专题6.5反比例函数的应用 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库（教师版）

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题6.5反比例函数的应用姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•吴中区期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（　　）近视眼镜的度数y（度）2002504005001000镜片焦距x（米）0.500.400.250.200.10A．y=x100B．y=100xC．y=400xD．y=x400【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．【解析】由表格中数据可得：xy＝100，故y关于x的函数表达式为：y=100x．故选：B．2．（2020春•溧水区期末）如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（　　）A．不小于23hB．不大于23hC．不小于32hD．不大于32h【分析】首先确定函数解析式，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．第22页/共22页 【解析】设函数解析式为T=kt，∵经过点（1，3），∴k＝1×3＝3，∴函数解析式为T=3t，当T≤2℃时，t≥32h，故选：C．3．（2020•宜昌）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U＝IR（或者I=UR），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（　　）A．B．C．D．【分析】分不同的已知量分别讨论后即可确定符合题意的选项．【解析】当U一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为I=UR，I与U成反比例函数关系，但R不能小于0，所以图象A不可能，B可能；当R一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U＝IR，U和I成正比例函数关系，所以C、D均有可能，故选：A．4．（2020春•镇江期末）已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（　　）第22页/共22页 A．不小于45m3B．小于54m3C．不小于54m3D．小于45m3【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.6，60）故P•V＝96；故当P≤120，可判断V≥45．【解析】设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P=kV∵图象过点（1.6，60）∴k＝96即P=96V在第一象限内，P随V的增大而减小，∴当P≤120时，V≥96120=45．故选：A．5．（2020•孝感）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为（　　）A．I=24RB．I=36RC．I=48RD．I=64R【分析】直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．【解析】设I=KR，把（8，6）代入得：K＝8×6＝48，故这个反比例函数的解析式为：I=48R．故选：C．第22页/共22页 6．（2020春•姜堰区期末）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝1.5m3时，p＝16000Pa，当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应（　　）A．不小于0.5m3B．不大于0.5m3C．不小于0.6m3D．不大于0.6m3【分析】设函数解析式为P=kV，把V＝1.5m3时，p＝16000Pa代入函数解析式求出k值，代入P值即可得到有关V的不等式，从而确定正确的答案．【解析】设函数解析式为P=kV，∵当V＝1.5m3时，p＝16000Pa，∴k＝Vp＝24000，∴p=24000V，∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，∴24000V≤4000，解得：V≥0.6，即气球的体积应不小于0.6m3．故选：C．7．（2020•金平区模拟）如图，A、B是函数y=6x（x＞0）上两点，点P在第一象限，且在函数y=6x（x＞0）下方，作PB⊥x轴，PA⊥y轴，下列说法正确的是（　　）①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝6．A．1个B．2个C．3个D．4个第22页/共22页 【分析】①根据点P是动点，得到BP与AP不一定相等，判断出①错误；②设出点P的坐标，得出AP，BP，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确；③利用角平分线定理的逆定理判断出③正确；④求出矩形OMPN＝2，进而得出mn＝2，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论．【解析】①点P是动点，∴BP与AP不一定相等，∴△BOP与△AOP不一定全等，故①不正确；②设P（m，n），∴BP∥y轴，∴B（m，6m），∴BP＝|6m-n|，∴S△BOP=12×|6m-n|×|m|＝|3-12mn|，∵PA∥x轴，∴A（6n，n）∴AP＝|6n-m|，∴SAOP=12×|6n-m|×|n|＝|3-12mn|，∴S△AOP＝S△BOP，②正确；③如图1，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∵S△AOP＝S△BOP，OA＝OB，∴PE＝PF，∵PE＝PF，PE⊥OB，PF⊥OA，第22页/共22页 ∴OP平分∠AOB，③正确；④如图2，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，又∠MON＝90°，∴四边形OMPN是矩形，∵点A，B在双曲线y=6x上，∴S△AMO＝S△BNO＝3，∵S△BOP＝2，∴S△PMO＝S△PNO＝1，∴S矩形OMPN＝2，∴mn＝2，∴m=2n，∴BP＝|6m-n|＝|3n﹣n|＝2|n|，AP＝|6n-m|＝|4n|，∴S△ABP=12×2|n|×|4n|＝4，④错误；故选：B．8．（2019秋•三门县期末）如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积V（mL）与气体对气缸壁产生的压强P（kPa）的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（　　）第22页/共22页 A．气压P与体积V的关系式为P＝kV（k＞0）B．当气压P＝70时，体积V的取值范围为70＜V＜80C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P也变为原来的一半D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小【分析】分别利用反比例函数的性质分析得出答案．【解析】当V＝60时，P＝100，则PV＝6000，A．气压P与体积V表达式为P=kV，则k＞0，故不符合题意；B．当P＝70时，V=600070＞80，故不符合题意；C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P变为原来的2倍，不符合题意；D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小，符合题意；故选：D．9．（2019秋•滦南县期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（　　）A．4月份的利润为50万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D．9月份该厂利润达到200万元第22页/共22页 【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．【解析】A、设反比例函数的解析式为y=kx，把（1，200）代入得，k＝200，∴反比例函数的解析式为：y=200x，当x＝4时，y＝50，∴4月份的利润为50万元，故此选选项正确，不合题意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选选项正确，不合题意；C、当y＝100时，则100=200x，解得：x＝2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项不正确，符合题意．D、设一次函数解析式为：y＝kx+b，则4k+b=506k+b=110，解得：k=30b=-70，故一次函数解析式为：y＝30x﹣70，故y＝200时，200＝30x﹣70，解得：x＝9，则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项正确，不合题意．故选：C．10．（2020春•慈溪市期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线y=kx(k≠0)的一部分，则当x＝16第22页/共22页 时，大棚内的温度约为（　　）A．18℃B．15.5℃C．13.5℃D．12℃【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x＝16代入函数解析式求出y的值即可．【解析】∵点B（12，18）在双曲线y=kx上，∴18=k12，解得：k＝216．当x＝16时，y=21616=13.5，所以当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•海陵区校级期中）面积一定的长方形，长为8时宽为5，当长为10时，宽为　4　．【分析】直接根据题意得出矩形面积，进而得出长为12时的宽．【解析】∵矩形的面积为定值，长为8时，宽为5，∴矩形的面积为40，∴设长为y，宽为x，则y=40x，∴当长为10时，宽为：4010=4．故答案为：4．12．（2020春•海陵区期末）某厂计划建造一个容积为5×104m3的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S（m2）与其深度h（m）的函数关系式是　S=5×104h　．【分析】根据长方体的容积公式：体积＝底面积×深度可得Sh＝5×104，再整理即可．【解析】由题意得：Sh＝5×104，第22页/共22页 ∴S=5×104h，故答案为：S=5×104h．13．（2020春•昆山市期中）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．则其函数解析式为　P=96V　．【分析】设定反比例函数的表达式为P=kV，将点（1.6，60）代入上式，即可求解．【解析】设反比例函数的表达式为P=kV，将点（1.6，60）代入上式得：60=k1.6，解得k＝96，故函数的解析式为P=96V，故答案为P=96V．14．（2019秋•朔城区期末）山西拉面，又叫甩面、扯面、抻面，是西北城乡独具地方风味的面食名吃，为山西四大面食之一将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（cm）与粗细（横截面面积）x（cm2）之间的变化关系如图所示（双曲线的一支）如果将这个面团做成粗为0.16cm2的拉面，则做出来的面条的长度为　800cm　．【分析】因为面条的总长度y（cm）是面条粗细（横截面面积）x（cm2）反比例函数，且从图象上可看出过（0.05，3200），从而可确定函数式，再把x＝0.16代入求出答案．【解析】根据题意得：y=kx，过（0.04，3200）．第22页/共22页 k＝xy＝0.04×3200＝128，∴y=128x（x＞0），当x＝0.16时，y=1280.16=800（cm），故答案为：800cm．15．（2019秋•黄岩区期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为　F=600l　．【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式．【解析】由题意可得：1200×0.5＝Fl，故F=600l．故答案为：F=600l．16．（2019秋•北京期末）某物体对地面的压强P（Pa）与物体和地面的接触面积S（m2）成反比例函数关系（如图）．当该物体与地面的接触面积为0.25m2时，该物体对地面的压强是　4000　Pa．【分析】直接利用函数图象得出函数解析式，进而求出答案．【解析】设P=ks，把（0.5，2000）代入得：k＝1000，故P=1000s，当S＝0.25时，P=10000.25=4000（Pa）．故答案为：4000．第22页/共22页 17．（2020•望城区模拟）在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线，如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3…反比例函数y=kx（k＞1，x＞0）的图象上，A1B1∥A2B2…∥y轴，已知点A1，A2…的横坐标分别为1，2，…，令四边形A1B1B2A2、A2B2B3A3、…的面积分别为S1、S2、…．（1）用含k的代数式表示S1＝　34（k﹣1）　．（2）若S19＝39，则k＝　761　．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的特征和平行于y轴的直线的性质计算A1B1、A2B2、…，最后根据梯形面积公式可得S1的面积；（2）分别计算S2、S3、…Sn的值并找规律，根据已知S19＝39列方程可得k的值．【解析】（1）∵A1B1∥A2B2…∥y轴，∴A1和B1的横坐标相等，A2和B2的横坐标相等，…，An和Bn的横坐标相等，∵点A1，A2…的横坐标分别为1，2，…，∴点B1，B2…的横坐标分别为1，2，…，∵点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3…反比例函数y=kx（k＞1，x＞0）的图象上，∴A1B1＝k﹣1，A2B2=k2-12，∴S1=12×1×（k2-12+k﹣1）=12（32k-32）=34(k-1)，故答案为：34(k-1)；（2）由（1）同理得：A3B3=k3-13=13(k-1)，A4B4=14(k-1)，…，∴S2=12×1×[13(k-1)+12（k﹣1）]=12×56（k﹣1），S3=12×1×[14(k-1)+13(k-1)]=12×712(k-1)⋯，第22页/共22页 ∴Sn=12×n+n+1n(n+1)×(k-1)，∵S19＝39，∴12×19+2019×20×（k﹣1）＝39，解得：k＝761，故答案为：761．18．（2020•河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y=kx（x＜0）的图象为曲线L．（1）若L过点T1，则k＝　﹣16　；（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝　5　；（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有　7　个．【分析】（1）由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解；（2）将点T4的坐标代入解析式可求k的值，将点T5代入，可求解；（3）由曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解．【解析】（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），∵L过点T1，∴k＝﹣16×1＝﹣16，故答案为：﹣16；（2）∵L过点T4，第22页/共22页 ∴k＝﹣10×4＝﹣40，∴反比例函数解析式为：y=-40x，当x＝﹣8时，y＝5，∴T5在反比例函数图象上，∴m＝5，故答案为：5；（3）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16，若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，若曲线L过点T3（﹣12，3），T6（﹣6，6）时，k＝﹣12×3＝﹣36，若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40，∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，∴﹣36＜k＜﹣28，∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个，∴答案为：7．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•路南区一模）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系．已知该材料初始温度是32℃．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；（2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间最多有多长？（3）如果加工每个零件需要锻造12分钟，并且当材料温度低于400℃时，需要重新煅烧．通过计算说明加工第一个零件，一共需要多少分钟．第22页/共22页 【分析】（1）首先根据题意，材料煅烧时，温度y与时间x成一次函数关系；锻造操作时，温度y与时间x成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；（2）把y＝480代入y=4800x中，进一步求解可得答案；（3）根据题意列式计算即可．【解析】（1）材料锻造时，设y=kx（k≠0），由题意得600=k8，解得k＝4800，当y＝800时，4800x=800，解得x＝6，∴点B的坐标为（6，800）材料煅烧时，设y＝ax+32（a≠0），由题意得800＝6a+32，解得a＝128，∴材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝128x+32（0≤x≤6）．∴锻造操作时y与x的函数关系式为y=4800x（x＞6）；（2）把y＝400代入y=4800x中，得x＝12，12﹣6＝6（分），答：锻造的操作时间6分钟；（3）当y＝400时，即4800x=400，第22页/共22页 ∴x＝12，∴锻造每个零件需要煅烧两次共12分钟，∴加工第一个零件一共需要12+12＝24分钟．20．（2020春•梁平区期末）某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t（h）之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间少于4小时（0＜t＜4）时，眼睛疲劳系数y与睡眠时间t（h）成反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（4≤t≤6）时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0，根据图象，回答下列问题：（1）求当睡眠时间不少于4小时（4≤t≤6）时，眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数表达式；（2）如果某人睡2小时后，再连续睡m小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求m的值．【分析】（1）根据图象经过的两点利用待定系数法确定函数的解析式即可；（2）首先利用待定系数法确定反比例函数的解析式，根据“某人睡眠了2小时后，再连续睡眠了m小时，此时眼睛疲劳系数恰好减少了3”列方程求解．【解析】（1）根据题意，设当4≤t≤6时，眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式为：y＝kt+b（k≠0）．∵它经过点（4，2）和（6，0），∴4k+b=26k+b=0，解得：k=-1b=6，∴当睡眠时间不少于4小时，眼疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式是y＝﹣t+6；第22页/共22页 （2）当睡眠时间不超过4小时（0≤t≤4）时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数，设这个反比例函数为：y=k1t（k1≠0），∵它经过点（4，2），∴y=8t（0＜t＜4），当t＝2时，y=82=4，y＝4﹣3＝1代入y＝﹣t+6得t＝5，∴m＝5﹣2＝3．21．（2020春•泰兴市校级期中）疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价x（元）与日销售量y（只）之间有如下关系：日销售单价x（元）3456日销售量y（只）2000150012001000（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；（2）设经营此口罩的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元/只，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？【分析】（1）由表知xy＝60，据此可得y=6000x（x＞0），画出函数图象可得；（2）根据总利润＝每个口罩的利润×口罩的日销售数量可得函数解析式；（3）根据反比例函数的性质求解可得．【解析】（1）由表可知，xy＝6000，∴y=6000x（x＞0）；（2）根据题意，得：W＝（x﹣2）•y＝（x﹣2）•6000x=6000-12000x；（3）∵x≤10，∴6000-12000x≤4800，第22页/共22页 即当x＝10时，W取得最大值，最大值为4800元，答：当日销售单价x定为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是4800元．22．（2020春•宝应县期末）环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值1.0mg/l时，环保局要求该企业立即整改，必须在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/l）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前5天的变化规律，从第5天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业能否按期将排污整改达标？为什么？【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）当x＝15时，y=20x=2015＞1，即可求解．【解析】（1）由图象知，点A、B的坐标分别为（0，14）、（4，5），当0≤x≤5时，设AB的表达式为y＝kx+b，将点A、B的坐标代入上式得b=145k+b=4，解得k=-2b=14，故y＝﹣2x+14；当x＞5时，设函数的表达式为y=kx，把点B的坐标（4，5）代入上式并解得：k＝20，故y=20x；故函数的表达式为y=-2x+14(0≤x≤5)20x(x＞5)；（2）不能，理由：当x＝15时，y=20x=2015＞1，第22页/共22页 故不能按期完成排污整改达标．23．（2020春•相城区期中）阅读理解：已知：对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值．根据以上结论，解决以下问题：（1）拓展：若a＞0，当且仅当a＝　1　时，a+1a有最小值，最小值为　2　；（2）应用：①如图1，已知点P为双曲线y=4x（x＞0）上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值；②如图2，已知点Q是双曲线y=8x（x＞0）上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标．【分析】（1）由题意得：a+1a≥2a⋅1a=2，此时a=1a，即可求解；（2）四边形OAPB的周长＝2PB+2AP＝2（x+4x）≥2（2x⋅4x）＝8，此时x=4x，解得x＝±2（舍去负值），则点P（2，2），即可求解；（3）先求出点P的坐标，再分PQ是边、PQ是对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可求解．【解析】（1）由题意得：a+1a≥2a⋅1a=2，故a+1a有最小值为2；此时a=1a，解得a＝±1（舍去负值），故答案为1，2；（2）设点P（x，4x），则四边形OAPB的周长＝2PB+2AP＝2（x+4x）≥2（2x⋅4x）＝8，此时x=4x，解得x＝±2（舍去负值），则点P（2，2），第22页/共22页 故答案为：P（2，2），周长最小8；（3）设点P（x，4x），则由题意得：OP2＝x2+（4x）2≥2x⋅4x=8，当OP最小时，x=4x，解得x＝±2（舍去负值），故点P（2，2），当y＝2时，y=8x=2，解得x＝4，即点Q（4，2），则PQ＝4﹣2＝2，①当PQ是边时，∵PQ∥x轴，∴四边形OPQC为平行四边形时，点C在x轴上，即OC＝PQ＝2，则点C（2，0）或（﹣2，0）；②当PQ是对角线时，设点C的坐标为（x，y），由中点的性质得：12（2+4）=12（x+0）且12（2+2）=12（0+y），解得x=6y=4，故点C（6，4）．故答案为：（﹣2，0）、（2，0）或（6，4）．24．（2020春•鲤城区校级期中）已知点A，B在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，它们的横坐标分别为m，n，且m≠n，过点A，点B都向x轴，y轴作垂线段，其中两条垂线段的交点为C．（1）如图，当m＝2，n＝6时，直接写出点C的坐标；（2）若A（m，n），B（n，m）．连接OA，OB，AB，求△AOB的面积；（用含m的代数式表示）（3）设AD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E．若p＝1-mn2，且1≤n≤4，则当点C在直线DE上时，求p的取值范围．第22页/共22页 【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）证明△AOB的面积＝S梯形ABNM=12（n﹣m）（n+m）=12（n2﹣m2），进而求解；（3）通过点C在直线DE上得到m＝2n，进而求解．【解析】（1）∵m＝2时，y=62=3，∴A（2，3）．同理n＝6时，y＝1，故B（6，1）．∵过点A向y轴作垂线段，过点B向x轴作垂线段，两条垂线段交于点C，∴C（2，1）；（2）设点A、B向x轴作垂线的垂足分别为M、N，点A向y轴作垂线的垂足为H，如图1，∴S五边形HABNO＝S△AHO+S△NBO+S△OAB＝S矩形HAMO+S梯形ABNM，而S△AHO+S△NBO＝S矩形HAMO＝k，∴△AOB的面积＝S梯形ABNM=12（n﹣m）（n+m）=12（n2﹣m2），∵点A在反比例函数图象上，故mn＝6，则n=6m，∴△AOB的面积=12（n2﹣m2）=36-m42m2；（3）如图2．∵点A，B在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，且横坐标分别为m，n，∴A（m，6m），B（n，6n）（m＞0，n＞0），第22页/共22页 ∴D（m，0），E（0，6n），C（n，6m）．设直线DE的解析式为y＝kx+b，则km+b=0b=6n，解得k=-6nmb=6n，∴直线DE的解析式为y=-6nmx+6n．∵点C在直线DE上，∴6m=-6mn×n+6n，化简得m＝2n．p＝1-mn2=1-2n，当n＝1时，p＝﹣1，当n＝4时，p=12，∵1≤n≤4，故﹣1≤p≤12．第22页/共22页