专题2.5一元二次方程的根与系数的关系 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库（教师版）

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题2.5一元二次方程的根与系数的关系姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•从化区一模）已知x1、x2为一元二次方程x2﹣bx﹣3＝0的两个实数根，且x1+x2＝2，则（　　）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝﹣3C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝3【分析】利用根与系数的关系可求出b值，将b值代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．【解析】∵x1、x2为一元二次方程x2﹣bx﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝b＝2，∴原方程为x2﹣2x﹣3＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3．故选：D．2．（2020•五华区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝4，则m的值为（　　）A．54B．12C．52D．3【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝3，结合x1+3x2＝4可求出x2的值，再将其代入原方程即可求出m的值．【解析】∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的解，∴x1+x2＝3．∵x1+3x2＝4，即3+2x2＝4，∴x2=12．将x2=12代入原方程，得：14-32+m＝0，第11页/共11页 ∴m=54．故选：A．3．（2020春•荔湾区期末）关于x的一元二次方程x2﹣5x+2p＝0的一个根为1，则另一根为（　　）A．﹣6B．2C．4D．1【分析】设方程的另外一个根为x2，根据x1+x2=-ba可得关于x2的方程，解之可得答案．【解析】设方程的另外一个根为x2，根据题意，得：1+x2＝5，解得x2＝4，∴方程的另外一根为4，故选：C．4．（2020春•拱墅区期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是-32，5，则方程12a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c的两根为（　　）A．-12，6B．﹣3，10C．﹣2，11D．﹣5，21【分析】由根与系数的关系求得ba和ca，再代入新方程求解便可．【解析】∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是-32，5，∴-32+5=-ba，-32×5=ca，∴ba=-72，ca=-152，解方程12a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c得，（x﹣1）2+2ba（x﹣1）+4ca=0，∴（x﹣1）2﹣7（x﹣1）﹣30＝0，（x﹣1+3）（x﹣1﹣10）＝0，∴x1＝﹣2，x2＝11，故选：C．5．（2020春•西湖区期末）关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（　　）A．当k=12时，方程的两根互为相反数第11页/共11页 B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1C．若方程有实数根，则k≠0且k≤14D．若方程有实数根，则k≤14【分析】因为已知没有明确此方程是否是一个一元二次方程，所以方程有两种情况，既可以是一元一次方程，也可以一元二次方程，所以分两种情况分别去求k的取值范围，然后结合选项判断选择什么．【解析】若k＝0，则此方程为﹣x+1＝0，所以方程有实数根为x＝1，则B错误；若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4k2＝﹣4k+1≥0，∴k≤14且k≠0；综上所述k的取值范围是k≤14．故A错误，C错误，D正确．故选：D．6．（2020•黄冈模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，设两根为x1，x2，则x1•x2的值是（　　）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】根据方程有两个相等的实数根求出m的值，再根据根与系数的关系得出x1•x2的值即可．【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1，∴x1•x2＝1．故选：A．7．（2020•湖北）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）A．﹣1B．﹣4C．﹣4或1D．﹣1或4【分析】根据方程的根的判别式，得出m的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，结合α2+β2＝12即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解析】∵关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，第11页/共11页 解得：m≤1．∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．故选：A．8．（2020•南京）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据方程有两个不相等的实数根可得△＝1+8+4p2＞0，由﹣2﹣p2＞0即可得出结论．【解析】∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），∴x2+x﹣2﹣p2＝0，∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，∴一个正根，一个负根，故选：C．9．（2020•平顶山二模）一元二次方程3x2﹣8x﹣a＝0有一个根是x＝3，则a的值及方程的另一个根是（　　）A．a＝3，x＝1B．a＝3，x=-13C．a＝﹣3，x=-53D．a＝﹣1，x＝﹣3【分析】首先利用方程的一个根是x＝3求得a的值，然后利用两根之和求得另一根即可．【解析】∵一元二次方程3x2﹣8x﹣a＝0有一个根是x＝3，∴3×32﹣8×3﹣a＝0，解得a＝3；设方程的另一个根为x2，则x2+3=83，解得：x2=-13．故选：B．第11页/共11页 10．（2020•文登区模拟）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是（　　）A．2016B．2020C．2025D．2034【分析】利用根与系数的关系，求出a2+3a＝5，a+b＝﹣3，再代入计算即可求解．【解析】∵a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，∴a2+3a＝5，a+b＝﹣3，则a2﹣3b+2020＝a2+3a﹣3（a+b）+2020＝5+9+2020＝2034．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•崇川区期末）若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝　5　．【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝2，将其代入α+αβ+β中即可求出结论．【解析】∵方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，∴α+β＝3，αβ＝2，∴α+αβ+β＝α+β+αβ＝3+2＝5．故答案为：5．12．（2020•玄武区二模）设x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝　4　．【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5，结合x1+x2﹣x1x2＝1，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解析】∵x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5．∵x1+x2﹣x1x2＝1，即﹣m﹣（﹣5）＝1，∴m＝4．故答案为：4．13．（2020•眉山）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则1x1+1x2的值为　34　．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=-32，x1x2＝﹣2，再把1x1+1x2通分得到x1+x2x1⋅x2，然后利用整体代入的方法计算．【解析】根据题意得x1+x2=-32，x1x2＝﹣2，所以1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=-32-2=34．第11页/共11页 故答案为34．14．（2020•青海）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　x2﹣6x+6＝0　．【分析】利用根与系数的关系得到2×3＝c，1+5＝﹣b，然后求出b、c即可．【解析】根据题意得2×3＝c，1+5＝﹣b，解得b＝﹣6，c＝6，所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．故答案为x2﹣6x+6＝0．15．（2020•黄冈）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则1x1x2=　﹣1　．【分析】根据x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时x1x2＝q，得出x1x2＝﹣1，代入计算可得答案．【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，∴x1x2＝﹣1，则1x1x2=-1，故答案为：﹣1．16．（2020•南通）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　2028　．【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．【解析】∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．17．（2020•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m第11页/共11页 的值为　1　．【分析】设方程的两根分别为t，t+2，利用根与系数的关系得到t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，利用代入消元法得到（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．【解析】设方程的两根分别为t，t+2，根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），所以m的值为1．故答案为1．18．（2020•内江）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为　-13　．【分析】把x＝﹣1代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系可求出方程的另一个根．【解析】把x＝﹣1代入原方程得，（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，由根与系数的关系得：x1•x2=13，又x1＝﹣1，∴x2=-13故答案为：-13．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•溧水区期末）已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△＝m2+12＞0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用两根之积为﹣2确定方程的另一根．【解答】（1）证明：x2+mx﹣3＝0，第11页/共11页 ∵a＝1，b＝m，c＝﹣3∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，∵m2≥0，∴m2+12＞0，∴△＞0，∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为x1，则2•x1=ca=-31=-3，∴x1=-32∴方程的另一个根为-32．20．（2020•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．【分析】（1）根据根的判别式得出△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．【解答】（1）证明：∵△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出x1+x2=-(2m+1)x1x2=m-2，由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，解得m＝8．21．（2020•玉林）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求aa+1-1b+1的值．第11页/共11页 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＝4+4k＞0，解不等式求出k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，代入整理后的代数式，计算即可．【解析】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，解得k＞﹣1．∴k的取值范围为k＞﹣1；（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，aa+1-1b+1=ab-1ab+a+b+1=-k-1-k-2+1=1．22．（2020•黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝m+8≥0，根据二次根式的意义即可得出m≥0，从而得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=-m，x1•x2＝﹣2，结合（x1﹣x2）2﹣17＝0即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根，∴△＝[m]2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，解得：m≥0．（2）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=-m，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，解得：m＝9．23．（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+12k2﹣2＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．【分析】（1）根据根的判别式得出△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0，据此可得答案；（2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2﹣2，由x1﹣x2＝3知（x1﹣x2）2＝9，即（第11页/共11页 x1+x2）2﹣4x1x2＝9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．【解析】（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣2）＝4k2+4k+1﹣2k2+8＝2k2+4k+9＝2（k+1）2+7＞0，∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，∴2（k+1）2+7＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2﹣2，∵x1﹣x2＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴（2k+1）2﹣4×（12k2﹣2）＝9，化简得k2+2k＝0，解得k＝0或k＝﹣2．24．（2020•广东）已知关于x，y的方程组ax+23y=-103，x+y=4与x-y=2，x+by=15的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．【分析】（1）关于x，y的方程组ax+23y=-103，x+y=4与x-y=2，x+by=15的解相同．实际就是方程组x+y=4x-y=2的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；（2）将a、b的值代入关于x的方程x2+ax+b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与26为边长，判断三角形的形状．【解析】（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组x+y=4x-y=2的解，解得，x=3y=1，代入原方程组得，a＝﹣43，b＝12；第11页/共11页 （2）当a＝﹣43，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣43x+12＝0，解得，x1＝x2＝23，又∵（23）2+（23）2＝（26）2，∴以23、23、26为边的三角形是等腰直角三角形．声明第11页/共11页