专题2.2用配方法求解一元二次方程 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库（教师版）

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题3姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•密云区期末）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（　　）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8【分析】根据配方法即可求出答案．【解析】∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x+9＝8，∴（x﹣3）2＝8，故选：A．2．（2020春•福绵区期末）一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（　　）A．（x+2）2＝6B．（x﹣2）2＝6C．（x+2）2＝﹣6D．（x+2）2＝﹣2【分析】先把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方式即可．【解析】∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，∴（x+2）2＝6．故选：A．3．（2020春•文登区期末）代数式x2﹣4x+3的最小值为（　　）A．﹣1B．0C．3D．5【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答．【解析】x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，则当x＝2时，代数式x2﹣4x+3取得最小值，最小值是﹣1，第11页/共11页 故选：A．4．（2020•临沂）一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　）A．x1＝﹣2+23，x2＝﹣2﹣23B．x1＝2+23，x2＝2﹣23C．x1＝2+22，x2＝2﹣22D．x1＝23，x2＝﹣23【分析】方程利用配方法求出解即可．【解析】一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，移项得：x2﹣4x＝8，配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，开方得：x﹣2＝±23，解得：x1＝2+23，x2＝2﹣23．故选：B．5．（2020•泰安）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，69【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解析】∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴a＝﹣4，b＝21，故选：A．6．（2020春•萧山区期末）下列用配方法解方程12x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（　　）A．①B．②C．③D．④【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．【解析】解方程12x2﹣x﹣2＝0，去分母得：x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣2x＝4，第11页/共11页 配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，开方得：x﹣1＝±5，解得：x＝1±5，则四个步骤中出现错误的是④．故选：D．7．（2020春•邗江区校级期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（　　）A．有最小值﹣2B．有最大值2C．有最大值﹣6D．恒小于零【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解析】∵﹣x2+4x﹣2＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，又∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+2≤2，∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．故选：B．8．（2020•眉山）已知a2+14b2＝2a﹣b﹣2，则3a-12b的值为（　　）A．4B．2C．﹣2D．﹣4【分析】先将原方程化成非负数和为0的形式，再根据非负数的性质求得a、b，进而代入代数式求得结果．【解析】∵a2+14b2＝2a﹣b﹣2，∴a2﹣2a+1+14b2+b+1＝0，∴(a-1)2+(12b+1)2=0，∴a﹣1＝0，12b+1＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴3a-12b＝3+1＝4．第11页/共11页 故选：A．9．（2020春•雅安期末）若多项式M＝a2+2b2﹣2a+4b+2023，则M的最小值是（　　）A．2019B．2020C．2021D．2023【分析】通过因式分解的配方法把M化成（a﹣1）2+2（b+1）2+2020，便可根据完全平方数的性质求得M的最小值．【解析】M＝a2+2b2﹣2a+4b+2023＝（a2﹣2a+1）+（2b2+4b+2）+2020＝（a﹣1）2+2（b+1）2+2020∵（a﹣1）2≥0，（b+1）2≥0，∴M≥2020，∴M的最小值为2020．故选：B．10．（2019秋•惠安县期末）已知实数a、b满足等式x＝a2+b2+20，y＝a（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　）A．x≤yB．x≥yC．x＜yD．x＞y【分析】计算x﹣y的值，利用配方和非负数的和不小于0，综合得结论．【解析】∵x﹣y＝a2+b2+20﹣a（2b﹣a）＝a2+b2+20﹣2ab+a2＝（a﹣b）2+a2+20．又∵（a﹣b）2≥0，a2≥0，∴（a﹣b）2+a2+20＞0．即x＞y．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•海淀区校级期末）若2x2﹣8＝0，则x＝　±2　．【分析】先将常数项移到等式的右边，然后化未知数的系数为1，通过直接开平方求得该方程的解即可．【解析】由原方程，得2x2＝8，∴x2＝4，第11页/共11页 直接开平方，得x＝±2．故答案为：±2．12．（2020春•滨江区期末）若等式x2﹣2x+a＝（x﹣1）2﹣3成立，则a＝　﹣2　．【分析】应用完全平方公式，将已知等式右边展开，然后合并同类项，与等式左边进行比较即可求解．【解析】∵（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，∴x2﹣2x+a＝x2﹣2x﹣2，∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．13．（2020春•西湖区期末）方程（x﹣1）2＝20202的根是　x1＝2021，x2＝﹣2019　．【分析】利用直接开平方法求解可得．【解析】∵（x﹣1）2＝20202，∴x﹣1＝2020或x﹣1＝﹣2020，解得x1＝2021，x2＝﹣2019，故答案为：x1＝2021，x2＝﹣2019．14．（2020春•成都期中）已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣y+5的最小值是　194　．【分析】仿照题中的方法将原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可．【解析】y2﹣y+5＝y2﹣y+14+194=（y-12）2+194≥194，则代数式y2﹣y+5的最小值是194．故答案为：194．15．（2020春•龙泉驿区期中）矩形的长和宽分别为x和y（x＞y），周长为40，且满足x2﹣2xy+y2﹣6x+6y﹣16＝0，则该矩形的面积为　84　．【分析】通过适当分组的方法，通过因式分解把x2﹣2xy+y2﹣6x+6y﹣16＝0化成x﹣y+2）（x﹣y﹣8）＝0，便可求得x﹣y的值，再由矩形的周长求得x+y，联立x、y的二元一次方程组求得x、y，最后根据矩形的面积公式求得结果．【解析】∵x2﹣2xy+y2﹣6x+6y﹣16＝0，∴（x﹣y）2﹣6（x﹣y）﹣16＝0，第11页/共11页 ∴（x﹣y+2）（x﹣y﹣8）＝0，∴x﹣y﹣2＝0，或x﹣y﹣8＝0，∴x﹣y＝﹣2（舍，x＞y），或x﹣y＝8，∵矩形的周长为40，∴x+y＝20，联立方程组x+y=20x-y=8，解得，x=14y=6，∴矩形的面积为：14×6＝84．故答案为：84．16．（2020•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是　m＜1　．【分析】根据直接开平方法定义即可求得m的取值范围．【解析】∵关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，∴m﹣1＜0，解得m＜1，所以m的取值范围是m＜1．故答案为：m＜1．17．（2020•丹阳市模拟）x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣　3　．【分析】利用配方法整理即可．【解析】x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣3＝（x﹣2）2﹣3，故答案为3，18．（2020•日照二模）对于实数p、q．我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此min{﹣π+2，-3）＝　-3　；若min{（x+1）2，x2}＝4，则x＝　2或﹣3　．【分析】根据新定义运算即可求出答案．【解析】∵﹣π+2＞-3，∴min{﹣π+2，-3}=-3，第11页/共11页 由于（x+1）2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，当2x+1＞0时，即x＞-12，∴min{（x+1）2，x2}＝x2，∴x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2（舍去），当2x+1＜0时，∴x＜-12，∴min{（x+1）2，x2}＝（x+1）2，∴（x+1）2＝4，∴x+1＝±2，∴x＝1（舍去）或x＝﹣3，当2x+1＝0时，此时x=-12，∴min{（x+1）2，x2}＝（x+1）2＝x2，此时x2≠4，不符合题意，综上所述，x＝2或x＝﹣3．故答案为：-3，2或﹣3．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•吴中区期末）已知M＝2a2﹣3a+12，N＝a2﹣a-12．（1）求M+N的值，并把结果因式分解；（2）求证：M≥N．【分析】（1）首先求出M+N的值，再提取公因式即可；（2）首先求出M﹣N的值，利用配方法得到M﹣N＝（a﹣1）2，然后根据非负数的性质即可得出结论．【解答】（1）解：∵M＝2a2﹣3a+12，N＝a2﹣a-12，∴M+N＝2a2﹣3a+12+a2﹣a-12第11页/共11页 ＝3a2﹣4a＝a（3a﹣4）；（2）证明：∵M＝2a2﹣3a+12，N＝a2﹣a-12，∴M﹣N＝2a2﹣3a+12-a2+a+12＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，∴M≥N．20．（2020春•崇川区期末）用适当的方法解下列方程：（1）3x2﹣27＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）方程利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可．【解析】（1）方程整理得：x2＝9，开方得：x＝±3，解得：x1＝3，x2＝﹣3；（2）方程整理得：x2﹣4x＝1，配方得：x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，开方得：x﹣2＝±5，解得：x1＝2+5，x2＝2-5．21．（2020•嘉兴）比较x2+1与2x的大小．（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：①当x＝1时，x2+1　＝　2x；②当x＝0时，x2+1　＞　2x；③当x＝﹣2时，x2+1　＞　2x．（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；（2）根据完全平方公式，可得答案．第11页/共11页 【解析】（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；②当x＝0时，x2+1＞2x；③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．（2）x2+1≥2x．证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x．故答案为：＝；＞；＞．22．（2020春•仪征市期末）阅读理解：已知m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0．∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝﹣4．方法应用：（1）已知a2+b2﹣10a+4b+29＝0，求a、b的值；（2）已知x+4y＝4．①用含y的式子表示x：　x＝4﹣4y　；②若xy﹣z2﹣6z＝10，求yx+z的值．【分析】（1）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可．（2）①把y当常数，解一元一次方程求解即可．②把x换成4﹣4y，配方，利用非负数的性质求解即可．【解析】（1）∵a2+b2﹣10a+4b+29＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2+4b+4）＝0，∴（a﹣5）2+（b+2）2＝0，∴（a﹣5）2＝0，（b+2）2＝0，∴a＝5，b＝﹣2；（2）①∵x+4y＝4，∴x＝4﹣4y；故答案为：x＝4﹣4y；②∵xy﹣z2﹣6z＝10，第11页/共11页 ∴y（4﹣4y）﹣z2﹣6z＝10，∴4y﹣4y2﹣z2﹣6z＝10，∴4y2﹣4y+z2+6z+10＝0，∴（2y﹣1）2+（z+3）2＝0，∴y=12，z＝﹣3，∴x＝2，∴yx+z的值=(12)2-3=2．23．（2019秋•涪陵区期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）2（x﹣1）2﹣8＝0．【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，系数化成1，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解析】（1）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，x﹣2=±5，x1＝2+5，x2＝2-5；（2）2（x﹣1）2﹣8＝0，2（x﹣1）2＝8，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x1＝3，x2＝﹣1．24．（2020春•成都期末）（1）已知：a（a+1）﹣（a2+b）＝3，a（a+b）+b（b﹣a）＝13，求代数式ab的值．（2）已知等腰△ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，求△ABC的周长．【分析】（1）首先将已知条件化简，进而得出a2﹣2ab+b2＝9①，a2+b2＝13②，把②代入①可得结论；第11页/共11页 （2）首先利用勾股定理得出AC的长，进而得出AC和AB的长，即可得出BB′的长．【解析】（1）a（a+1）﹣（a2+b）＝3，a2+a﹣a2﹣b＝3，a﹣b＝3，两边同时平方得：a2﹣2ab+b2＝9①，a（a+b）+b（b﹣a）＝13，a2+ab+b2﹣ab＝13，a2+b2＝13②，把②代入①得：13﹣2ab＝9，13﹣9＝2ab，∴ab＝2；（2）a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，a2﹣6a+9+b2﹣14b+49＝0，（a﹣3）2+（b﹣7）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，∴a＝3，b＝7，当3为腰时，三边为3，3，7，因为3+3＜7，不能构成三角形，此种情况不成立，当7为腰时，三边为7，7，3，能构成三角形，此时△ABC的周长＝7+7+3＝17．第11页/共11页