专题4.7相似三角形的性质 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库（教师版）

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题4.7相似三角形的性质姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•余干县模拟）已知△ABC∽△DEF，若周长比为4：9，则AC：DF等于（　　）A．4：9B．16：81C．3：5D．2：3【分析】利用相似三角形的性质，可求出ACDF=49，此题得解．【解析】∵△ABC∽△DEF，∴ACDF=C△ABCC△DEF=49．故选：A．2．（2018秋•渝中区校级期末）如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB＝3.6，BC＝6，AC＝8，EF＝2，则DE的长度为（　　）A．1.2B．1.8C．3D．7.2【分析】根据△ABC与△DEF形状完全相同，可得△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的对应边成比例，即可得出DE的长．【解析】∵△ABC与△DEF形状完全相同，∴△ABC∽△DEF，∴DEAB=EFBC，第18页/共18页 即DE3.6=26，解得DE＝1.2，故选：A．3．（2020春•沙坪坝区校级期末）若△ABC∽△DEF，AB：DE＝9：4，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　）A．3：2B．9：4C．4：9D．81：16【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出答案．【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比为9：4，∴其面积之比为81：16．故选：D．4．（2020•铜仁市）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）A．3B．2C．4D．5【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．【解析】∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，∵△FHB∽△EAD，∴FHEA=2，即6EA=2，解得，EA＝3，故选：A．5．（2020•新昌县模拟）如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（　　）A．210B．25C．13D．213【分析】直接利用等腰三角形的性质得出AD＝DC，再利用勾股定理得出AB的长，进而利用三角形中位线的性质得出答案．【解析】∵AB＝BC，BD⊥EF，∴AD＝DC＝6m，第18页/共18页 ∴AB=AD2+BD2=62+42=213（m），∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴BEAB=BFBC，∵点E为AB的中点，∴F是BC的中点，∴FD是△ABC的中位线，∴DF=12AB=13（m）．故选：C．6．（2020春•相城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3；1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　）A．9：16B．3：4C．9：4D．3：2【分析】先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则DE：AB＝3：4，再证明△DEF∽△BAF，利用相似比得到EFAF=34，然后根据三角形面积公式求△DEF的面积与△DAF的面积之比．【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE：EC＝3：1，∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴EFAF=DEAB=34，∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．故选：B．7．（2020•河北模拟）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC第18页/共18页 ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（　　）A．22B．24C．26D．28【分析】利用△AFH∽△ADE得到S△AFHS△ADE=（FHDE）2=916，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．【解析】如图，由题意根据题意得△AFH∽△ADE，所有三角形均相似，可得FH：DE＝3：4，∴S△AFHS△ADE=（FHDE）2=916，设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，∴S△ADE＝16，∴四边形DBCE的面积＝44﹣16＝28．故选：D．8．（2019秋•青龙县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的点F处，若四边形EFDC（EF＞DF）与矩形ABCD相似，则DF的长为（　　）A．12B．5+12C．5-12D．1【分析】可设AD＝x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【解析】∵AB＝1，第18页/共18页 设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴EFDF=ADAB，即1x-1=x1，解得：x1=1+52，x2=1-52（不合题意舍去），经检验x1=1+52是原方程的解．∴FD=1+52-1=5-12．故选：C．9．（2019秋•诸暨市期末）如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（　　）A．E为AC的中点B．DE∥BC或∠BDE+∠C＝180°C．∠ADE＝∠CD．DE是中位线或AD•AC＝AE•AB【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】A、∵△ADE与△ABC相似，∴∠ADE＝∠B或∠ADE＝∠C，∴当∠ADE＝∠C时，DE与BC不平行，∴点E不一定为AC中点，故A错误；B、当△ADE∽△ABC时，∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，当△ADE∽△ACB时，∠ADE＝∠C，∴∠BDE+∠C＝180°，故B正确；C、当∠ADE＝∠C时，DE与BC不平行，∴DE不一定是中位线，第18页/共18页 当△ADE∽△ACB时，AD•AB＝AE•AC，故C错误；D、当△ADE∽△ABC时，∠ADE＝∠B，故D错误；故选：B．10．如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（　　）A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差【分析】根据相似多边形的性质即可解答．【解析】设矩形的边AH＝x，GH＝y，EG＝a，DC＝b，则BJ＝x，JC＝a，∵JI∥CD∴JIDC=BJBC即JI=xbx+a∵矩形ABCD∽矩形FAHG，∴FGGH=ADDC，即xy=x+ab，∴x+a=xby∴S阴影=12BJ•JI=12x•xbx+a=12xy．∵S矩形ABJH﹣S矩形HDEG＝xb﹣ay第18页/共18页 ＝x•y(x+a)x-ay＝xy．∴S阴影△BIJ=12S矩形ABJH﹣S矩形HDEG所以一定能求出△BIJ面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•闵行区一模）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为　40　cm．【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算．【解析】设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴x100-x=23，解得，x＝40，故答案为：40．12．（2019秋•大东区期末）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为　3：5　．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案．【解析】∵两个相似三角形的面积比是9：25，∴两个相似三角形的相似比是3：5，∴对应边上的中线的比为3：5，故答案为：3：5．13．（2020•开福区模拟）两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积是　16或1　．【分析】由两个相似三角形的相似比为1：2，可得它们的面积面积比为：1：4，然后分别从若小三角形的面积为4与若大三角形的面积为4去分析求解即可求得答案．【解析】∵两个相似三角形的相似比为1：2，∴它们的面积面积比为：1：4，∵其中一个三角形的面积为4，第18页/共18页 ∴若小三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为16；若大三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为1．∴另一个三角形的面积为16或1．故答案为：16或1．14．（2020•岳麓区校级二模）若△ABC∽△DEF，且相似比为3：1，△ABC的面积为54，则△DEF的面积为　6　．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解析】∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，∴S△ABCS△DEF=32，即54S△DEF=9，解得，△DEF的面积＝6，故答案为：6．15．（2019秋•南岸区校级期末）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们对应角的角平分线之比为　1：2　．【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．【解析】∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴它们对应角的角平分线之比为1：4=1：2，故答案为：1：2．16．（2019秋•阜阳期末）已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边ABDE=　2　．【分析】直接利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而得出答案．【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，∴其对应边ABDE=63=2．故答案为：2．17．（2019秋•富平县期末）如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，若△OMN∽△BOC，点M的对应点是O，则CM＝　258　．第18页/共18页 【分析】直接利用相似三角形的性质得出∠AOC＝∠CMO，进而得出△OCM∽△ACO，求出答案即可．【解析】∵△OMN∽△BOC，∴∠NMO＝∠BOC，∴∠AOC＝∠CMO，∵∠BOC＝∠OMN，又∵∠MCO＝∠OCA，∴△OCM∽△ACO，∴OC2＝CM•CA，∴25＝CM•8，∴CM=258．故答案为：258．18．（2019秋•雨花台区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为　103或54或83　．【分析】利用勾股定理计算出AB＝5，则△ABC的周长为12，设AD＝x，讨论：（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，利用△ADE∽△ABC得到x：5＝（6﹣x）：4；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝1+x，利用△BDF∽△BAC得到（5﹣x）：5＝（1+x）：3；（3）作DG⊥AC于G，如图3，则AG＝6﹣x，利用Rt△ADG∽Rt△ACB得到x：4＝（6﹣x）：5，然后分别解关于x的方程即可．【解析】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，第18页/共18页 ∴AB=32+42=5，∴△ABC的周长为3+4+5＝12，设AD＝x，（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝AE：AC，即x：5＝（6﹣x）：4，解得x=103；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝6﹣（5﹣x）＝1+x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴BD：BA＝BF：BC，即（5﹣x）：5＝（1+x）：3，解得x=54；（3）作DG⊥AB，交BC于G，如图3，则AG＝6﹣x，∵∠DAG＝∠CAB，∠ADG＝∠C＝90°，∴Rt△ADG∽Rt△ACB，∴AD：AC＝AG：AB，即x：4＝（6﹣x）：5，解得x=83，综上所述，AD的长为103或54或83．故答案为103或54或83．第18页/共18页 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•恩施市校级模拟）求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．【分析】①根据题意画出图形即可；②根据画出的图形，写出已知，求证，然后根据相似三角形对应角相等可得∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，再根据角平分线的定义求出∠BAD＝∠B1A1D1，然后利用两组角对应相等两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列式证明即可．【解析】①如图所示，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线；②已知：如图，△ABC∽△DEF，ABDE=BCEF=ACDF=k，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线．求证：AGDH=k；证明：∵AG，DH分别是△ABC与△DEF的角平分线，∴∠BAG=12∠BAC，∠EDH=12∠EDF，∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，∠B＝∠E，∴∠BAG＝∠EDH，∴△ABGC∽△DEH，∴AGDH=ABDE=k．第18页/共18页 20．（2020春•海淀区校级期末）两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为20cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比、面积比等于相似比的平方列方程，解方程得到答案．【解析】设较小多边形的周长为xcm，面积为ycm2，则较大多边形的周长为（20﹣x）cm，面积为（y+15）cm2，∵两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，∴两个相似多边形的相似比为2：3，∴两个相似多边形的周长比为2：3，面积比为4：9，∴x20-x=23，yy+15=49，解得，x＝8，y＝12，经检验，x＝8，y＝12都是原方程的解，答：较小多边形的周长为8cm，面积为12cm2．21．（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；第18页/共18页 （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．【解析】（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵BPBA=BQBC，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴3t10=8-2t8，∴t=2011，②当△BPQ∽△BCA时，∵BPBC=BQBA，∴8-2t10=3t8，∴t=3223；∴t=3223或2011时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，PM=95t，BM=125t，MC=8-125t，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴ACCM=CQMP，∴68-125t=2t95t解得：t=1312；22．（2018春•杜尔伯特县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与第18页/共18页 AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG=12BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B＝∠C＝30°，再利用垂直平分线的性质得BE＝AE，AF＝CF，则∠EAB＝∠B＝30°，∠FAC＝∠C＝30°，然后根据三角形的外角性质可求出∠AEF＝∠AFE＝60°，于是可判断△AEF为等边三角形；（2）由D是AB中点、G是AC中点知DG是△ABC中位线，据此可得DG∥BC，从而得出△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质可以得出答案．（3）利用AE＝BE，AF＝CF可得AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，从而可确定△AEF的周长．【解析】（1）△AEF为等边三角形．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BE＝AE，AF＝CF，∴∠EAB＝∠B＝30°，∠FAC＝∠C＝30°，∴∠AEF＝2∠B＝60°，∠AFE＝2∠C＝60°，∴△AEF为等边三角形；（2）∵D是AB中点、G是AC中点，∴DG是△ABC中位线，∴DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴DGBC=ADAB=12，第18页/共18页 ∴DG=12BC；（3）∵DG＝5，∴BC＝2DG＝10，∵AE＝BE，AF＝CF，∴AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，∴△AEF的周长为10cm．23．（2020•淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t＝3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=12CP×CQ求解；（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据CPCA=CQCB，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据CPCB=CQCA，可求出时间t．【解析】由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，（1）当t＝3秒时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，由勾股定理得PQ=CP2+CQ2=82+62=10cm；（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，第18页/共18页 因此Rt△CPQ的面积为S=12×(20-4t)×2t=20t-4t2cm2；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CPCA=CQCB，即20-4t20=2t15，解得t＝3秒；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CPCB=CQCA，即20-4t15=2t20，解得t=4011秒．因此t＝3秒或t=4011秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．24．（2019秋•雁塔区校级月考）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，当∠BCD＝　40°　时，CD为△ABC的完美分割线；（2）如图2，△ABC中，AC＝2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．【分析】（1）根据已知条件得到△ABC不是等腰三角形，求得∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，得到∠ACD＝∠A＝40°，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）当∠BCD＝40°时，∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；第18页/共18页 故答案为：40°；（2）①∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，∵AC＝AD＝2，BC=2，设BD＝x，则AB＝2+x，∴2x+2=x2，解得x＝﹣1±3，∵x＞0，∴BD＝x＝﹣1+3，∵△BCD∽△BAC，∴CDAC=BDBC，∵AC＝2，BC=2，BD＝﹣1+3∴CD＝2×3-12=6-2，如图3，②∵△ADC∽△ACB，∴ACAB=ADAC，∴2AD+2=AD2，∴AD=2，∴AB＝22，∵△ADC∽△ACB，∴ACAB=CDBC，∴222=CD2，∴CD＝1，如图4，③∵△CDB∽△ACB，∴CDAC=BCAB，∴CD2=2AD+DB=DB2，即CD2=2CD+DB=DB2，CD=2DB，第18页/共18页 CD2+DB•CD＝22，CD•BD+DB2＝2，∴CD2﹣DB2＝22-2，∴DB=22-2，∴CD＝22-1；如图5，④∵△ACD∽△ABC，∴ADAC=CDBC=ACAB，∴AD2=CD2=ACAB，∴CD=AD2，同理解得：CD=4-22，如图6，⑤△ADC∽△ACB，CD＝BC=2综上所述，CD的长为6-2或1或2或4-22或22-1．第18页/共18页