专题2.4用因式分解法求解一元二次方程 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库（教师版）

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题2.4用因式分解法求解一元二次方程姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）A．x1＝2，x2＝﹣3B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3D．x1＝2，x2＝3【分析】利用因式分解法解方程．【解析】（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝2，x2＝3．故选：D．2．（2020春•通州区期末）方程x（x+3）＝x的解是（　　）A．x1＝x2＝﹣3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0．x2＝﹣2【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解析】方程变形得：x（x+3）﹣x＝0，分解因式得：x（x+3﹣1）＝0，可得x＝0或x+2＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2．故选：D．3．（2020•黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）A．16B．24C．16或24D．48【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②第11页/共11页 当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．【解析】如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．故选：B．4．（2020•揭西县模拟）一个三角形的三边长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则这个三角形的周长不可能是（　　）A．6B．9C．12D．15【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝5，再根据三角形三边的关系确定三角形的三边，然后计算出对应的三角形的周长，从而可对各选项进行判断．【解析】（x﹣2）（x﹣5）＝0，x﹣2＝0或x﹣5＝0，所以x1＝2，x2＝5，当三角形三边分别为2、2、2时，三角形的周长为6；当三角形三边分别为5、5、2时，三角形的周长为12；当三角形三边分别为5、5、5时，三角形的周长为15．故选：B．5．（2020春•江阴市期中）方程x2+5x＝0的解为（　　）A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝0，x2＝5D．x1＝0，x2＝﹣5第11页/共11页 【分析】根据因式分解法即可求出答案．【解析】∵x2+5x＝0，∴x（x+5）＝0，∴x＝0或x＝﹣5，故选：D．6．（2020•宜兴市一模）若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（　　）A．7B．3或7C．15D．11或15【分析】根据一元二次方程的解法可求出第三边，然后根据三角形三边关系即可求出答案．【解析】∵x2﹣10x+21＝0，∴（x﹣3）（x﹣7）＝0，∴x＝3或x＝7，当x＝3时，∵2+3＜6，∴2、3、6不能组成三角形，当x＝7时，∵2+6＞7，∴2、6、7能够组成三角形，∴这个三角形的周长为2+6+7＝15，故选：C．7．（2020春•莆田月考）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（　　）A．x＝3B．x＝﹣3C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3【分析】根据已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．【解析】∵函数y＝x3，方程y'＝9x，∴3x2＝9x，3x2﹣9x＝0，3x（x﹣3）＝0，3x＝0，x﹣3＝0，第11页/共11页 x1＝0，x2＝3，故选：C．8．（2019秋•鄄城县期末）解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），选择最适当的方法是（　　）A．.直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法【分析】先移项得到（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，然后根据因式分解法解方程．【解析】（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0，（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0解得：x1=35，x2＝1．故选：D．9．（2019秋•汾阳市期末）定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（　　）A．x2﹣16＝0与x2＝25B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0【分析】分别求出选项中两个方程的解，再结合“相似方程”的定义即可确定结论．【解析】A、方程x2﹣16＝0的实数根是4，x2＝25的实数根是5，∵4：4＝5：5，∴一元二次方程x2﹣16＝0与x2＝25为相似方程；B、方程（x﹣6）2＝0的实数根是6，x2+4x+4＝0的实数根是﹣2，∵6：6＝﹣2：﹣2，∴一元二次方程（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0为相似方程；C、方程x2﹣7x＝0的实数根是0或7，x2+x﹣6＝0的实数根是﹣3或2，∵0：7≠﹣3：2，∴一元二次方程x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0不是相似方程；第11页/共11页 D、方程（x+2）（x+8）＝0的实数根是﹣2或﹣8，x2﹣5x+4＝0的实数根是1或4，∵﹣2：﹣8＝1：4，∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0为相似方程；故选：C．10．（2019秋•曲靖期末）菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（　　）A．10cmB．12cmC．16cmD．12cm或16cm【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断，最后求出周长即可．【解析】解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，即AB＝3或4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC，当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•镇江）一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为　x1＝0，x2＝2　．【分析】利用因式分解法求解可得．【解析】∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2．第11页/共11页 12．（2020•威海）一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为　x1＝2，x2=14　．【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【解析】4x（x﹣2）＝x﹣24x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0（x﹣2）（4x﹣1）＝0x﹣2＝0或4x﹣1＝0解得x1＝2，x2=14．故答案为：x1＝2，x2=14．13．（2020•甘孜州）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是　17　．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝6，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为3，然后计算三角形的周长．【解析】x2﹣8x+12＝0，（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x1＝2，x2＝6，若x＝2，即第三边为2，4+2＝6＜7，不能构成三角形，舍去；当x＝6时，这个三角形周长为4+7+6＝17，故答案为：17．14．（2020•宜城市模拟）一个菱形的边长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为　24　．【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．【解析】x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，x﹣2＝0或x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝5，∵菱形一条对角线长为6，∴菱形的边长为5，第11页/共11页 ∵菱形的另一条对角线长＝252-32=8，∴菱形的面积=12×6×8＝24．15．（2020•无锡二模）方程x2+x﹣2＝0的解是　x1＝﹣2，x2＝1　．【分析】利用因式分解法解方程．【解析】（x+2）（x﹣1）＝0，x+2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣2，x2＝1．故答案为x1＝﹣2，x2＝1．16．（2020•呼和浩特一模）若a≠0，则关于x的方程a（x+1）＝a的解是　x＝0　；方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是　x＝0或x＝1　．【分析】第一个方程两边都除以a可得；第二个方程利用因式分解法求解可得．【解析】∵a≠0，∴方程两边都除以a，得：x+1＝1，解得x＝0；∵（x﹣1）（x+1）＝x﹣1，∴（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）＝0，则（x﹣1）（x+1﹣1）＝0，即x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，解得x＝0或x＝1，故答案为：x＝0，x＝0或x＝1．17．（2020•惠安县校级模拟）已知等腰三角形的一边长6，另一边长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的底边长为　3或5或6　．【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念分类讨论求解可得．【解析】∵x2﹣8x+15＝0，∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，则x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得x＝3或x＝5，若3为腰的长，则三角形三边长度为3、3、6，不能构成三角形，舍去；若5为腰长，则三角形三边长度为5、5、6，此时符合题意，所以底边长为6；第11页/共11页 若6为腰长，则三角形三边长度为6、6、3或6、6、5，均符合题意，所以底边长为3或5；故答案为：3或5或6．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）方程x2﹣1＝3（x﹣1）的根为　x＝1或x＝2　．【分析】利用因式分解法求解可得．【解析】∵（x+1）（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x＝1或x＝2，故答案为：x＝1或x＝2．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•高淳区期末）解方程：x2﹣3x＝2（3﹣x）．【分析】利用因式分解法求解可得．【解析】左边提取﹣x得：﹣x（3﹣x）＝2（3﹣x），移项，得﹣x（3﹣x）﹣2（3﹣x）＝0，（﹣x﹣2）（3﹣x）＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2．20．（2020春•文登区期末）解下列方程：（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；（3）2x2+3x﹣1＝0（请用配方法解）．【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．（3）根据配方法即可求出答案．【解析】（1）∵（y﹣2）（y﹣3）＝12，∴y2﹣5y﹣6＝0，∴（y﹣6）（y+1）＝0，∴y＝6或y＝﹣1．（2）∵4（x+3）2＝25（x﹣1）2，∴4（x+3）2﹣25（x﹣1）2＝0，第11页/共11页 ∴[2（x+3）﹣5（x﹣1）][2（x+3）+5（x﹣1）]＝0，∴（﹣3x+11）（7x+1）＝0，∴x=113或x=-17．（3）∵2x2+3x﹣1＝0，∴x2+32x-12=0，∴x2+32x+916=1716，∴（x+34）2=1716，∴x=-3±174．21．（2020春•新昌县期末）解方程：（1）x2﹣4＝0；（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解析】（1）∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，则x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3），∴（x+3）2﹣（2x﹣1）（x+3）＝0，∴（x+3）（﹣x+4）＝0，则x+3＝0或﹣x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4．22．（2020•定海区模拟）小明同学在解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0．解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步﹣5x﹣2＝0…第二步﹣5x＝2…第三步第11页/共11页 x=-25⋯第四步小明的解法从第几步开始岀现错误？请你写出正确的求解过程．【分析】小明的解法是从第一步出现错误，方程两边不应该同时除以x，按照因式分解法步骤解方程即可．【解析】小明的解法从第一步开始出现错误；3x2﹣8x（x﹣2）＝0，x[3x﹣8（x﹣2）]＝0，x（﹣5x+16）＝0，解得：x1＝0，x2=165．23．（2019秋•太仓市期中）阅读理解以下内容，解决问题：例：解方程：x2+|x|﹣2＝0．解：（1）当x≥0时，原方程化为：x2+x﹣2＝0．解得x1＝1，x2＝﹣2，∵x≥0，∴x2＝﹣2舍去（2）当x＜0时，原方程化为：x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1∵x＜0，∴x1＝2舍去综上所述，原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1．依照上述解法，解方程：x2﹣2|x﹣2|﹣4＝0．【分析】分为两种情况：当x≥2和x＜2，得出两个一元二次方程，求出方程的解，再进行检验即可．【解析】x2﹣2|x﹣2|﹣4＝0，当x﹣2≥0，即x≥2时，原方程化为：x2﹣2（x﹣2）﹣4＝0．解得：x1＝0，x2＝2，∵x≥2，∴x2＝0舍去；（2）当x﹣2＜0，即x＜2时，第11页/共11页 原方程化为：x2﹣2（2﹣x）﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣4，∵x＜2，∴x1＝2舍去；综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝﹣4．24．（2019秋•南关区校级月考）已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣11x+30＝0的一个根，求三角形的面积．【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，从而得出等腰三角形三边的长度，再利用勾股定理求出高，继而利用面积公式计算可得．【解析】解方程x2﹣11x+30＝0得x1＝5，x2＝6，当腰长为5时，三角形三边长度为5、5、8，此时底边上的高为3，所以等腰三角形的面积为12×8×3＝12；当腰长为6时，三角形三边长度为6、6、8，此时底边上的高为25，所以等腰三角形的面积为12×8×25=85；综上，三角形的面积为12或85．第11页/共11页