2024-2025学年沪科版初中九年级数学上学期期中模拟考试卷（二）

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪科版九上第21~22.3章（二次函数与反比例函数+相似三角形）。5．难度系数：0.51。第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列各式中，是的二次函数的是　　A．B．C．D．2．若，则等于　　A．B．C．D．3．若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为　　A．B．C．D．4．已知二次函数图象上、两点关于原点对称，若经过点的反比例函数的解析式是，则该二次函数的对称轴是直线　　A．B．C．D．5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定△△的是　　 A．B．C．D．6．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是　　A．B．C．D．7．已知，，，，，是反比例函数的图象上的三点，若，，则下列关系式不正确的是　　A．B．C．D．8．如图，正六边形外作正方形，连接交于点，则等于　　 A．3B．C．2D．9．记实数，，，中的最大数为，，，，例如，1，，则当函数，时，的取值范围为　　A．B．或C．或D．10．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点；抛物线与轴交于点，与轴交于另一点；点在线段上，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接、、、；当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论中正确的是　　A．B．C．D．四边形的最大面积为13第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．反比例函数的图象经过点，则的值为．12．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为．（结果保留根号） 13．如图，将长方形沿直线翻折，使点落在点处，点的对应点恰好落在上，交于点．已知，，，则的长为．14．已知二次函数．（1）若该函数图象的对称轴为直线，则．（2）若该函数图象与轴正半轴有且只有一个交点，则的取值范围是．三、解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（8分）如果，且，求的值．16．（8分）根据下列条件，分别求二次函数的表达式（1）已知图象的顶点坐标为，且过点；（2）已知图象经过点，，并以直线为对称轴．17．（8分）如图，在中，点是上一点，且，，，求证：．18．（8分）如图，已知点，，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）连接，，若点在轴上，要使以，，为顶点的三角形与相似，求满足条件的点的坐标． 19．（10分）悬索桥，又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1所示是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量．图2是从中抽象出的函数模型，已知两桥塔，，且间距为，主索最低点为点，且点距离桥面为．（1）请依据模型求主索抛物线的函数解析式（无需写出自变量取值范围）；（2）距离点水平距离为和处的吊索需要更换，求需要更换的吊索总长度为多少米？20．（10分）如图所求，过的顶点作任一直线与边及中线分别交于点和，过点作交于点．（1）若求，求．（2）试说明．21．（12分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数图象与轴，轴分别相交于点，．（1）填空：；（2）一次函数的解析式是 （3）求△的面积是；（4）当时，直接写出自变量的取值范围．22．（12分）如图，在中，，，点是边上的一个动点，点在上，点在运动过程中始终保持．设的长为．（1）求证：；（2）用含的代数式表示的长；当时，求的值；（3）当为何值时，为等腰三角形．23．（14分）已知点、，、，都在二次函数的图象上，其中，．（1）求的值；（2）若直线经过点，且△的面积为3，求直线的解析式；（3）当时，记二次函数的最大值为，最小值为，若，求的取值． 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪科版九上第21~22.3章（二次函数与反比例函数+相似三角形）。5．难度系数：0.51。第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列各式中，是的二次函数的是　　A．B．C．D．【答案】B【解答】解：、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；、是二次函数，故此选项合题意；、不是二次函数，故此选项不符合题意；、不是二次函数，故此选项不合题意；故选：．2．若，则等于　　A．B．C．D．【答案】B【解答】解：，． 故选：．3．若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为　　A．B．C．D．【答案】B【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，两函数的交点关于原点对称，一个交点的坐标是，另一个交点的坐标是．故选：．4．已知二次函数图象上、两点关于原点对称，若经过点的反比例函数的解析式是，则该二次函数的对称轴是直线　　A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在反比例函数图象上，可设点坐标为，、两点关于原点对称，点坐标为，又、两点在二次函数图象上，代入二次函数解析式可得，解得或二次函数对称轴为．故选：．5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定△△的是　　 A．B．C．D．【答案】D【解答】解：，，、添加，可用两角法判定△△，故本选项不符合题意；、添加，可用两角法判定△△，故本选项不符合题意；、添加，可用两边及其夹角法判定△△，故本选项不符合题意；、添加，不能判定△△，故本选项符合题意；故选：．6．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是　　A．B．C．D． 【答案】D【解答】解：根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴右边可得、异号，故，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限，故选：．7．已知，，，，，是反比例函数的图象上的三点，若，，则下列关系式不正确的是　　A．B．C．D．【答案】A【解答】解：反比例函数中，，该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，，，点，在第三象限，点在第一象限，，，，，，选项、、正确，不符合题意，选项不正确，符合题意．故选：．8．如图，正六边形外作正方形，连接交于点，则等于　　A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：连接，如图所示： 由正六边形和正方形的性质得：、、三点共线，设正六边形的边长为，则，在中，，，．，，故选：．9．记实数，，，中的最大数为，，，，例如，1，，则当函数，时，的取值范围为　　A．B．或C．或D．【答案】B【解答】解：函数，，，的取值范围为函数的图象为轴上方部分对应自变量的取值范围，，函数的图象与轴的交点的横坐标为0，1，画出函数图象如下： 不等式的取值范围为：或．故选：．10．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点；抛物线与轴交于点，与轴交于另一点；点在线段上，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接、、、；当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论中正确的是　　A．B．C．D．四边形的最大面积为13【答案】C【解答】解：将点代入抛物线与直线解得：，，设：点横坐标为，则、，其它点坐标为、、，则，则，是等腰三角形．、当过对称轴的直线时，此时点、的坐标分别为，、，，由勾股定理得：，而，，故本选项错误；、轴、两点坐标相同），，而是等腰三角形不是等边三角形，，不成立， 故本选项错误；、如图，过点作、，是等腰三角形，是的平分线，易证：，而，故本选项正确；、，，，其最大值为，故的最大值为，故本选项错误．故选：．第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．反比例函数的图象经过点，则的值为．【答案】【解答】解：反比例函数的图象经过点，，．故答案为． 12．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为．（结果保留根号）【答案】【解答】解：点是靠近点的黄金分割点，，，点是靠近点的黄金分割点，，，支撑点，之间的距离为，故答案为：．13．如图，将长方形沿直线翻折，使点落在点处，点的对应点恰好落在上，交于点．已知，，，则的长为．【答案】【解答】解：设，，，，，由折叠得：，，，， △△，，，，，，，，，，，，，．故答案为：．14．已知二次函数．（1）若该函数图象的对称轴为直线，则．（2）若该函数图象与轴正半轴有且只有一个交点，则的取值范围是．【答案】（1）2；（2）【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，解得：，故答案为：2；（2）△，则抛物线和轴有两个交点，因为该函数图象与轴正半轴有且只有一个交点，所以方程=0的较大根为正数，较小根为非正数， 所以，解得：，故答案为：．三、解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（8分）如果，且，求的值．【解答】解：令，，，，，，，（4分），，，．（8分）16．（8分）根据下列条件，分别求二次函数的表达式（1）已知图象的顶点坐标为，且过点；（2）已知图象经过点，，并以直线为对称轴．【解答】解：（1）设抛物线解析式为，把代入得：，即，则二次函数解析式为；（4分）（2）根据题意设抛物线解析式为，把与代入得：，解得：，，则抛物线解析式为．（8分）17．（8分）如图，在中，点是上一点，且，，，求证：． 【解答】证明：，，，，，，（4分），又，，．（8分）18．（8分）如图，已知点，，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）连接，，若点在轴上，要使以，，为顶点的三角形与相似，求满足条件的点的坐标．【解答】解：（1）将点，，代入，得，解得，该抛物线的函数表达式为．（4分）（2）如图，连接，顶点的坐标为．设， 当时，，解得，，．，，，．①当时，，，解得．点的坐标为．②当时，，，解得，点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．（8分）19．（10分）悬索桥，又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1所示是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量．图2是从中抽象出的函数模型，已知两桥塔，，且间距为，主索最低点为点，且点距离桥面为．（1）请依据模型求主索抛物线的函数解析式（无需写出自变量取值范围）；（2）距离点水平距离为和处的吊索需要更换，求需要更换的吊索总长度为多少米？ 【解答】解：（1），且间距为40，且点距离桥面为2，点的坐标为．，点的坐标为．设该抛物线的函数解析式为．将代入，得．抛物线的函数解析式为．（5分）（2）距离点水平距离为和，且点的横坐标为20，可知点右侧两根吊索的横坐标为，和．将代入，得．将代入，得．由抛物线的对称性得，左右共有四根吊索，所以4根吊索的总长为．答：需要更换的吊索总长度为18.4米．（10分）20．（10分）如图所求，过的顶点作任一直线与边及中线分别交于点和，过点作交于点．（1）若求，求．（2）试说明．【解答】（1）解：，，，， ．（5分）（2）证明：，，，，即，，．（10分）21．（12分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数图象与轴，轴分别相交于点，．（1）填空：；（2）一次函数的解析式是（3）求△的面积是；（4）当时，直接写出自变量的取值范围．【解答】解：（1）把代入，得，故答案为：3；（3分）（2），，把代入上式，得，把，代入，得， 解得：，．故答案为：；（8分）（3）把代入，得．．故答案为：4；（10分）（4），，当或时，．（12分）22．（12分）如图，在中，，，点是边上的一个动点，点在上，点在运动过程中始终保持．设的长为．（1）求证：；（2）用含的代数式表示的长；当时，求的值；（3）当为何值时，为等腰三角形．【解答】解：（1），，．又，，；（4分）（2），，即，，， ，解得：或6．解这个方程，得，；（8分）（3）①当时，，，即．解得．②当时，．．，即．解得．③当时，点与点重合，点与点重合，此时．（或当时，，，情况不成立．综上所述，当或时，为等腰三角形．（12分）23．（14分）已知点、，、，都在二次函数的图象上，其中，．（1）求的值；（2）若直线经过点，且△的面积为3，求直线的解析式；（3）当时，记二次函数的最大值为，最小值为，若，求的取值．【解答】解：（1）在二次函数上，，或，， ；（4分）（2）如图，令，设直线的解析式为，将坐标代入得，，，，，且轴，，令，整理得，△，恒成立，，解得或，直线的解析式为或；（8分）（3），，，， ，，，①当时，即，在范围内随增大而减小，，，，，，；②当时，即，此时，，，，，③当时，即，此时，，，，，综上，．（14分）