专题2.7应用一元二次方程（2）面积问题 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库（教师版）

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题2.7应用一元二次方程（2）面积问题姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．2．（2020春•萧山区期末）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2．则根据题意可列出方程（　　）A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x+x2＝4704第12页/共12页 C．5000﹣150x﹣x2＝4704D．5000﹣150x+12x2＝4704【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】依题意，得：100×50﹣（100+50）x+x2＝4704，即5000﹣150x+x2＝4704．故选：B．3．（2020春•海淀区校级期末）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）A．10×6﹣4×6x＝32B．10×6﹣4x2＝32C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．故选：D．4．（2020•平顶山模拟）如图所示，把四个长和宽分别为x+2和x的矩形拼接成大正方形．若四个矩形和中间小正方形的面积和为4×35+22，则根据题意能列出的方程是（　　）A．x2+2x﹣35＝0B．x2+2x+35＝0C．x2+2x﹣4＝0D．x2+2x+4＝0【分析】根据正方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，变形后即可得出结论．【解析】依题意，得：（x+x+2）2＝4×35+22，第12页/共12页 即x2+2x﹣35＝0．故选：A．5．（2020春•香坊区期末）一个矩形的长比宽多2cm，面积是7cm2．若设矩形的宽为xcm，则可列方程（　　）A．x（x+2）＝7B．x（x﹣2）＝7C．12x（x+2）＝7D．12x（x﹣2）＝7【分析】根据矩形的面积公式，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】依题意，得：x（x+2）＝7．故选：A．6．（2020•白云区一模）用一条7米长的铝材（厚度忽略不计）制成一个面积为3平方米的矩形窗框，设窗框一边长为x米，下列方程正确的是（　　）A．x（7﹣x）＝3B．x（7﹣2x）＝3C．x（3.5+x）＝3D．x（3.5﹣x）＝3【分析】设窗框一边长为x米，则相邻一边的长为（3.5﹣x）米，根据矩形的面积公式结合窗框的面积为3平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设窗框一边长为x米，则相邻一边的长为7-x2=（3.5﹣x）米，依题意，得：x（3.5﹣x）＝3．故选：D．7．（2020春•温州期末）如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2，设道路宽为xm，则以下方程正确的是（　　）A．32x+4x2＝40B．32x+8x2＝40C．64x﹣4x2＝40D．64x﹣8x2＝40【分析】设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，依题意，得：x（20+4x+12+4x）＝40，即32x+8x2＝40．故选：B．第12页/共12页 8．（2020春•朝阳区期末）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　）A．x2＝（x﹣1）2+102B．（x+1）2＝x2+102C．x2＝（x﹣1）2+12D．（x+1）2＝x2+12【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．【解析】如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，故选：A．9．（2020•遵义）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600B．（30﹣x）（40﹣x）＝600C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600第12页/共12页 【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．故选：D．10．（2019秋•江津区期末）如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（　　）A．12x（55﹣x）＝375B．12x（55﹣2x）＝375C．x（55﹣2x）＝375D．x（55﹣x）＝375【分析】设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC=55-x2米，再由长方形的面积公式可得答案．【解析】设榣栏AB的长为x米，则AD＝BC=55-x2米，根据题意可得，12x（55﹣x）＝375，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•奎文区一模）如图，EF是一面足够长的墙，用总长为30米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块，若要围成的矩形面积为60平方米，设垂直于墙的边长为x，则可列方程为　x（30﹣4x）＝60　．【分析】根据题意和图形，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．【解析】由题意可得，第12页/共12页 x（30﹣4x）＝60，故答案为：x（30﹣4x）＝60．12．（2019秋•锦州期末）如图，某景区想在一个长40m，宽32m的矩形湖面上种植荷花，为了便于游客观赏，准备沿平行于湖面两边的纵、横方向各修建一座小桥（桥下不种植荷花）．已知修建的纵向小桥的宽度是横向小桥宽度的2倍，荷花的种植面积为1140m2，如果横向小桥的宽为xm，那么可列出关于x的方程为　（40﹣2x）（32﹣x）＝1140　．（方程不用整理）【分析】设横向小桥的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣2x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可列出方程．【解析】设横向小桥的宽为xm，依题意得：（40﹣2x）（32﹣x）＝1140，故答案为：（40﹣2x）（32﹣x）＝1140．13．（2019秋•叙州区期末）如图，某试验小组要在长50米，宽39米的矩形试验田中间开辟一横一纵两条等宽的小道，使剩余的面积是1800平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则所列出的方程是　（50﹣x）（39﹣x）＝1800　（只列方程，不求解）【分析】设小道的宽为x米，根据剩余的面积是1800平方米（矩形的面积公式），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设小道的宽为x米，依题意，得：（50﹣x）（39﹣x）＝1800．故答案为：（50﹣x）（39﹣x）＝1800．14．（2020•武汉模拟）要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为21cm，宽为10cm，求镜框的宽度．设镜框的宽度为第12页/共12页 xcm，依题意列方程，化成一般式为　8x2+124x﹣105＝0　．【分析】设镜框的宽度为xcm，根据镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设镜框的宽度为xcm，依题意，得：21×10＝4[（21+2x）（10+2x）﹣21×10]，整理，得：8x2+124x﹣105＝0．故答案为：8x2+124x﹣105＝0．15．（2020•新北区模拟）学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为　x（16﹣2x）＝30　．【分析】可设宽为xm，则长为（16﹣2x）m，根据等量关系：面积是30m2，列出方程即可．【解析】设宽为xm，则长为（16﹣2x）m．由题意，得x（16﹣2x）＝30，故答案为：x（16﹣2x）＝30．16．（2020•山西模拟）如图，一块矩形铁皮的长是80cm，宽为50cm，在这个铁皮的四角各剪去一个边长相同的小正方形，做成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积是2800cm2，四个角剪去的小正方形的边长为xcm，则根据题意，列出的方程是　（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800　．【分析】根据长方形的面积公式即可列出方程．【解析】设四个角剪去的小正方形的边长为xcm，则根据题意，列出的方程是（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，故答案为：（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800．17．（2020春•鹿城区校级期中）如图，在宽为4、长为6第12页/共12页 的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15，设铺设的石子路的宽为x，依题意可列方程　（4﹣x）（6﹣x）＝15　．【分析】首先设铺设的石子路的宽应为x米，由题意得等量关系：（长方形的宽﹣石子路的宽）×（长方形的长﹣石子路的宽）＝15，根据等量关系列出方程即可．【解析】设铺设的石子路的宽应为x米，由题意得：（4﹣x）（6﹣x）＝15，故答案为：（4﹣x）（6﹣x）＝15．18．（2020•巩义市一模）如图，某小区规划在长20米，宽10米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为162米2，设道路宽为x米，则根据题意，可列方程为　（20﹣2x）（10﹣x）＝162　．【分析】设小路宽x米，则其余部分可合成长（20﹣2x）米、宽（10﹣x）米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为162米2，即可得出关于x的一元二次方程．【解析】设小路宽x米，则其余部分可合成长（20﹣2x）米、宽（10﹣x）米的矩形，根据题意得：（20﹣2x）（10﹣x）＝162，故答案是：（20﹣2x）（10﹣x）＝162．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•槐荫区期末）如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？【分析】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，根据地面正中间铺设地毯的面积为18m2第12页/共12页 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解析】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得：2x2﹣13x+11＝0，解得：x1＝1，x2=112．又∵5﹣2x＞0，∴x＜52，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m．20．（2020春•荔湾区期末）某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？【分析】设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为12米，即可得出结论．【解析】设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，依题意，得：x（28﹣2x）＝80，整理，得：x1＝4，x2＝10．当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去；当x＝10时，28﹣2x＝8，符合题意．答：这个花圃的长为10米，宽为8米．21．根据下列问题中的条件，列出关于x的方程，并将其化为标准形式．（1）一个长方形的长比宽多2，面积是120，求这个长方形的长x；（2）一个直角三角形的两条直角边之和为7，它的面积为6，求这个三角形的其中一条直角边长x；（3）某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，求这个小组的同学数x；第12页/共12页 （4）一个小组的同学元旦见面时，毎两人都握手一次，所有人共握手10次，求这组同学数x；（5）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道，要使蔬菜种植区域的面积为288m2，求矩形温室的长x．【分析】（1）设长为x，则宽为x﹣2，利用长乘以宽等于面积即可列出方程；（2）设出直角三角形的一边长并表示出另一直角边长，利用三角形的面积公式列出方程即可；（3）设这个小组的同学数为x人．根据互赠贺年卡一张，则x人共赠贺卡x（x﹣1）张，列方程即可；（4）设有x人，根据每两人都握手一次手，有人共握手10次，列出方程即可；（5）设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程．【解析】（1）设长为x，则宽为x﹣2，根据题意得：x（x﹣2）＝120；（2）∵直角三角形的两条直角边长的和为7，设一条直角边长为x，∴另一条直角边长为7﹣x，∵该直角三角形的面积为6，∴x(7-x)2=6；（3）设这个小组的同学数为x人．根据题意，得x（x﹣1）＝90；（4）设有x人参加聚会，根据题意得：x（x﹣1）＝2×10；（5）设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）＝288．22．（2020春•溧水区期末）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C第12页/共12页 三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．【分析】设B地块的边长为xm，根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可．【解析】设B地块的边长为xm，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26m，答：矩形荒地的长为26m．23．（2020春•昌平区期末）如图所示，利用一面墙的部分长度作为矩形较长的一边，另三边用24米长的篱笆围成一个面积为54平方米的矩形场地，求矩形场地较短边的长．【分析】设矩形场地较短边的长为x米，则邻边长为（24﹣2x）米，利用矩形的面积公式列出方程并解答．【解析】设矩形场地较短边的长为x米，则邻边长为（24﹣2x）米，依题意得x（24﹣2x）＝54，整理得x2﹣12x+27＝0，解得x1＝3，x2＝9（舍去）．答：矩形场地较短边的长为3米．24．（2020春•怀宁县期末）学校有一块长14米，宽10米的矩形空地，准备将其规划，设计图案如图，阴影应为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区为路面，且四周出口一样宽广且宽度不小于2米，不大于5米，路面造价为每平方米200元，绿化区为每平方米150元，设绿化区的长边长为x米．（1）用x表示绿化区短边的长为　（x﹣2）　米，x的取值范围为　92≤x≤6　．（2）学校计划投资25000元用于此项工程建设，求绿化区的长边长．第12页/共12页 【分析】（1）由路面宽度不小于2米直接列出代数式，利用最长边14米以及宽度不小于2米，不大于5米，求得x的取值范围；（2）算出路面面积和绿化区面积，利用路面造价+绿化区造价＝总投资列方程解答即可．【解析】（1）路面宽为（14﹣2x）米，则绿化区短边的长为[10﹣（14﹣2x）]÷2＝（x﹣2）米，依题意得2≤14﹣2x≤5，解得92≤x≤6；（2）设绿化区的长边长为x米．由题意列方程得150×4x（x﹣2）+200[14×10﹣4x（x﹣2）]＝25000，整理得x2﹣2x﹣15＝0，解得x1＝5，x2＝﹣3（不合题意，舍去）．答：绿化区的长边长为5米．故答案为：（x﹣2），92≤x≤6．第12页/共12页