＝x，则CD＝2x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝2x，∴BD＝3x，∴OB＝OD=32x，∵OE+BE＝BO，∴1+x=32x，解得x＝2，即AB＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，OA=42−32=7，在Rt△AOE中，AE=12+(7)2=22．第17页/共17页 故答案为22．18．（2020春•北仑区期末）如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为　48　．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．【解析】连接AC、BD，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝10，OB＝OD=12BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，∴OA=AB2−OB2=102−62=8，∴AC＝2OA＝16，∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×16×12＝96，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=12×96＝48；故答案为：48．三．解答题（共7小题）19．（2020•海陵区一模）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在AB、BC上，且ED∥BC，EF∥AC．（1）求证：BE＝DE；（2）当AB＝AC时，试说明四边形EFCD为菱形．第17页/共17页 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CBD＝∠EDB，则可证明∠EBD＝∠EDB，然后根据等腰三角形的判定方法得到结论；（2）先判断四边形EFCD为平行四边形，再证明∠EBC＝∠EFB得到BE＝FE，而BE＝DE，从而得到DE＝FE，然后根据菱形的判定方法可判断四边形EFCD为菱形．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE；（2）解：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD为平行四边形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵EF∥AC，∴∠EFB＝∠C，∴∠EBC＝∠EFB，∴BE＝FE，而BE＝DE，∴DE＝FE，而四边形EFCD为平行四边形，∴四边形EFCD为菱形．20．（2020春•万州区期末）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．第17页/共17页 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出AF＝BE，则四边形ABEF是平行四边形，由AE⊥BF，即可得出四边形ABEF是菱形；（2）由菱形的性质得出AB＝BE＝4，AB∥EF，证出△ABE是等边三角形，得出AE＝AB＝4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝DF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AE⊥BF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：∵菱形ABEF的周长为16，∴AB＝BE＝4，AB∥EF，∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣120°＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4．21．（2020•恩施州）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】由AE∥BF，BD平分∠ABC得到∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，再由BC＝AB，得到对边AD＝BC，进而得到四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等即可证明四边形ABCD为菱形．【解答】证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，第17页/共17页 ∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，又∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AE∥BF，即AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形．22．（2020•鼓楼区二模）如图，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC上一点，∠B＝∠DEF．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）直接写出当△ABC满足什么条件时，四边形BDEF是菱形．【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE∥BC，得出∠B＝∠ADE，则∠ADE＝∠DEF，则可得出结论；（2）根据菱形的判定可得出答案．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，又∵∠B＝∠DEF，∴∠ADE＝∠DEF，∴BD∥EF，第17页/共17页 ∵DE∥BC，BD∥EF，∴四边形BDEF是平行四边形；（2）答案不唯一；如AB＝BC．∵AB＝BC，DE=12BC，BD=12AB，∴BD＝BF，∵四边形BDEF是平行四边形，∴四边形BDEF是菱形．23．（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．【解答】证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，AB=AD∠B=∠DBE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．24．（2020春•中山市期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC．CP∥BD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝4，BD＝6，求OP的长．第17页/共17页 【分析】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形；（2）根据已知条件证明平行四边形DOCP是矩形，再根据AC＝4，BD＝6，即可求OP的长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BCA＝∠BAC，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∵DP∥AC，CP∥BD，∴四边形DOCP是平行四边形，∵∠DOC＝90°，∴平行四边形DOCP是矩形，∴OP＝CD，∵AC＝4，BD＝6，∴OC＝2，OD＝3，∴CD=OC2+OD2=13，∴OP＝CD=13．答：OP的长为13．25．（2020春•姜堰区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE：AC＝1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．第17页/共17页 （1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC=12AC．∵DE：AC＝1：2，∴DE＝OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD=AD2−AO2=22−12=3．在Rt△ACE中，AE=AC2+CE2=22+(3)2=7．第17页/共17页