沪科版九年级数学上册 第二十二章 相似形知识归纳与题型突破(20类题型清单)
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第二十二章相似形知识归纳与题型突破(题型清单)01思维导图1
02知识速记一、相似图形、相似多边形、相似比1、相似图形:我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.2、相似多边形:一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.3、相似比:相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.二、成比例线段1、两条线段的比:用同一个长度单位去度量两条线段�、�,得到它们的长度,我们把这两条线段长度�的比叫做这两条线段的比,记作或�′�.�2、成比例线段:在四条线段�、�、�、�中,如果其中两条线段�、�的比,等于另外两条线段�、�的��比,即�(或a:b=c:d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.这时,线段a,b,c,d叫做组成比例��的项,线段a,d叫做比例外项,线段b,c叫做比例内项.3、比例中项:如果作为比例内项的两条直线是相等的,即线段a、b、c之间有a:b=b:c,那么线段b叫做线段a、b的比例中项.三、比例的性质��������1、合比性质:如果�,那么�(�、���)����������������������2、等比性质:如果�������,且������������,那么����������������四、黄金分割把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金���分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.一条线段的黄金分割点有两个.�五、平行线分线段成比例1、基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.2、基本事实的推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的对应线段成比例.2
六、相似三角形1、相似三角形的判定:(1)平行于三角形一边的直线与另两边相交,所截三角形与原三角形相似;(2)两组对应角相等,两个三角形相似;(3)两边对应成比例,且夹角相等,两个三角形相似;(4)三边对应成比例,两个三角形相似;(5)两直角三角形,一组斜边和一组直角边对应成比例,两个三角形相似.2、相似三角形的性质:(1)对应角相等,对应边的比等于相似比;(2)对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;(3)对应周长的比等于相似比;(4)对应面积的比等于相似比的平方.03题型归纳题型一相似多边形例1.(23-24九年级上·上海黄浦·期末)下列命题中,真命题是()A.如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角,那么这两个三角形相似B.如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角,那么这两个三角形相似C.如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角,那么这两个梯形相似D.如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角,那么这两个梯形相似巩固训练1.(22-23九年级上·山西阳泉·期末)学校艺术节上,同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙.下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品,在同一幅作品中,内、外边框的图形不一定相似的是()3
A.B.C.D.2.(22-23九年级上·上海·阶段练习)下列命题中,真命题是()A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似3.(21-22九年级上·四川眉山·期末)下面两个图形中一定相似的是()A.两个长方形B.两个等腰三角形C.有一组对应角是���的两个直角三角形D.两个菱形题型二两条线段的比�例2.(23-24九年级上·安徽六安·期中)如果线段��)cm,���mm,那么的值为.�巩固训练1.(22-23九年级上·上海浦东新·期中)�、�两地的实际距离AB250米,画在地图上的距离为5厘米,则地图上的距离与实际距离的比是.2.(21-22九年级上·江苏泰州·阶段练习)在比例尺是�′�����的地图上,若某条道路长约为�cm,则它的实际长度约为km.ACAB3.(22-23九年级上·上海徐汇·期中)已知点C在线段��上,满足,如果�����cm,那么�ᦙ�BCAC4
cm.题型三判断成比例线段例3.(22-23八年级上·全国·单元测试)下面四组线段中不能成比例线段的是()A.3、6、2、4B.4、6、5、10C.1、2、3、6D.25、20、4、5巩固训练1.(22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习)下列四组长度的线段中,是成比例线段的是()A.)cm,�cm,�cm,�cmB.�cm,)cm,�cm,�cmC.�cm,�cm,�cm,��cmD.�cm,�cm,)cm,�cm2.(22-23九年级上·吉林长春·期末)下列四组线段中,是成比例线段的一组是()A.a1,b2,c3,d4B.a1,b2,c3,d6C.���ͷ���ͷ���ͷ���D.��)ͷ���ͷ���ͷ���3.(23-24九年级上·上海·阶段练习)下列各组中的四条线段成比例的是()A.)cm、�cm、�cm、�cmB.�dm、�cm、)cm、�cmC.��cm、��cm、)�cm、��cmD.�cm、�cm、��cm、40cm题型四利用成比例线段求线段长度例4.(23-24九年级上·四川成都·阶段练习)线段a、b、c、d成比例,其中���cm,���cm,���cm,则��cm.巩固训练5
1.(24-25九年级上·全国·课后作业)已知三条线段的长分别是�cm,2cm,�cm,若再添加一条线段,使这四条线段是比例线段,则这条线段的长为.2.(2024九年级下·上海·专题练习)已知线段��),����,如果线段c是a、b的比例中项,那么c的值是.3.(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)线段�、�、�、�是成比例线段,���cm,���cm,����cm,则�的长为cm.题型五利用比例的性质求值����x例5.(23-24九年级上·全国·课后作业)已知�),求,的值.��xy巩固训练1.(22-23八年级上·全国·单元测试)已知:a:b:c2:3:5.3abc(1)求代数式式的值;2a3bc(2)如果�������)�,求a,b,c的值.2a3b�2.(23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习)(1)如果1,求;ab�����������������(2)如果����,求k的值�����)3.(23-24九年级上·河北石家庄·期中)已知�,�,�是���ᦙ的三边长,且��.�������(1)求的值;��(2)若���ᦙ的周长为��,求三边�,�,�的长.题型六黄金分割6
例6.(23-24九年级上·河北保定·期末)如图,已知点C,D都是线段��的黄金分割点,如果ᦙᦙ�),那么��的长度是()A.����B.����C.��)�D.���巩固训练511.(2024九年级下·江苏·专题练习)宽与长之比为:1的矩形叫黄金矩形.如图:如果在一个黄金矩形2里面画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你的结论.2.(23-24七年级上·福建龙岩·开学考试)黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,这一比值能够引起人们的美感,被认为是建筑和艺术中最理想的比例.人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618:1,这时人的身长比例看上去更美观.乐乐的妈妈上半身长68厘米,下半身长104厘米,她想通过穿高跟鞋,使身长的比例更美观,于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋.依据黄金比,这双高跟鞋的高度合适吗?请说明理由.3.(2024·江苏常州·模拟预测)20世纪70年代初,我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,利用黄金分割法,所作��将矩形窗框��ᦙᦙ分为上下两部分,�����.已知��为2米,则线段BE的长为米.题型七由平行截线求相关线段的长或比值7
例7.(2024·山西朔州·三模)如图,在ABCD中,点E为��的中点,点F为�ᦙ上一点,��与�ᦙ相交于点H.若�ᦙ��,�ᦙ��,�ᦙ�),则ᦙᦙ的长为.巩固训练1.(22-23九年级上·广东深圳·阶段练习)如图,�ᦙ是���ᦙ的中线,E是�ᦙ上一点,BE的延长线交�ᦙ于F,����的面积与�ᦙ��的面积之比是�′�,且����,则�ᦙ�.2.(2024·四川成都·一模)如图,已知���ᦙ为等腰三角形,且����ᦙ,延长��至D,使得��:�ᦙ��:�,连接ᦙᦙ,E是�ᦙ边上的中点,连接��,并延长��交ᦙᦙ与点F,连接��,则��:�ᦙ�.�ᦙ�3.(23-24八年级下·山东烟台·期末)如图,点D,E,F分别在���ᦙ的边上,�,ᦙ���ᦙ,�����,�ᦙ�MN点M是ᦙ�的中点,连接CM并延长交��于点N,求的值.CM8
题型八利用相似三角形定义求边长或角度例8.(22-23九年级上·全国·单元测试)如图,���ᦙ��ᦙ�ᦙ,ᦙᦙ��,�ᦙ��,�ᦙ�),那么��的值等于()A.5B.6C.7D.4巩固训练1.(22-23九年级上·全国·单元测试)已知�ᦙ������ᦙ,且������,���)��,则��的度数是()A.���B.���C.���D.���2.(24-25九年级上·河南新乡·开学考试)两个相似三角形的面积比是)′�,其中一个三角形的周长为��,则另一个三角形的周长是()A.�)B.��或��C.�)或��D.�)或�)3.(22-23九年级上·云南红河·期末)如图,���ᦙ������ᦙ�,若����ᦙ′������ᦙ��)′�,���),则����的长度为()A.1B.2C.4D.89
题型九证两个三角形相似例9.(24-25九年级上·陕西西安·开学考试)如图,在���ᦙ中,��ᦙ�����,D为边��上一点,且ᦙᦙ�ᦙ�,过点D作ᦙ����.交�ᦙ于点E.求证:�ᦙᦙ���ᦙ�ᦙ.巩固训练1.(2022·湖南衡阳·模拟预测)如图,���ᦙ����ᦙ,连接��、ᦙᦙ,且点�、�、ᦙ在同一条直线上,求证:������ᦙ�ᦙ.2.(23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习)如图,在���ᦙ中,ᦙᦙ�ᦙ�,��ᦙ����,��ᦙ��ᦙᦙ,求证:���ᦙ���ᦙ�.3.(22-23七年级上·全国·单元测试)如图,在���ᦙ中,�为EC上一点,且满足���ᦙ��ᦙ���.10
(1)求证:�������ᦙᦙ;(2)当AE∥BD时,�ᦙ����,ᦙᦙ���,求�ᦙ的长.题型十利用相似三角形的判定解实际问题例10.(23-24九年级上·河南洛阳·期中)《周髀算经》中记载了“平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ᦙ��).小南利用“矩”可测量大树��的高度.如图,通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置,使斜边ᦙ�保持水平,并且边ᦙ�与点B在同一直线上,已知“矩”的两边长分别为�������,ᦙ������,小南的眼睛到地面的距离ᦙ�为����,测得������,求树高��.巩固训练1.(22-23九年级上·河南鹤壁·开学考试)如图1,平直的公路旁有一灯杆��,在灯光下,小丽从灯杆的底部�处沿直线前进)�到达ᦙ点,在ᦙ处测得自己的影长ᦙ����.小丽身高ᦙᦙ�����.(1)求灯杆��的长;(2)若小丽从D处继续沿直线前进)�到达G处(如图2),求此时小丽的影长�ᦙ的长.11
2.(23-24九年级上·安徽六安·期末)如图,���ᦙ是一块锐角三角形余料,边BC120mm,高AD80mm,要把它加工成矩形零件���m,使一边在�ᦙ上,其余两个顶点分别在边��、�ᦙ上,PQ交�ᦙ于H点.(1)当点�恰好为��中点时,PQ______mm.(2)若矩形�m��的周长为���mm,求出�m的长度.2.(2023·江苏盐城·一模)如图,苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB,于是,他们带着测量工具来到雕像前进行测量,测量方案如下:如图,首先,苏海在C处放置一平面镜,他从点C沿�ᦙ后退,当退行0.9米到E处时,恰好在镜子中看到雕像顶端A的像,此时测得苏海眼睛到地面的距离ᦙ�为1.2米;然后,苏海沿�ᦙ的延长线继续后退到点G,用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为)��,此时,测得������米,测倾器的高度������米.已知点B、C、E、G在同一水平直线上,且��、ᦙ�、��均垂直于��,求雕像的高度��.题型十一利用相似三角形的判定解动点问题例11.(23-24九年级上·浙江宁波·期末)如图,在矩形��ᦙᦙ中,BC5cm,�����cm,点P从C点12
出发沿对角线�ᦙ以1cm/s的速度向点A作匀速运动,点Q从A点出发沿��以�cm/�的速度向点B作匀速运动,若假设运动时间为t,则当�������ᦙ��时,t的值为()���)��A.2sB.sC.sD.s�����巩固训练1.(23-24九年级上·安徽宿州·期中)如图,在矩形��ᦙᦙ中,AB9,BC15,P,Q分别是�ᦙͷᦙᦙ上的点,ᦙ��),若����与��ᦙ�相似,则��的长为()�������A.3或B.3或12C.3、12或D.3、12或������2.(24-25九年级上·陕西西安·开学考试)如图,在���ᦙ中,������,����cm,�ᦙ���cm,点�从点�开始沿��向点�以�cm/�的速度运动,点�从点�开始沿�ᦙ向点ᦙ以)cm/�的速度运动,如果点�ͷ�分别从A,B两点同时出发,3秒后停止运动,设运动时间为��香���秒.(1)当�为何值时,����的面积为��cm�?(2)是否存在某一时间�,使得����和���ᦙ相似?若存在,请求出此时�的值,若不存在,请说明理由.3.(23-24九年级上·湖南衡阳·期末)如图,在���ᦙ中,����cm,�ᦙ���cm,������.点�从点�13
开始沿��边向点�以�cm/�的速度移动,点�从点�开始沿�ᦙ边向点ᦙ以�cm/�的速度移动,如果�、�分别从�、�同时出发,设移动时间为��.(1)当���时,求����的面积;(2)当�为多少时,����的面积是28cm?(3)当�为多少时,����与���ᦙ是相似三角形?题型十二利用相似三角形的判定证线段数量关系例12.(2024九年级上·全国·专题练习)正方形��ᦙᦙ中,以��为边作等边三角形���,连接ᦙ�交�ᦙ于F,交��于G,连接��.求证:(1)��������;���(2)���������巩固训练1.(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)在���ᦙ中,点D在�ᦙ边上,E是线段�ᦙ的中点,过A作����ᦙ,交线段ᦙ�的延长线于F,连接��,且����ᦙ.14
(1)如图1,求证:�ᦙ�ᦙᦙ;(2)如图2,设��、ᦙ�交于点G,H是线段��的中点,连接ᦙᦙ,若����ᦙ,在不添加任何辅助线和字母的情况下,请直接写出图中四个面积等于����面积3倍的三角形.2.(2024·安徽宣城·三模)如图1,在���ᦙ中,点D为�ᦙ的中点,点P为射线ᦙ�上一动点(不与点C,A重合),分别过点A,C向直线��作垂线,垂足分别为点E,F,连接ᦙ�,ᦙ�,�ᦙ������.(1)当�ᦙ���时,CFkAE,则k的值为______;(2)当点P在�ᦙ边上时,求证:DEAECF;(3)如图2,当���ᦙ为钝角,且点P在ᦙ�延长线上时,猜想ᦙ�,��,ᦙ�之间的数量关系,并证明.3.(2024·贵州黔东南·二模)如图,已知矩形��ᦙᦙ中,�是�ᦙ上的一点,过点�作EFEC交边��于点�,交ᦙ�的延长线于点�,且����ᦙ.(1)求证:ᦙᦙ���;(2)若ᦙ��)cm,矩形��ᦙᦙ的周长为32cm,求CG的长.题型十三利用相似三角形的判定求比值例13.(23-24九年级上·上海·阶段练习)如图,过���ᦙ顶点C作直线与��与及中线�ᦙ交于F、E,过15
D作ᦙ���ᦙ交��于M.(1)若�����′�四边形�ᦙ����′�,求AE:ED的值;(2)求证:�����������ᦙ.巩固训练1.(2024·贵州黔南·模拟预测)已知���ᦙ,��ᦙ�都是等腰直角三角形,���ᦙ��ᦙ������,����ᦙ,����ᦙ.【问题发现】(1)如图1,当点�,ᦙ,�在同一条直线上时,��与ᦙᦙ的数量关系是______,位置关系是______;【问题探究】(2)如图2,当点�,ᦙ,�在同一条直线上时,BE,ᦙᦙ交于点�,若����ᦙ��,����ᦙ���,ᦙ�求的值;��【拓展延伸】BG(3)如图3,连接ᦙ�,�ᦙ,�是线段ᦙ�的中点,连接��,求的值.AD16
2.(23-24九年级上·四川成都·阶段练习)在Rt���ᦙ中,���ᦙ����,�ᦙ����,点D是�ᦙ上任意一点,连接�ᦙ,过B作����ᦙ于点E.(1)如图1,过C作CFAD于F.若���时,求证:���ᦙ����;��(2)如图2,当D是�ᦙ中点,���时.求的值;�ᦙ���(3)如图3,若�,��ᦙ��ᦙᦙ,求n.�ᦙ�3.(2024·贵州遵义·二模)图�,在正方形��ᦙᦙ中,点�是边上一��动点,将正方形沿ᦙ�折叠,点�落在正方形内部的点�处,连接AF并延长,交�ᦙ于点�.(1)判断��与��的数量关系为;(2)【应用】如图�,延长ᦙ�交�ᦙ于点H.�证明:�ᦙ������ᦙ;�若ᦙ����,ᦙ����,����,求BE的长度;(3)【拓展】如图�,将正方形改成矩形,其中AD2CD,将矩形沿ᦙ�折叠,使点�落在点�处(矩形AE内部),连接AF并延长,交�ᦙ于点�,延长ᦙ�交直线�ᦙ于点H.若ᦙ����,ᦙ����,直接写出BE的值.17
题型十四利用相似三角形的判定证等积式例14.(2021·浙江杭州·模拟预测)如图,在���ᦙ中,����ᦙ,�ᦙ��ᦙ于D,作ᦙ���ᦙ于E,F是��中点,连��交�ᦙ于点G.(1)求证:�ᦙ�������;(2)若����,���),求ᦙ�的值.巩固训练1.(23-24九年级下·浙江温州·开学考试)如图,四边形��ᦙᦙ是平行四边形,点E是��延长线上一点,连结ᦙ�,�ᦙ,ᦙ�,ᦙ�分别与�ᦙ,�ᦙ交于点F,G.(1)若����ᦙᦙ,�ᦙ���,求AF的长.(2)求证:�ᦙ�������.2.(23-24九年级上·上海·期中)如图,在���ᦙ中,D是�ᦙ上的点,E是�ᦙ上一点,且ABAD,BADECA.ACCE18
(1)求证:�ᦙ���ᦙ�ᦙᦙ;(2)若E是���ᦙ的重心,求�ᦙ�:�ᦙ�的值.3.(23-24九年级上·上海·阶段练习)如图,在菱形��ᦙᦙ中,点�在边ᦙᦙ上,连接AF并延长,交对角线�ᦙ于点�、�ᦙ的延长线与点�.(1)求证:��是��、��的比例中项;��(2)若�ᦙ��,ᦙ��),求的值.��题型十五利用相似三角形的性质求线段长例15.(2024·安徽·一模)如图,在Rt���ᦙ中,ACB90,AB2,若点ᦙ为直线�ᦙ左侧一点,当���ᦙ��ᦙ�ᦙ时,则�ᦙ�ᦙᦙ的最大值为()���A.B.C.5D.���巩固训练1.(23-24九年级上·内蒙古包头·期中)如图,在Rt���ᦙ纸片中,��ᦙ�����ͷ�ᦙ�)ͷ�ᦙ��,ᦙͷ�分别19
在AB,AC上,连结ᦙ�,将��ᦙ�沿ᦙ�翻折,使点�的对应点�落在�ᦙ的延长线上,若�ᦙ平分����,则�ᦙ�()��������A.B.C.D.����2.(2023·福建南平·二模)在等边三角形��ᦙ中,点ᦙ,�分别是边��,�ᦙ的中点,若���ᦙ的周长为12,则��ᦙ�的周长为()A.3B.4C.6D.93.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图,在���ᦙ中,D为�ᦙ上一点,BADC.(1)求证:���ᦙ��ᦙ��;(2)若����,�ᦙ��,求ᦙᦙ的长.题型十六利用相似三角形的性质求面积例16.(2024·四川广元·一模)如图,在Rt���ᦙ中,��ᦙ�����,根据步骤作图:�分别以点A,C为�圆心,大于�ᦙ的长为半径作弧,两弧相交于点�,m;�作直线�m,交��于点ᦙ,交�ᦙ于点�.若����ᦙ��,�则���ᦙ��()20
���A.2B.C.3D.))巩固训练1.(2024·甘肃武威·一模)如图,在平行四边形��ᦙᦙ中,如果点M为ᦙᦙ的中点,若已知��ᦙ�m��,那么���ᦙm等于()A.6B.9C.12D.392.(23-24九年级上·福建漳州·期末)如图,矩形���ᦙ的对角线��与反比例函数y���相交于点D,x�ᦙ�且�,则矩形���ᦙ的面积为().�����A.50B.25C.15D.��3.(23-24九年级上·吉林长春·阶段练习)如图���ᦙ的两条中线�ᦙ、BE交于点�,����ᦙ,连结���并延长��交�ᦙ于点m,若����ᦙ��,则���ᦙm=()21
A.6B.8C.9D.12题型十七网格中的位似变换例17.(24-25七年级上·山东临沂·开学考试)把三角形A向右平移5格,得到三角形B;将三角形A按���扩大,得到三角形C;把三角形A绕O点顺时针旋转90度得到三角形D.巩固训练1.(2024·江苏无锡·模拟预测)如图,���ᦙ在方格纸中.(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,使�쳌�ͷ�㌳,ᦙ쳌�ͷ�㌳,并求出B点坐标;(2)以原点为位O似中心,相似比为2,在第一象限内将���ᦙ放大,画出放大后的图形�����ᦙ�;(3)计算�����ᦙ�的面积�.2.(23-24八年级下·江苏·期末)如下图所示,在�����的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,三角22
形均为格点三角形(即顶点均在格点上).(1)如图1,���ᦙ绕某一点按逆时针方向旋转一定角度得到�����ᦙ�,则点P,Q,M,N四个点中为旋转中心是点______;(2)如图2,以点O为位似中心,把���ᦙ按相似比�′�放大,得到�ᦙ��(其中点A,B,C的对应点分别为点D,E,F).�在图2中画出�ᦙ��;��ᦙ��的面积为______.3.(2023·安徽淮北·二模)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,已知格点线段��和格点O(格点为网格线的交点).(1)以点O为位似中心,利用网格将线段��放大2倍得到线段����,画出线段����;(2)以线段����为边画格点平行四边形����ᦙ�ᦙ�.题型十八位似中心是坐标原点的位似变化23
例18.(23-24九年级上·四川宜宾·期末)如图,平面直角坐标系中,���ᦙ的三个顶点坐标分别是��ͷ��、�)ͷ��、ᦙ)ͷ��.(1)画出���ᦙ关于x轴成轴对称的�����ᦙ�;(2)在第一象限内,画出�����ᦙ�以点O为位似中心并扩大到原来的3倍的�����ᦙ�;(3)写出点A2、��的坐标.巩固训练1.(23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,���ᦙ的顶点坐标分别为A(2,2),B(4,0),C(4,4).(1)在y轴右侧,以O为位似中心,画出�����ᦙ�,使它与���ᦙ的相似比为�′�;(2)写出���ᦙ面积=;�����ᦙ�面积=.24
2.(23-24九年级上·山东济南·期末)如图,在平面直角坐标系中,���ᦙ的顶点坐标分别为���ͷ),�)ͷ),ᦙ�ͷ�.(1)以原点O为位似中心,画�����ᦙ�,使它与���ᦙ的相似比为�′�,变换后点A、B的对应点分别为点��、��,点��在第一象限;(2)若��ͷ�为线段�ᦙ上的任一点,则变换后点P的对应点��的坐标为.3.(24-25九年级上·山东聊城·阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,���ᦙ的三个顶点坐标分别为���ͷ�、���ͷ�、ᦙ��ͷ).(1)以原点O为位似中心,在第二象限内画出将���ᦙ放大为原来的2倍后的�����ᦙ�.(2)画出���ᦙ绕C点逆时针旋转���后得到的�����ᦙ.题型十九位似中心不是坐标原点的位似变化例19.(23-24九年级上·湖南郴州·期中)已知:���ᦙ在平面直角坐标系内,三个顶点的坐标分别为��ͷ�,25
��ͷ),ᦙ�ͷ�.(正方形网格中,每个小正方形的边长是�个单位).(1)画出���ᦙ向下平移)个单位得到�����ᦙ�;(2)以点�为位似中心,在网格中画出����ᦙ�,使����ᦙ�与���ᦙ位似,且位似比为�′�,并写出C2点的坐标及����ᦙ�的面积.巩固训练1.(23-24九年级上·湖南郴州·期末)将���ᦙ作下列变化,请画出相应的图形.(1)向上平移)个单位;(2)以�点为位似中心,相似比为�.2.(23-24九年级上·湖南衡阳·期末)将图中的���ᦙ作下列变换,画出相应的图形:26
(1)关于y轴对称图形;(2)以B点为位似中心,将���ᦙ放大到2倍.3.(23-24八年级下·山东淄博·期末)如图,已知点O是坐标原点,小方格的边长为1,A,B,C都在格点上,边�ᦙ与y轴交于点M.(1)以点M为位似中心,在x轴的上方将���ᦙ放大到原图的2倍,(即新图与原图的相似比为2),画出对应的(顶点用实心黑点标记一下);(2)直接写出四边形�����ᦙ�的面积:__________.题型二十利用位似图形的性质求相似比、周长或面积27
例20.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)已知在平面直角坐标系中的位置如图所示:(1)在图中画出���ᦙ沿x轴翻折后的�����ᦙ�;(2)以点��ͷ�为位似中心,在第一象限画出与�����ᦙ�位似的三角形�����ᦙ�,使�����ᦙ�与�����ᦙ�的相似比为�′�;(3)点A2的坐标___________;���ᦙ与�����ᦙ�的周长比是___________,���ᦙ与�����ᦙ�的面积比是___________.巩固训练1.(23-24九年级上·山东济南·期末)如图,在平面直角坐标系中,���ᦙ的顶点坐标为���ͷ�,��)ͷ�,ᦙ��ͷ�.(1)以点B为位似中心,在点B的下方画出����ᦙ�,使����ᦙ�与���ᦙ位似,且位似比为�′�;(2)求四边形ᦙᦙ����的面积.2.(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,���ᦙ的顶点坐标分别是���ͷ�,28
���ͷ�,ᦙ��ͷ�.(1)以原点�为位似中心,在第四象限画一个�����ᦙ�,使�����ᦙ�与���ᦙ的相似比为�′�;点ᦙ�的坐标为_______;(2)若���ᦙ的周长是���cm,则�����ᦙ�的周长为______cm.3.(23-24九年级下·湖南郴州·开学考试)如图,平面直角坐标系中,���ᦙ的顶点都在正方形网格的格点上.(1)以O点为位似中心,位似比为2,将���ᦙ放大为�����ᦙ�,请在网格图中画出�����ᦙ�;(2)若���ᦙ,�����ᦙ�的面积为S、��,写出S,��的数量关系.29
第二十二章相似形知识归纳与题型突破(题型清单)01思维导图30
02知识速记一、相似图形、相似多边形、相似比1、相似图形:我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.2、相似多边形:一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.3、相似比:相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.二、成比例线段1、两条线段的比:用同一个长度单位去度量两条线段�、�,得到它们的长度,我们把这两条线段长度�的比叫做这两条线段的比,记作或�′�.�2、成比例线段:在四条线段�、�、�、�中,如果其中两条线段�、�的比,等于另外两条线段�、�的��比,即�(或a:b=c:d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.这时,线段a,b,c,d叫做组成比例��的项,线段a,d叫做比例外项,线段b,c叫做比例内项.3、比例中项:如果作为比例内项的两条直线是相等的,即线段a、b、c之间有a:b=b:c,那么线段b叫做线段a、b的比例中项.三、比例的性质��������1、合比性质:如果�,那么�(�、���)����������������������2、等比性质:如果�������,且������������,那么����������������四、黄金分割把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金���分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.一条线段的黄金分割点有两个.�五、平行线分线段成比例1、基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.2、基本事实的推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的对应线段成比例.31
六、相似三角形1、相似三角形的判定:(1)平行于三角形一边的直线与另两边相交,所截三角形与原三角形相似;(2)两组对应角相等,两个三角形相似;(3)两边对应成比例,且夹角相等,两个三角形相似;(4)三边对应成比例,两个三角形相似;(5)两直角三角形,一组斜边和一组直角边对应成比例,两个三角形相似.2、相似三角形的性质:(1)对应角相等,对应边的比等于相似比;(2)对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;(3)对应周长的比等于相似比;(4)对应面积的比等于相似比的平方.03题型归纳题型一相似多边形例1.(23-24九年级上·上海黄浦·期末)下列命题中,真命题是()A.如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角,那么这两个三角形相似B.如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角,那么这两个三角形相似C.如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角,那么这两个梯形相似D.如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角,那么这两个梯形相似【答案】A【分析】本题考查相似行的判定,掌握各角相等,各边成比例的图形是相似形是解题的关键.【详解】解:A.如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角,那么这两个三角形相似,是真命题;B.如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角,那么这两个三角形不一定相似,是因为32
没有说明相等的角是顶角还是底角,是假命题;C.如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角,缺少各边成比例,那么这两个梯形不一定相似,是假命题;D.如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角,缺少各边成比例,那么这两个梯形不一定相似,是假命题;故选A.巩固训练1.(22-23九年级上·山西阳泉·期末)学校艺术节上,同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙.下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品,在同一幅作品中,内、外边框的图形不一定相似的是()A.B.C.D.【答案】A【分析】根据图形相似的概念进行解答即可.【详解】解:两个矩形不一定相似,但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似,故选:A.【点睛】本题考查了两个图形的相似,掌握相似多边形的概念(即边数相同的两个多边形,如果对应角相等,对应边成比例)是解题的关键.2.(22-23九年级上·上海·阶段练习)下列命题中,真命题是()A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似【答案】D【分析】根据等腰三角形,平行四边形,等腰梯形,相似图形的判定逐项排查即可.【详解】解:30°可以是顶角也可以是底角,不能确定两个等腰三角形相似,故A是假命题,不符合题意;邻边的比都等于2的两个平行四边形,但是夹角没有说明相等,所以不一定相似,故B是假命题,不符合题意;33
底角为40°的两个等腰梯形,角度相等,但是对应边不一定对应成比例,故C是假命题,不符合题意;120°只能是顶角,所以三个角对应相等,根据三角形的相似判定定理,一定相似,故D是真命题,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查命题与定理,解题的关键是掌握多边形相似的判定:两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形相似.3.(21-22九年级上·四川眉山·期末)下面两个图形中一定相似的是()A.两个长方形B.两个等腰三角形C.有一组对应角是���的两个直角三角形D.两个菱形【答案】C【分析】根据相似图形定义,相似三角形的判定定理逐项判断即可求解.【详解】解:A、因为长方形的大小,形状不确定,所以两个长方形不一定相似,故本选项不符合题意;B、因为等腰三角形的大小,形状不确定,所以两个等腰三角形不一定相似,故本选项不符合题意;C、因为直角相等,所以有一组对应角是���的两个直角三角形中有两对相等的角,所以有一组对应角是���的两个直角三角形一定相似,故本选项符合题意;D、因为两个菱形的大小,形状不确定,所以两个菱形不一定相似,故本选项不符合题意;故选:C【点睛】本题主要考查了相似图形定义,相似三角形的判定定理,熟练掌握形状相同的图形是相似图形是解题的关键.题型二两条线段的比�例2.(23-24九年级上·安徽六安·期中)如果线段��)cm,���mm,那么的值为.�【答案】8【分析】单位统一后根据比的定义进行求解即可.【详解】解:∵线段��)cm�)�mm,���mm,�)�∴���,��答案为:8【点睛】此题考查了比,熟练掌握比的前项和后项是解题的关键.34
巩固训练1.(22-23九年级上·上海浦东新·期中)�、�两地的实际距离AB250米,画在地图上的距离为5厘米,则地图上的距离与实际距离的比是.【答案】�′����【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离,直接求出即可.【详解】解:250米������厘米,∴比例尺��′�������′����;故答案为:�′����.【点睛】本题主要考查了比例尺,掌握比例尺的计算方法,注意在求比的过程中,单位要统一.2.(21-22九年级上·江苏泰州·阶段练习)在比例尺是�′�����的地图上,若某条道路长约为�cm,则它的实际长度约为km.�【答案】���/�【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离,依题意列比例式直接求解即可.【详解】解:设它的实际长度约为�cm,依题意得:���,������解得:�������,经检验:�������是原方程的解且符合题意,∵�����cm����km,∴它的实际长度约为���km.故答案为:���.【点睛】本题考查比例线段问题.解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程,注意单位的转换.ACAB3.(22-23九年级上·上海徐汇·期中)已知点C在线段��上,满足,如果�����cm,那么�ᦙ�BCACcm.【答案】������/�������ACAB可得2【分析】设�ᦙ��,则�ᦙ�����ᦙ�����,根据ACABBC,代入求解即可.BCAC【详解】解:∵点C在线段��上,∴设�ᦙ��cm,则�ᦙ�����ᦙ�쳌����㌳cm,ACAB∵,BCAC35
2∴ACABBC,即쳌����㌳�����,解得:���������,���������(舍),∴�ᦙ�������cm,故答案为:������.2【点睛】本题考查了比例的性质,读懂题意,得出ACABBC是解本题的关键.题型三判断成比例线段例3.(22-23八年级上·全国·单元测试)下面四组线段中不能成比例线段的是()A.3、6、2、4B.4、6、5、10C.1、2、3、6D.25、20、4、5【答案】B【分析】本题考查了成立比例的线段,在四条线段中,如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.根据两内项之积等于两外项之积逐项分析即可.【详解】解:A、������),能成比例,不符合题意;B、)�������,不能成比例,符合题意;C、�������,能成比例,不符合题意;D、���)�����,能成比例,不符合题意;故选:B.巩固训练1.(22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习)下列四组长度的线段中,是成比例线段的是()A.)cm,�cm,�cm,�cmB.�cm,)cm,�cm,�cmC.�cm,�cm,�cm,��cmD.�cm,�cm,)cm,�cm【答案】C【分析】此题考查了比例线段,理解成比例线段的定义是解题的关键.如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,则四条线段叫成比例线段.根据比例性质对选项一一分析,排除错误答案即可.【详解】解:A、)������,故选项不符合题意;B、����)��,故选项不符合题意;36
C、59153,故选项符合题意;D、����)��,故选项不符合题意.故选:C.2.(22-23九年级上·吉林长春·期末)下列四组线段中,是成比例线段的一组是()A.a1,b2,c3,d4B.a1,b2,c3,d6C.���ͷ���ͷ���ͷ���D.��)ͷ���ͷ���ͷ���【答案】B【分析】此题考查了比例线段,理解成比例线段的概念,注意在线段两两相乘的时候,要让最小的和最大的相乘,另外两条相乘,看它们的积是否相等进行判断.根据比例线段的概念,让最小的和最大的相乘,另外两条相乘,看它们的积是否相等即可得出答案.【详解】解:A、1423,∴�����,∴四条线段不成比例,故本选项不符合题意;B、1626,∴�����,∴四条线段成比例,故本选项符合题意;C、∵�������,∴�����,∴四条线段不成比例,故本选项不符合题意;D、∵)�)����,∴�����,∴四条线段不成比例,故本选项不符合题意;故选:B.3.(23-24九年级上·上海·阶段练习)下列各组中的四条线段成比例的是()A.)cm、�cm、�cm、�cmB.�dm、�cm、)cm、�cmC.��cm、��cm、)�cm、��cmD.�cm、�cm、��cm、40cm【答案】Dac【分析】若线段a,b,c,d,满足,称线段a,b,c,d为成比例的线段,根据定义计算判断可.bd本题考查了成比例线段,熟练掌握定义,准确计算是解题的关键.37
)�【详解】解:∵���,��∴A不符合题意;��)�∵��,���∴B不符合题意;���)��∵���,�������∴C不符合题意;���∵�,�)�∴D符合题意;故选D.题型四利用成比例线段求线段长度例4.(23-24九年级上·四川成都·阶段练习)线段a、b、c、d成比例,其中���cm,���cm,���cm,则��cm.【答案】1或4或9【分析】本题主要考查了比例线段.解题的关键是熟练掌握比例线段的定义.由四条线段a、b、c、d成比例,根据比例线段的定义,即可求得a的值.比例线段的定义是在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.【详解】解:∵四条线段a、b、c、d成比例,ac����∴或�或�,bd����∴�����或�����或�����,∵���cm,���cm,���cm,∴������或������或������,解得:���cm或��)cm或���cm;故答案为:1或4或9.巩固训练1.(24-25九年级上·全国·课后作业)已知三条线段的长分别是�cm,2cm,�cm,若再添加一条线段,使这四条线段是比例线段,则这条线段的长为.38
�【答案】cm或2cm或��cm�【分析】本题考查了成比例线段,掌握成比例线段的定义是解题的关键.设添加的线段的长度为x,然后根据成比例线段分类讨论即可求解.【详解】解:设添加的线段的长度为�cm,����当���时,�时,解得��;������当�香���时,�,解得���,��经检验,���是该分式方程的解;��③当�香���时,�,解得x2(舍去);����④当���时,�时,解得����,��经检验,����是该分式方程的解.�综上,所添线段的长度可为cm或2cm或��cm.��故答案为:cm或2cm或��cm�2.(2024九年级下·上海·专题练习)已知线段��),����,如果线段c是a、b的比例中项,那么c的值是.【答案】8【分析】此题考查了比例中项,掌握比例中项的定义是解题的关键.根据比例中项的定义,列出比例式即可得出中项.【详解】解:∵线段c是a、b的比例中项,2cab64,解得:����,又∵线段是正数,∴���.故答案为:8.3.(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)线段�、�、�、�是成比例线段,���cm,���cm,����cm,则�的长为cm.【答案】9【分析】本题考查线段成比例的问题,解方程等知识点,根据线段成比例,可以列出方程�′���′�,代入数39
值求解即可,根据线段成比例的性质,列方程求解即可.【详解】∵线段a、b、c、d成比例线段,∴�′���′�,∵���cmͷ���cmͷ����cm,∴�:����′�ͷ解得���.故答案为:9.题型五利用比例的性质求值����x例5.(23-24九年级上·全国·课后作业)已知�),求,的值.��xy����)【答案】��;������【分析】本题主要考查比例的性质,熟练掌握比例的性质是解题的关键.根据比例的性质得到x4y,代入求值即可.【详解】.解:由已知得x4y,���)�����∴����,���x)�)�).xy)������巩固训练1.(22-23八年级上·全国·单元测试)已知:a:b:c2:3:5.3abc(1)求代数式式的值;2a3bc(2)如果�������)�,求a,b,c的值.【答案】(1)1(2)����ͷ����ͷ����【分析】本题考查了比例的性质,分式的求值,解一元一次方程,熟练掌握比例的性质是解答本题的关键.3abc(1)设����ͷ����ͷ����,代入化简即可;2a3bc(2)设����ͷ����ͷ����,代入�������)�求出k的值,进而可求出a,b,c的值.【详解】(1)∵a:b:c2:3:5,40
3abc∴设����ͷ����ͷ����,代入,得2a3bc��������������������;�������)���������(2)∵a:b:c2:3:5,∴设����ͷ����ͷ����,代入�������)�,得���������)�,解得���,∴����ͷ����ͷ����.2a3b�2.(23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习)(1)如果1,求;ab�����������������(2)如果����,求k的值����【答案】(1);(2)1或���【分析】(1)利用比例的性质求解;(2)利用比例的性质求解,注意分�������与�������两种情况,分别讨论.2a3b【详解】解:(1)∵1,ab∴����������,∴�����,���;������������������(2)����,���∴��������ͷ��������ͷ���������,���������������������������,即������������,�����当�������时,����;�����当�������时,������,���������������,��综上可知,k的值为1或��.��)3.(23-24九年级上·河北石家庄·期中)已知�,�,�是���ᦙ的三边长,且��.�������(1)求的值;��41
(2)若���ᦙ的周长为��,求三边�,�,�的长.�【答案】(1)�(2)a18,����,����【分析】本题考查了分式化简求值的运用,熟练掌握其方法,利用已知的比例关系,合理设出未知数,代入求值是解答本题的关键.����(1)由已知条件,确定了三边�,�,�的比例关系,因此设����,则����,��)�,代入,计算��结果;(2)由(1)设����,则����,��)�,代入��������,求出�的值,分别代入����,����,��)�,求出三边�,�,�的长.【详解】(1)解:由已知条件知:��)��,���∴设����,则����,��)����������������������)�����(2)由(1)设����,则����,��)�∴������������)�������,得k9∴a18,����,����.题型六黄金分割例6.(23-24九年级上·河北保定·期末)如图,已知点C,D都是线段��的黄金分割点,如果ᦙᦙ�),那么��的长度是()A.����B.����C.��)�D.���【答案】C���【分析】本题主要考查了黄金分割,不妨设点C靠近A,点D靠近B,则由黄金分割比例得到�ᦙ���,�����ᦙ���,再由ᦙᦙ�),�ᦙ��ᦙ�ᦙᦙ���列出方程求解即可.�42
【详解】解:∵点C,D都是线段��的黄金分割点,∴不妨设点C靠近A,点D靠近B,������∴�ᦙ���,�ᦙ���,��∵ᦙᦙ�),�ᦙ��ᦙ�ᦙᦙ���,������∴������)���,��解得�����)�,故选:C.巩固训练511.(2024九年级下·江苏·专题练习)宽与长之比为:1的矩形叫黄金矩形.如图:如果在一个黄金矩形2里面画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你的结论.【答案】是;见解析【分析】本题主要考查了黄金分解的定义,根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案.【详解】解:是,证明如下:∵四边形����是正方形,∴�����,∵四边形��ᦙᦙ是矩形,∴���ᦙᦙ,∴���ᦙᦙ,�����又∵�,�ᦙ�AF51∴,AD2即点F是�ᦙ的黄金分割点,���∴����ᦙ,�43
���∴ᦙ���ᦙ�����ᦙ,�DF51∴,AF2ᦙ����即�,ᦙᦙ�∴矩形ᦙᦙ��是黄金矩形.2.(23-24七年级上·福建龙岩·开学考试)黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,这一比值能够引起人们的美感,被认为是建筑和艺术中最理想的比例.人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618:1,这时人的身长比例看上去更美观.乐乐的妈妈上半身长68厘米,下半身长104厘米,她想通过穿高跟鞋,使身长的比例更美观,于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋.依据黄金比,这双高跟鞋的高度合适吗?请说明理由.【答案】这双高跟鞋合适,理由见解析.【分析】本题考查了黄金分割,以及比例的性质,根据黄金分割的定义,进行计算即可解答.【详解】解:这双高跟鞋合适,理由如下:��)������(cm),��′���������������′�,答:这双高跟鞋合适,穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比.3.(2024·江苏常州·模拟预测)20世纪70年代初,我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,利用黄金分割法,所作��将矩形窗框��ᦙᦙ分为上下两部分,�����.已知��为2米,则线段BE的长为米.【答案】������【分析】本题主要考查了黄金分割,根据黄金分割比例为进行求解即可.�【详解】解:∵E为边��的黄金分割点,�����,���∴���������米,�故答案为:���.题型七由平行截线求相关线段的长或比值44
例7.(2024·山西朔州·三模)如图,在ABCD中,点E为��的中点,点F为�ᦙ上一点,��与�ᦙ相交于点H.若�ᦙ��,�ᦙ��,�ᦙ�),则ᦙᦙ的长为.【答案】20【分析】延长��交ᦙ�的延长线于点G.证明���������AAS,得出�����,求出����,根据�ᦙ�ᦙ平行线分线段成比例定理,得出�,代入求出结果即可.ᦙᦙ�ᦙ【详解】如图,延长��交ᦙ�的延长线于点G.∵四边形��ᦙᦙ为平行四边形,∴�ᦙ��ᦙ.∴���������,�������.∵点E为边��的中点,AEBE.���������在����和����中,�������,�����∴���������AAS,∴�����.∵�ᦙ��,�ᦙ��,∴����ᦙ��ᦙ��.∴����,∴�ᦙ�����ᦙ�������.∵�ᦙ��ᦙ,�ᦙ�ᦙ)�∴�,即�,ᦙᦙ�ᦙᦙᦙ��解得ᦙᦙ���.【点睛】此题考查了平行四边形的性质,三角形全等的判定和性质,平行线分线段成比例定理,解题的关45
键是作出辅助线,证明���������.巩固训练1.(22-23九年级上·广东深圳·阶段练习)如图,�ᦙ是���ᦙ的中线,E是�ᦙ上一点,BE的延长线交�ᦙ于F,����的面积与�ᦙ��的面积之比是�′�,且����,则�ᦙ�.【答案】12【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形面积等知识,熟练掌握平行线分线段成比例定理是解���题的关键.作ᦙᦙ���交�ᦙ于H,证出�ᦙ�ᦙᦙ,根据三角形面积关系得�,根据平行线分线段成比ᦙ����������例定理得到��,则�,进而得到答案.�ᦙᦙ���ᦙ�【详解】解:作ᦙᦙ���交�ᦙ于H,∵�ᦙ是���ᦙ的中线,∴�ᦙ�ᦙᦙ,∵ᦙᦙ���,∴�ᦙ�ᦙᦙ,∵����的面积与�ᦙ��的面积之比是�′�,����,ᦙ��∵ᦙᦙ���,46
�������,�ᦙᦙ������,�ᦙ�FC6AF6212;故答案为:12.2.(2024·四川成都·一模)如图,已知���ᦙ为等腰三角形,且����ᦙ,延长��至D,使得��:�ᦙ��:�,连接ᦙᦙ,E是�ᦙ边上的中点,连接��,并延长��交ᦙᦙ与点F,连接��,则��:�ᦙ�.【答案】�:���/�:���【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点,灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.ᦙᦙ�ᦙ�如图:过点B作�ᦙ���交ᦙᦙ于H,根据平行线分线段成比例定理得到��,根据等腰三角形的ᦙ����性质得到����ᦙ,根据线段垂直平分线的性质得到���ᦙ�,再根据平行线分线段成比例定理解答即可.【详解】解:过点B作�ᦙ���交ᦙᦙ于H,∴��ᦙᦙ���ᦙ�ᦙᦙ�ᦙ�∴��,ᦙ����∵����ᦙ,E是�ᦙ边上的中点,∴����ᦙ,∴AF是线段�ᦙ的垂直平分线,∴���ᦙ�,�∵����ᦙ,ᦙ����,即���ᦙ��∴�ᦙ����ᦙ�ᦙ,ᦙ�ᦙ�ᦙ��∴���,ᦙᦙ�ᦙ�ᦙ��47
�∴ᦙ��ᦙ�,即ᦙ��ᦙ�,�∴ᦙ�:�ᦙ��:���,∴��:�ᦙ��:���.故答案为:�:���.�ᦙ�3.(23-24八年级下·山东烟台·期末)如图,点D,E,F分别在���ᦙ的边上,�,ᦙ���ᦙ,�����,�ᦙ�MN点M是ᦙ�的中点,连接CM并延长交��于点N,求的值.CM�m�【答案】�.ᦙ��【分析】本题考查了平行线分线段成比例,全等三角形的判定与性质.先根据平行线性质和中点性质证明mᦙ����mᦙ���ᦙ��ASA,再证明��,从而可得答案.ᦙᦙᦙ��【详解】解:如图,设��与ᦙm的交点为H,∵点M是ᦙ�的中点,∴ᦙ����,∵�����,∴�mᦙ���ᦙ��,∵�ᦙ�m����ᦙ,∴�mᦙ���ᦙ��ASA,∴ᦙ���m,�ᦙ�∵ᦙ���ᦙ,�,�ᦙ�48
���ᦙ�∴��,ᦙ��ᦙ�∵�����,mᦙ���∴��,ᦙᦙᦙ��∴ᦙᦙ��mᦙ��ᦙ���m���m,�m�m�m�∴���.ᦙ�ᦙᦙ��ᦙ��m�题型八利用相似三角形定义求边长或角度例8.(22-23九年级上·全国·单元测试)如图,���ᦙ��ᦙ�ᦙ,ᦙᦙ��,�ᦙ��,�ᦙ�),那么��的值等于()A.5B.6C.7D.4【答案】B�ᦙᦙᦙ【分析】本题主要考查了相似三角形的性质,根据���ᦙ��ᦙ�ᦙ,得出�,然后再代入数据求值即可.��ᦙ�【详解】解:∵���ᦙ��ᦙ�ᦙ,�ᦙᦙᦙ∴�,��ᦙ���即�,��)解得:����.故选:B.巩固训练1.(22-23九年级上·全国·单元测试)已知�ᦙ������ᦙ,且������,���)��,则��的度数是()A.���B.���C.���D.���【答案】D【分析】本题考查相似三角形的性质和判定,熟练掌握三角形相似的性质和判定是解题的关键;【详解】解:∵�ᦙ������ᦙ,∴�ᦙ���,�����,����ᦙ根据三角形的内角和定理可以得:�ᦙ���������������49
∴������故选:D2.(24-25九年级上·河南新乡·开学考试)两个相似三角形的面积比是)′�,其中一个三角形的周长为��,则另一个三角形的周长是()A.�)B.��或��C.�)或��D.�)或�)【答案】D【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质,解题关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方.根据相似三角形的性质求出相似比,得到周长比,根据题意列出比例式,解答即可.【详解】解:∵两个相似三角形的面积比是)′�,∴两个相似三角形的相似比是�′�,∴两个相似三角形的周长比是�′�,令另外一个三角形周长为ᦙ,分两种情况:�′����′ᦙ或者�′��ᦙ′��,解得ᦙ��)或�).故选:ᦙ.3.(22-23九年级上·云南红河·期末)如图,���ᦙ������ᦙ�,若����ᦙ′������ᦙ��)′�,���),则����的长度为()A.1B.2C.4D.8【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的性质,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出相似比为�′�,即可得解.【详解】解:∵���ᦙ������ᦙ�,����ᦙ′������ᦙ��)′�,∴相似比为�′�,∵���),�∴���������,�50
故选:B.题型九证两个三角形相似例9.(24-25九年级上·陕西西安·开学考试)如图,在���ᦙ中,��ᦙ�����,D为边��上一点,且ᦙᦙ�ᦙ�,过点D作ᦙ����.交�ᦙ于点E.求证:�ᦙᦙ���ᦙ�ᦙ.【答案】见解析【分析】此题考查了相似三角形的判定,熟记相似三角形的判定定理是解题的关键.根据直角三角形的性质及垂直定义求出���������,��ᦙᦙ��ᦙᦙ�����,根据等腰三角形的性质求出�����ᦙᦙ,进而求出�ᦙᦙ����,再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证.【详解】证明:∵��ᦙ�����,∴���������,∵ᦙ����,∴��ᦙ����ᦙᦙ��ᦙᦙ�����,∵ᦙᦙ�ᦙ�,∴�����ᦙᦙ,∴�ᦙᦙ����,又∵�ᦙᦙ����ᦙᦙ,∴�ᦙᦙ���ᦙ�ᦙ.巩固训练1.(2022·湖南衡阳·模拟预测)如图,���ᦙ����ᦙ,连接��、ᦙᦙ,且点�、�、ᦙ在同一条直线上,求证:������ᦙ�ᦙ.【答案】见解析51
【分析】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定,根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”,����得出�����,�ᦙ��ᦙ,���ᦙ����ᦙ,推出�,������ᦙ�ᦙ,根据“两边成比例且夹角相等的�ᦙ�ᦙ两个三角形相似”,即可证明������ᦙ�ᦙ,熟练掌握全等三角形的性质、相似三角形的判定是解题的关键.【详解】证明:∵���ᦙ����ᦙ,∴�����,�ᦙ��ᦙ,���ᦙ����ᦙ,����∴�,���ᦙ��ᦙ������ᦙ��ᦙ��,即������ᦙ�ᦙ,�ᦙ�ᦙ∴������ᦙ�ᦙ.2.(23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习)如图,在���ᦙ中,ᦙᦙ�ᦙ�,��ᦙ����,��ᦙ��ᦙᦙ,求证:���ᦙ���ᦙ�.【答案】证明见详解;【分析】本题考查三角形相似的判定,根据ᦙᦙ�ᦙ�得到�ᦙᦙ���ᦙ�ᦙ,从而得到��ᦙ�����ᦙ,结合�ᦙ�ᦙ�ᦙ���ᦙ����,��ᦙ��ᦙᦙ得到���,即可得到证明;��ᦙᦙᦙ��【详解】证明:∵ᦙᦙ�ᦙ�,∴�ᦙᦙ���ᦙ�ᦙ,∴��ᦙ�����ᦙ,∵��ᦙ����,��ᦙ��ᦙᦙ,�ᦙ�ᦙ�ᦙ�∴���,��ᦙᦙᦙ��∴���ᦙ���ᦙ�.3.(22-23七年级上·全国·单元测试)如图,在���ᦙ中,�为EC上一点,且满足���ᦙ��ᦙ���.(1)求证:�������ᦙᦙ;52
(2)当AE∥BD时,�ᦙ����,ᦙᦙ���,求�ᦙ的长.【答案】(1)见解析(2)�【分析】(1)由三角形外角的性质和角的和差可得���ᦙ����ᦙ��ᦙ�ᦙ��������,再结合ABDE可得�ᦙ�ᦙ�����,然后结合�ᦙ���运用两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论;�(2)先根据直角三角形的性质可得ᦙᦙ�ᦙᦙ��,再根据平行线的性质、等量代换可得�ᦙ�ᦙ��ᦙ�����ᦙ����,即�ᦙ是���ᦙ的角平分线、���ᦙ��ᦙ��ᦙ�ᦙ����,进而说明���ᦙ����,最后根据角平分线的判定定理即可解答.【详解】(1)解:∵���ᦙ����ᦙ��ᦙ�ᦙ��������,ABDE,∴�ᦙ�ᦙ�����,∵�ᦙ���,∴�������ᦙᦙ.(2)解:作ᦙᦙ��ᦙ于H.∵�ᦙ����,ᦙᦙ���,�∴ᦙᦙ�ᦙᦙ��,�∵AE∥BD,∴�ᦙ�ᦙ���,∵�ᦙ���∴�ᦙ�ᦙ��ᦙ����ᦙ����,即�ᦙ是���ᦙ的角平分线,∴��ᦙ���ᦙ��ᦙ�ᦙ����,∵���ᦙ����∴���ᦙ����,∵�ᦙ是���ᦙ的角平分线,ᦙ����,ᦙᦙ��ᦙ,∴ᦙ��ᦙᦙ��.53
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的判定定理、30度所对的直角边等于斜边的一半等知识点,灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键.题型十利用相似三角形的判定解实际问题例10.(23-24九年级上·河南洛阳·期中)《周髀算经》中记载了“平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ᦙ��).小南利用“矩”可测量大树��的高度.如图,通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置,使斜边ᦙ�保持水平,并且边ᦙ�与点B在同一直线上,已知“矩”的两边长分别为�������,ᦙ������,小南的眼睛到地面的距离ᦙ�为����,测得������,求树高��.【答案】树高��为�����【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例,据题意可得�ᦙ�����ᦙᦙ����,��ᦙ���ᦙᦙ�,即可���ᦙ得出�ᦙ����ᦙᦙ�,由相似三角形的性质可得出�,即可得出�ᦙ,再根据����ᦙ��ᦙ即可得出ᦙ�ᦙᦙ答案.【详解】解:据题意可得�ᦙ�����ᦙᦙ����,��ᦙ���ᦙᦙ�,∴�ᦙ����ᦙᦙ�,���ᦙ∴�.ᦙ�ᦙᦙEF0.2m,ᦙ������,���ᦙᦙ����,����ᦙ�∴��,������BC14m,∴����ᦙ��ᦙ������)�����쳌�㌳.答:树高��为�����.巩固训练1.(22-23九年级上·河南鹤壁·开学考试)如图1,平直的公路旁有一灯杆��,在灯光下,小丽从灯杆的底54
部�处沿直线前进)�到达ᦙ点,在ᦙ处测得自己的影长ᦙ����.小丽身高ᦙᦙ�����.(1)求灯杆��的长;(2)若小丽从D处继续沿直线前进)�到达G处(如图2),求此时小丽的影长�ᦙ的长.【答案】(1)灯杆��的高度为��(2)此时小丽的影长�ᦙ的长是��【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的应用,解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题,本题只要把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似比列出方程即可求出.(1)根据题意得出���ᦙᦙ,由平行线得出�������ᦙᦙ,得出对应边成比例,即可得出结果.(2)根据相似三角形�ᦙ����ᦙ��的对应边成比例列出比例式,代入相关数值解答即可.【详解】(1)解:如图1,根据题意得:���ᦙᦙ,�����)��(米㌳,∴�������ᦙᦙ,�����,ᦙᦙᦙ�AB5即,1.21解得:����(米㌳;答:灯杆��的高度为��;(2)如图2,根据题意得:�����,�����)��(米㌳,∴�ᦙ����ᦙ��,ABBH∴,FGGH68GH即,1.2GH解得:�ᦙ��(米㌳;答:此时小丽的影长�ᦙ的长是��.2.(23-24九年级上·安徽六安·期末)如图,���ᦙ是一块锐角三角形余料,边BC120mm,高AD80mm,55
要把它加工成矩形零件���m,使一边在�ᦙ上,其余两个顶点分别在边��、�ᦙ上,PQ交�ᦙ于H点.(1)当点�恰好为��中点时,PQ______mm.(2)若矩形�m��的周长为���mm,求出�m的长度.【答案】(1)60(2)��mm【分析】本题考查了相似三角形的应用,主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比;�����(1)由��������ᦙ,得到��,代入即可求解,�ᦙ����ᦙ��(2)根据����ᦙ,得到��������ᦙ,得到对应高之比等于相似比,�,从而得到�m的长,�ᦙ�ᦙ【详解】(1)解:∵�为��中点,���∴�,���∵在矩形���m中,����ᦙ,∴��������ᦙ,�������ᦙ�,∴��������ᦙ,�����∴��,�ᦙ����∴����ᦙ���mm.�故答案为:��.(2)解:∵四边形�m��为矩形,∴����ᦙ,∵�ᦙ��ᦙ,∴����ᦙ,∴�m�ᦙᦙ∴�ᦙ��ᦙ�ᦙᦙ�����m.56
∴四边形�m��为矩形,∴����m,ᦙᦙ��m,∵矩形�m��的周长为���mm∴��������m,∵����ᦙ,∴��������ᦙ,�ᦙ��∴�,�ᦙ�ᦙ����m�����m∴�,�����∴�m���mm.2.(2023·江苏盐城·一模)如图,苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB,于是,他们带着测量工具来到雕像前进行测量,测量方案如下:如图,首先,苏海在C处放置一平面镜,他从点C沿�ᦙ后退,当退行0.9米到E处时,恰好在镜子中看到雕像顶端A的像,此时测得苏海眼睛到地面的距离ᦙ�为1.2米;然后,苏海沿�ᦙ的延长线继续后退到点G,用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为)��,此时,测得������米,测倾器的高度������米.已知点B、C、E、G在同一水平直线上,且��、ᦙ�、��均垂直于��,求雕像的高度��.【答案】����【分析】根据已知条件推出���ᦙ��ᦙ�ᦙ,求得��与�ᦙ的关系,再根据题意易得四边形ᦙ��ᦙ、四边4形ᦙ���、四边形ᦙ���均为矩形,得到AHx1.2,根据���ᦙ�)��,得�ᦙ�ᦙ�,构造一元一次方3程,解方程即可得出结论.【详解】解:设�ᦙ��米,如图,57
根据题意可得,��ᦙ���ᦙᦙ�,����ᦙ�ᦙ����,∴���ᦙ��ᦙ�ᦙ,���ᦙ∴�,ᦙ�ᦙ�)∴����,�∵点B、C、E、G在同一水平直线上,且��、ᦙ�、��均垂直于��,ᦙ���������,∴四边形ᦙ��ᦙ、四边形ᦙ���、四边形ᦙ���均为矩形,4∴AHx1.2,3∵���ᦙ�)��,∴�ᦙ�ᦙ�,)∴����������������解得������)∴���������������答:雕像的高度为16.8米.【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用,熟练掌握相关知识点是解题的关键.题型十一利用相似三角形的判定解动点问题例11.(23-24九年级上·浙江宁波·期末)如图,在矩形��ᦙᦙ中,BC5cm,�����cm,点P从C点出发沿对角线�ᦙ以1cm/s的速度向点A作匀速运动,点Q从A点出发沿��以�cm/�的速度向点B作匀速运动,若假设运动时间为t,则当�������ᦙ��时,t的值为()58
���)��A.2sB.sC.sD.s�����【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的应用,矩形及三角形的综合,解题的关键是三角形的全等和相似的综合运用.先根据勾股定理求出�ᦙ,过点P作�����于点M,证明���������,推出�����,分别表示������和��的长,根据�������ᦙ�,进而�,求出t的值,进而作答即可.�ᦙ��【详解】解:∵矩形��ᦙᦙ,∴���ᦙᦙ,���ᦙ����,在Rt���ᦙ中,�ᦙ������ᦙ�����,过点P作�����于点M,如图,∴����ᦙ,∴�ᦙ�������,∵�������ᦙ��,∴�ᦙ������������,在����与����中,��������������,�������������∴���������ASA,∴�����,BQ122t,∴������,�������,59
∵���ᦙ����ᦙ,������ᦙ������,∴�������ᦙ�,����∴�,�ᦙ���������即�,������∴��,��故选:B.巩固训练1.(23-24九年级上·安徽宿州·期中)如图,在矩形��ᦙᦙ中,AB9,BC15,P,Q分别是�ᦙͷᦙᦙ上的点,ᦙ��),若����与��ᦙ�相似,则��的长为()�������A.3或B.3或12C.3、12或D.3、12或������【答案】D【分析】设BPx,则�ᦙ�����,分ABP∽PCQ和�������ᦙ�两种情况讨论,结合相似三角形的性质列式求解,即可获得答案.【详解】解:根据题意,����ͷ�ᦙ���,设BPx,则�ᦙ�����,分两种情况讨论:�若ABP∽PCQ,���ᦙ�����则有�,即�,��ᦙ��)整理可得�����������,解得����ͷ�����,∴��的长为3或12;�若�������ᦙ�,���ᦙ�)则有�,即�,��ᦙ������60
���解得��,�����∴��的长为.�����综上所述,��的长为3或12或.��故选:D.2.(24-25九年级上·陕西西安·开学考试)如图,在���ᦙ中,������,����cm,�ᦙ���cm,点�从点�开始沿��向点�以�cm/�的速度运动,点�从点�开始沿�ᦙ向点ᦙ以)cm/�的速度运动,如果点�ͷ�分别从A,B两点同时出发,3秒后停止运动,设运动时间为��香���秒.(1)当�为何值时,����的面积为��cm�?(2)是否存在某一时间�,使得����和���ᦙ相似?若存在,请求出此时�的值,若不存在,请说明理由.【答案】(1)�秒或�秒��(2)�秒或秒�【分析】本题考查了列代数式,解一元一次方程,解一元二次方程,相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能求出符合条件的所有情况是解题的关键.(1)根据路程�速度�时间即可用含�的代数式表示线段��和��,设经过�秒钟,使����的面积为��cm�,得到�������,���)�,根据三角形的面积公式得出方程即可求解;(2)设经过�秒钟,使����和���ᦙ相似,根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似,分两种情况求出即可.【详解】(1)解:∵点�从点�开始沿��向点�以�cm/�的速度运动,点�从点�开始沿�ᦙ向点ᦙ以)cm/�的速度运动,∴�����cm,���)�cm,∴�������������cm.设经过�秒钟,使����的面积为��cm�,∵�������,���)�,������,�∴��������,�61
�∴�����)����,�∴解得:����,����,∴如果�,�分别从�,�同时出发,经过�秒或�秒����的面积为��cm�.(2)解:设经过�秒钟,使����和���ᦙ相似,∵�����,BPBQ当使时,����和���ᦙ相似,ABBC����)�即�,�����解得:��;�BPBQ当使时,����和���ᦙ相似,BCAB����)�即�,���解得:���.��∴如果�,�分别从�,�同时出发,经过�秒或秒����和���ᦙ相似.�3.(23-24九年级上·湖南衡阳·期末)如图,在���ᦙ中,����cm,�ᦙ���cm,������.点�从点�开始沿��边向点�以�cm/�的速度移动,点�从点�开始沿�ᦙ边向点ᦙ以�cm/�的速度移动,如果�、�分别从�、�同时出发,设移动时间为��.(1)当���时,求����的面积;(2)当�为多少时,����的面积是28cm?(3)当�为多少时,����与���ᦙ是相似三角形?【答案】(1)�(2)�秒或)秒(3)当�为�或���秒钟,使����与���ᦙ相似.62
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用,相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能求出符合条件的所有情况是解此题的关键.(1)用含�的代数式表示线段��和��,代入���求得��、��,利用三角形的面积计算公式求得答案;(2)由(1)得到������,�����,根据三角形的面积公式得出方程解答即可;BPBQ(3)要使����与���ᦙ相似,根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况和ABBCBPBQ第二种情况代入求出即可.BCAB【详解】(1)解:∵点�从点�开始沿��边向点�以�cm/�的速度移动,点�从点�开始沿�ᦙ边向点ᦙ以�cm/�的速度移动,∴����,�����,∴������������,�当���时,���),���),����的面积�)�)��;��(2)解:由题意得�������,��即��������,�∴����ͷ���)ͷ答:当�为�或)秒,使����的面积为28cm.(3)解:设经过�秒钟,使����与���ᦙ相似,∵�����,BPBQ�����第一种情况:当时,����与���ᦙ相似,即�,ABBC���解得:���,BPBQ�����第二种情况:当时,����与���ᦙ相似,即�,BCAB���解得:�����.答:当�为�或���秒钟,使����与���ᦙ相似.63
题型十二利用相似三角形的判定证线段数量关系例12.(2024九年级上·全国·专题练习)正方形��ᦙᦙ中,以��为边作等边三角形���,连接ᦙ�交�ᦙ于F,交��于G,连接��.求证:(1)��������;���(2)���������【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等边三角形的性质,正方形的性质,作平行线构造相似三角形是解题的关键.(1)在��上截取�ᦙ���,则���ᦙ为等边三角形,然后证明���ᦙ�����即可解题;(2)过点G作�����交�ᦙ于点K,则有�ᦙ������,然后根据��������ᦙ,���������即可解题.【详解】(1)如图,在��上截取�ᦙ���.∵��������,���ᦙ����,����ᦙ,∴���������,�������)����.∴���ᦙ为等边三角形.∴���ᦙ�����.∴���ᦙ�����.∴�ᦙ���.∴�������ᦙ��ᦙ���.64
(2)如图,过点G作�����交�ᦙ于点K.∵���ᦙ�����,∴�������ᦙ���������������,∴�����������ᦙ�,∴�ᦙ������.∴��������ᦙ,���������,��������∴�,�,�ᦙ��������������∴�����,�ᦙ������∵�ᦙ���,�����,��������∴�����,�����������∴���������巩固训练1.(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)在���ᦙ中,点D在�ᦙ边上,E是线段�ᦙ的中点,过A作����ᦙ,交线段ᦙ�的延长线于F,连接��,且����ᦙ.(1)如图1,求证:�ᦙ�ᦙᦙ;(2)如图2,设��、ᦙ�交于点G,H是线段��的中点,连接ᦙᦙ,若����ᦙ,在不添加任何辅助线和字母的情况下,请直接写出图中四个面积等于����面积3倍的三角形.【答案】(1)见解析65
(2)���ᦙ������������ᦙ����ᦙᦙ�������【分析】(1)根据中点定义得出���ᦙ�,根据平行线的性质得出������ᦙᦙ�ͷ������ᦙᦙ�,即可证明������ᦙ�ᦙAAS,根据平行四边形的性质得出ᦙᦙ���,即可求证;(2)通过证明�������ᦙ�,得出������ͷᦙ�����,则������ͷᦙ�����,推出���ᦙ��������ͷ������������通过证明四边形���ᦙ是平行四边形,得出����������ᦙͷ根据�ᦙ�ᦙᦙ,得出����ᦙ����ᦙᦙ,即可得出结论.【详解】(1)解:证明:∵�是线段�ᦙ的中点,∴���ᦙ�,∵����ᦙ,∴������ᦙᦙ�ͷ������ᦙᦙ�,∴������ᦙ�ᦙAAS,∴ᦙᦙ���,∵����ᦙ,����ᦙ,∴四边形���ᦙ是平行四边形,∴����ᦙ,∴�ᦙ�ᦙᦙ;(2)解:由(1)可得:�ᦙ�ᦙᦙ���,则�ᦙ����,∵����ᦙ,∴������ᦙ��ͷ�������ᦙ�,∴�������ᦙ�,��ᦙ��ᦙ����,������∴������,ᦙ�����,∴������������,ᦙ��ᦙ��������,∴���ᦙ��������ͷ������������,∵四边形���ᦙ是平行四边形,∴����������ᦙ,∵�ᦙ�ᦙᦙ,66
∴����ᦙ����ᦙᦙ,���ᦙ������������ᦙ����ᦙᦙ�������.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,三角形中线的性质,解题的关键是关键是掌握全等三角形对应边相等,相似三角形对应边成比例.2.(2024·安徽宣城·三模)如图1,在���ᦙ中,点D为�ᦙ的中点,点P为射线ᦙ�上一动点(不与点C,A重合),分别过点A,C向直线��作垂线,垂足分别为点E,F,连接ᦙ�,ᦙ�,�ᦙ������.(1)当�ᦙ���时,CFkAE,则k的值为______;(2)当点P在�ᦙ边上时,求证:DEAECF;(3)如图2,当���ᦙ为钝角,且点P在ᦙ�延长线上时,猜想ᦙ�,��,ᦙ�之间的数量关系,并证明.【答案】(1)3(2)见解析(3)AECFDE,理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,���角的直角三角形的性质;(1)证明������ᦙ��即可解题;(2)延长�ᦙ交ᦙ�于点�,则可得到���ᦙ��ᦙ�ᦙ���,即可得到AECQ,ᦙ��ᦙ�,然后利用���的直角三角形的直角边等于斜边的一半解题即可;(3)延长�ᦙ和�ᦙ交于点�,证明���ᦙ��ᦙ�ᦙ,可以得到AECQ,ᦙ��ᦙ�,然后利用���的直角三角形的性质解题即可.【详解】(1)解:PDPA,D是�ᦙ中点,∴ᦙ�����,由题知�����,ᦙ����,∴������ᦙ������,∵������ᦙ��,∴������ᦙ��,AEAP1,CFCP367
∴ᦙ�����,即���;(2)证明:如图1,延长�ᦙ交ᦙ�于点�,∵�����,ᦙ����,∴���ᦙ�,∴�ᦙ����ᦙᦙ�,∵��ᦙ���ᦙᦙ�,�ᦙ�ᦙᦙ,∴���ᦙ��ᦙ�ᦙ���,AECQ,ᦙ��ᦙ�,QCFE90,∴ᦙ��ᦙ��ᦙ�,QDFE30,DFEDEF30,1FQEQDE,2∵ᦙ�����ᦙ�,∴ᦙ�����ᦙ�;(3)解:AECFDE,证明如下:如图2,延长�ᦙ和�ᦙ交于点�,∵�����,ᦙ����,∴���ᦙ�,∴�ᦙ����ᦙᦙ�,∵��ᦙ���ᦙᦙ�,�ᦙ�ᦙᦙ,68
∴���ᦙ��ᦙ�ᦙ,AECQ,ᦙ��ᦙ�,QCFE90,∴ᦙ��ᦙ��ᦙ�,QDFE30,DFEDEF30,1FQEQDE,2∵�ᦙ�ᦙ����,∴���ᦙ��ᦙ�.3.(2024·贵州黔东南·二模)如图,已知矩形��ᦙᦙ中,�是�ᦙ上的一点,过点�作EFEC交边��于点�,交ᦙ�的延长线于点�,且����ᦙ.(1)求证:ᦙᦙ���;(2)若ᦙ��)cm,矩形��ᦙᦙ的周长为32cm,求CG的长.【答案】(1)见解析(2)13cm【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识,证明△DCE≌△AEF以及���������是解题关键.(1)证明△DCE≌△AEF,由全等三角形的性质即可证明结论;(2)设ᦙᦙ�����cm,结合矩形的周长解得�的值,易得����cm,�ᦙ��ᦙ���cm,再证明���������,由相似三角形的性质即可获得答案.【详解】(1)证明:∵四边形��ᦙᦙ为矩形,∴������ᦙ��ᦙ����,���ᦙᦙ,�ᦙ��ᦙ,∵EFEC,∴������ᦙ�ᦙ��ᦙ�ᦙ��ᦙᦙ�����,69
∴������ᦙᦙ�,在�ᦙᦙ�和����中,�ᦙ����ᦙᦙ������,�ᦙ���∴�ᦙᦙ������AAS,∴ᦙᦙ���;(2)解:设ᦙᦙ�����cm,由(1)可知,ᦙᦙ�����cm,∴�ᦙ����ᦙ����)cm,∵矩形��ᦙᦙ的周长为32cm,∴��ᦙ�ᦙᦙ����)�����cm,解得���cm,∴����cm,�ᦙ��ᦙ���)���cm,∵△DCE≌△AEF,∴���ᦙ��)cm,∴����������cm,∵���������,�����������,∴���������,�����)∴�,即�,�������解得����cm,∴ᦙ���ᦙ�����������cm.题型十三利用相似三角形的判定求比值例13.(23-24九年级上·上海·阶段练习)如图,过���ᦙ顶点C作直线与��与及中线�ᦙ交于F、E,过D作ᦙ���ᦙ交��于M.70
(1)若�����′�四边形�ᦙ����′�,求AE:ED的值;(2)求证:�����������ᦙ.����【答案】(1)�(2)见解析【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质.�(1)根据ᦙ���ᦙ,证明�������ᦙ�,得到��������,由�����′���′�,得到�′��四边形�ᦙ��������ᦙ��ᦙ���ᦙ���′�,进而得到��������,求出������,即可求解;�����ᦙ���ᦙ���ᦙ����ᦙ���������(2)由(1)知�������ᦙ�,得到�,推出�,根据ᦙ���ᦙ,证明��ᦙ����ᦙ�,���ᦙ������ᦙ���ᦙ����ᦙ�得到���,推出����������,即可证明结论.ᦙ����ᦙ�【详解】(1)解:∵ᦙ���ᦙ,∴�������ᦙ�,��������,��ᦙ���ᦙ������′�四边形�ᦙ����′�,�����′���ᦙ���′�,���������,���ᦙ���ᦙ������������������,即��,�ᦙ����ᦙ�ᦙ����������∴AE:ED的值为;�(2)证明:∵�������ᦙ�,���������,即�,�ᦙ�����ᦙ����������∴�,ᦙ���∵ᦙ���ᦙ,∴��ᦙ����ᦙ�,ᦙ����ᦙ��,ᦙ����ᦙ∵点D是�ᦙ中点,71
ᦙ����ᦙ����,ᦙ����ᦙ�∴����������,∴����������ᦙ��,即�,��ᦙ����∴�����������ᦙ.巩固训练1.(2024·贵州黔南·模拟预测)已知���ᦙ,��ᦙ�都是等腰直角三角形,���ᦙ��ᦙ������,����ᦙ,����ᦙ.【问题发现】(1)如图1,当点�,ᦙ,�在同一条直线上时,��与ᦙᦙ的数量关系是______,位置关系是______;【问题探究】(2)如图2,当点�,ᦙ,�在同一条直线上时,BE,ᦙᦙ交于点�,若����ᦙ��,����ᦙ���,ᦙ�求的值;��【拓展延伸】BG(3)如图3,连接ᦙ�,�ᦙ,�是线段ᦙ�的中点,连接��,求的值.ADᦙ��)�����【答案】(1)���ᦙᦙ(或相等)���ᦙᦙ(或垂直)(2)�(3)�����ᦙ�【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,解题的关键是熟练掌握相关性质,并灵活运用.(1)通过证明������ᦙ�ᦙ,即可得出结论;ᦙ�ᦙ�(2)先证明������ᦙ�ᦙSAS,得出���ᦙᦙ,�ᦙ�����ᦙ�,再证明�ᦙ�����ᦙ�,则�.设���ᦙᦙ���,则���ᦙᦙ����.在Rt�ᦙᦙ�中,由勾股定理,得ᦙ���ᦙᦙ��ᦙ��,列出方程,求出m的72
值,即可解答;(3)延长��至点�,使�����,连接��,ᦙ�.易证四边形���ᦙ是平行四边形,则�ᦙ���,�ᦙ������������.通过证明���ᦙ�����SAS,得出�ᦙ���,即可得出结论.【详解】解:(1)延长�ᦙ交��于点P,∵����ᦙ,���ᦙ��ᦙ������,����ᦙ.∴������ᦙ�ᦙ,∴���ᦙᦙ,������ᦙᦙ�,∵BAEAEB90,∴������ᦙᦙ�����,∴���ᦙ����,即���ᦙᦙ,故答案为����ᦙᦙ(或相等)���ᦙᦙ(或垂直);(2)∵���ᦙ是等腰直角三角形,且����ᦙ��,��∴�ᦙ������ᦙ�������.∵��ᦙ�是等腰直角三角形,且����ᦙ���,��∴ᦙ�������ᦙ���������.∵���ᦙ��ᦙ������,∴���ᦙ��ᦙ����ᦙ����ᦙ��,即������ᦙ�ᦙ,∵����ᦙ,������ᦙ�ᦙ,����ᦙ.∴������ᦙ�ᦙSAS,∴���ᦙᦙ,�ᦙ�����ᦙ�.CFEBFD,∴�ᦙᦙ���ᦙ������,�ᦙ�����ᦙ�,73
ᦙ�ᦙ�∴�.���ᦙ设ᦙ���,则���ᦙᦙ����.在Rt�ᦙᦙ�中,由勾股定理,得ᦙ���ᦙᦙ��ᦙ��,即����������,解得�������,��������(舍去),∴ᦙ������,ᦙ�ᦙ������)��∴���.���ᦙ���(3)如图,延长��至点�,使�����,连接��,ᦙ�.G是ᦙ�的中点,∴ᦙ����.∴四边形���ᦙ是平行四边形,∴�ᦙ���,�ᦙ������������.∵���ᦙ��ᦙ������,∴���ᦙ��ᦙ�������,∴���ᦙ�����.∵����ᦙ,∴�����,又∵�ᦙ���,∴���ᦙ�����SAS,∴�ᦙ���.∵�����,1BGBF,274
�∴����ᦙ,����∴�.�ᦙ�2.(23-24九年级上·四川成都·阶段练习)在Rt���ᦙ中,���ᦙ����,�ᦙ����,点D是�ᦙ上任意一点,连接�ᦙ,过B作����ᦙ于点E.(1)如图1,过C作CFAD于F.若���时,求证:���ᦙ����;��(2)如图2,当D是�ᦙ中点,���时.求的值;�ᦙ���(3)如图3,若�,��ᦙ��ᦙᦙ,求n.�ᦙ�【答案】(1)见解析�(2)�(3)2������【分析】(1)证明������ᦙ��,得到��,由���,即�ᦙ���,推出���ᦙ�ͷ�����,即�ᦙᦙ���可证明结论;(2)由题意可设����ͷ�ᦙ���,利用勾股定理求出�ᦙ��ᦙ��������,由直角三角形的性质得到���ᦙ��ᦙ��,证明�������ᦙ�,从而由相似三角形的性质得到��的值,即可得到ᦙ�的值,即可��求得答案;(3)过点C作ᦙ���ᦙ,交�ᦙ延长线于点F,同理(1)得:������ᦙ��,再证明��ᦙ���ᦙᦙ�,����根据�,设AEx,则ᦙ����,由��ᦙ��ᦙᦙ,求出ᦙ����,���ᦙ�,再根据相似三角形的性�ᦙ���ᦙᦙ�质得到求出ᦙ����,由���即可求解.����【详解】(1)证明:∵ᦙ����ͷ����ᦙ,∴��������ᦙ����∵�ᦙ�����������ᦙ����,�������������,∴�ᦙ�������,75
∴������ᦙ��,��������,�ᦙᦙ���∴���,即�ᦙ���,����������,�ᦙᦙ���∴���ᦙ�ͷ�����,∴���ᦙ����������;(2)解:∵���,���ᦙ����,�ᦙ����,设����,�ᦙ���,∴�ᦙ��ᦙ��������,∵ᦙ为�ᦙ中点,��∴�ᦙ��ᦙ�ᦙᦙ��ᦙ��,��∴�ᦙ�ᦙ��ᦙͷ��������ᦙ,∵����ᦙ,���ᦙ����,∴��������,∴�������������,�ᦙ�ᦙ���������,∴�ᦙ�ᦙ�����,∴�ᦙ�����,∵���ᦙ���������,∴�������ᦙ�,ABAE���∴,即�,BCAB����∴����,���∴ᦙ���ᦙ�����,������;ᦙ��(3)解:过点C作ᦙ���ᦙ,交�ᦙ延长线于点F,76
同理(1)得:������ᦙ��,�ᦙᦙ���∴��,������∵����ᦙͷᦙ���ᦙ,∴���ᦙ�,∴��ᦙ���ᦙᦙ�,�ᦙ��ᦙ�∴��,ᦙᦙᦙ�ᦙ�����,�ᦙ�设AEx,则ᦙ����,∵��ᦙ��ᦙᦙ,�ᦙ��ᦙ��∴���,ᦙᦙᦙ�ᦙ���∴ᦙ����,���ᦙ�,�∴������ᦙ��ᦙ����,ᦙ���∴��,�ᦙ��∴ᦙ����,�ᦙᦙ���������.�����【点睛】本题考查三角形相似判定与性质的综合应用,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的特征,灵活运用三角形相似的判定与性质及直角三角形的有关性质求解是解题关键.3.(2024·贵州遵义·二模)图�,在正方形��ᦙᦙ中,点�是边上一��动点,将正方形沿ᦙ�折叠,点�落在正方形内部的点�处,连接AF并延长,交�ᦙ于点�.77
(1)判断��与��的数量关系为;(2)【应用】如图�,延长ᦙ�交�ᦙ于点H.�证明:�ᦙ������ᦙ;�若ᦙ����,ᦙ����,����,求BE的长度;(3)【拓展】如图�,将正方形改成矩形,其中AD2CD,将矩形沿ᦙ�折叠,使点�落在点�处(矩形AE内部),连接AF并延长,交�ᦙ于点�,延长ᦙ�交直线�ᦙ于点H.若ᦙ����,ᦙ����,直接写出BE的值.【答案】(1)�����;(2)�证明见解析;����)�;��)�����(3)�或�.�������【分析】(�)证明��ᦙ������ASA即可得到�����;(�)�由�ᦙ��ᦙ,则������ᦙ,由图形的翻折可知ᦙ��ᦙ�,故有�����,然后通过角度转换即可得到���ᦙ��ᦙ��;�由�问可知,���ᦙ��ᦙ��,则ᦙ���ᦙ���,则����ᦙ�ᦙ����,故����������,解得���,从而�ᦙ��,ᦙ���,�������,连接�ᦙ,然后由勾股定理即可求解;(�)分当点H在线段�ᦙ上时,当点H在线段�ᦙ的延长线上时,两种情况进行讨论.【详解】(1)由折叠性质可知:,AFDE,∴��������ᦙ����∵四边形��ᦙᦙ是正方形,∴����ᦙ,���ᦙ���������,∴���ᦙ���ᦙ�����,∴�������ᦙ�,78
∴��ᦙ������ASA,∴�����,故答案为:�����;(2)�∵�ᦙ��ᦙ,∴������ᦙ,由图形的翻折可知,ᦙ��ᦙ�,∴�����,∴������ᦙ,∵����ᦙ��,∴���ᦙ��ᦙ��;�由�问可知,���ᦙ��ᦙ��,则ᦙ���ᦙ���,∵�ᦙ���∴����ᦙ�ᦙ����,∴����������,∴���,∴�ᦙ��,ᦙ���,�������,连接�ᦙ,∵△EBH与���ᦙ是直角三角形,∴�����ᦙ���ᦙ�������ᦙ�,即������������,∴���)�;(3)�当点H在线段�ᦙ上时,79
∵���ᦙ��ᦙ��,∴ᦙ��ᦙ����,∴�����,∵��ᦙ������,�ᦙ��∴�,������∴��,��∴������,令����,则��������,∴�ᦙ�ᦙ��������,∴ᦙᦙ���������,ᦙᦙ�����������������,ᦙᦙ�����������������,∵ᦙᦙ��ᦙᦙ��ᦙᦙ�,∴����������������������,∴��)���,�����)��∴��;��)������当点H在线段�ᦙ的延长线上时,∵���ᦙ��ᦙ��,∴ᦙ��ᦙ����,∴�����80
∵��ᦙ������,�ᦙ��∴�,������∴��,��∴���)�,令����,则���)���,∴�ᦙ�ᦙ�������,∴ᦙᦙ����)���,ᦙᦙ����������������,ᦙᦙ����������������,∵ᦙᦙ��ᦙᦙ��ᦙᦙ�,∴��������)������������,∴��)��,��)��∴����)�����)�����综上所述,�或�.�������【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,等腰三角形的性质,勾股定理等,掌握全等三角形和相似三角形的性质与判定是解题的关键.题型十四利用相似三角形的判定证等积式例14.(2021·浙江杭州·模拟预测)如图,在���ᦙ中,����ᦙ,�ᦙ��ᦙ于D,作ᦙ���ᦙ于E,F是��中点,连��交�ᦙ于点G.(1)求证:�ᦙ�������;(2)若����,���),求ᦙ�的值.【答案】(1)证明见详解81
���(2)ᦙ����【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,三角形中位线定理,直角三角形的性质等知识,解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题,学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题,属于中考常考题型.�ᦙ���(1)只要证明�ᦙ����ᦙ�ᦙ,可得�,推出�ᦙ��ᦙ���即可解决问题;ᦙ��ᦙ�ᦙ��(2)利用直角三角形斜边中线定理求出ᦙ�,题根据ᦙ���ᦙ,可得ᦙ��ᦙ�����,由此可得�,题����)��ᦙ��利用第一问的结论,即可解决问题;【详解】(1)证明:∵�ᦙ��ᦙ于ᦙ,作ᦙ���ᦙ于�,∴��ᦙᦙ����ᦙ����,∵�ᦙ����ᦙ�ᦙ,∴�ᦙ����ᦙ�ᦙ,ADAE,CAAD∴�ᦙ���ᦙ���,∵�ᦙ���,∴�ᦙ�������;(2)解:如图,连接ᦙ�.∵����ͷ��ᦙ�����ͷ�����,��∴ᦙ�����,��∵����ᦙͷ�ᦙ��ᦙ,∴�ᦙ�ᦙᦙ,∴ᦙ���ᦙ,∴�ᦙ�������,82
�∴ᦙ��ᦙ�����,����)�DG5,AD13∵�ᦙ�������,ADABAE5425,����∴ᦙ������.����巩固训练1.(23-24九年级下·浙江温州·开学考试)如图,四边形��ᦙᦙ是平行四边形,点E是��延长线上一点,连结ᦙ�,�ᦙ,ᦙ�,ᦙ�分别与�ᦙ,�ᦙ交于点F,G.(1)若����ᦙᦙ,�ᦙ���,求AF的长.(2)求证:�ᦙ�������.【答案】(1)����(2)证明见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的性质与判定,解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解.(1)根据平行四边形的性质,可得���ᦙᦙ,���ᦙᦙ,�ᦙ��ᦙ,从而可证������ᦙᦙ�,利用相似三角形性质求解,即可求得AF的长;�ᦙ�ᦙ���ᦙ(2)根据平行四边形的性质,可证��ᦙ���ᦙ��,�ᦙᦙ������,从而可得�,�,再可得�����ᦙ���ᦙ����,从而证得�ᦙ������.���ᦙ【详解】(1)解:∵四边形��ᦙᦙ是平行四边形,�ᦙ���,∴���ᦙᦙ,���ᦙᦙ,�ᦙ��ᦙ���,83
∴������ᦙᦙ�,����∴�,ᦙ�ᦙᦙ∵����ᦙᦙ����,∴����ᦙᦙ,�����ᦙᦙ∴����,ᦙ�ᦙᦙᦙᦙ∴����ᦙ�,��∴����ᦙ������;��(2)证明:在平行四边形��ᦙᦙ中,���ᦙᦙ,�ᦙ��ᦙ,∴�ᦙᦙ������,��ᦙ���ᦙ��,∵�ᦙᦙ������,�ᦙ�ᦙ∴�,����∵��ᦙ���ᦙ��,���ᦙ∴�,�ᦙ���ᦙ��∴�,���ᦙ∴�ᦙ�������.2.(23-24九年级上·上海·期中)如图,在���ᦙ中,D是�ᦙ上的点,E是�ᦙ上一点,且ABAD,BADECA.ACCE(1)求证:�ᦙ���ᦙ�ᦙᦙ;(2)若E是���ᦙ的重心,求�ᦙ�:�ᦙ�的值.【答案】(1)见解析(2)见解析84
【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质,�ᦙ�ᦙ(1)证明���ᦙ���ᦙ�,可得������ᦙ,可证���ᦙ��ᦙ�ᦙ,可得�,即可得证;ᦙᦙ�ᦙ2�ᦙ�ᦙ(2)利用重心的性质可得�ᦙ���ᦙ��ᦙᦙ,AEAD,由���ᦙ���ᦙ�可得�,即可得证.3ᦙ���ABAD【详解】(1)证明:∵,BADECA,ACCE∴���ᦙ���ᦙ�,∴������ᦙ,∵��ᦙ���ᦙᦙ�,∴���ᦙ��ᦙ�ᦙ,�ᦙ�ᦙ∴�,ᦙᦙ�ᦙ∴�ᦙ���ᦙ�ᦙᦙ;(2)解:∵���ᦙ���ᦙ�,∴BDAAEC,∴�ᦙᦙ���ᦙ�ᦙ,∴ᦙᦙ�ᦙ�,∵E是���ᦙ的重心,2∴�ᦙ���ᦙ��ᦙᦙ,AEAD,3∴�ᦙ���ᦙ�ᦙᦙ��ᦙᦙ�,∵���ᦙ���ᦙ�,�ᦙ�ᦙ∴�,ᦙ�����∴�ᦙ��ᦙ�ᦙ�,����∴�ᦙ�ᦙᦙ,��ᦙ�)∴�.�ᦙ��3.(23-24九年级上·上海·阶段练习)如图,在菱形��ᦙᦙ中,点�在边ᦙᦙ上,连接AF并延长,交对角线�ᦙ于点�、�ᦙ的延长线与点�.85
(1)求证:��是��、��的比例中项;��(2)若�ᦙ��,ᦙ��),求的值.��【答案】(1)见解析)(2)�【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点,灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键.��ᦙ���ᦙ�(1)根据菱形的性质可得�ᦙ��ᦙ,���ᦙᦙ,则���ᦙ�����、�ᦙ�������可得�,�,��������AEEF进而得到,从而证明结论;EGAE������(2)根据菱形的性质可得�ᦙ�ᦙᦙ��ᦙ��,进而得到ᦙ���,再证明�������ᦙ�可得���ᦙ���ᦙ���������,再证明��ᦙ������可得��,即:�����;然后代入��������即可证明结论.���ᦙ���【详解】(1)证明:∵四边形��ᦙᦙ是菱形,∴�ᦙ��ᦙ,���ᦙᦙ,∴���ᦙ�����,�ᦙ�������,��ᦙ���ᦙ�∴�,�,��������AEEF∴,即���������,EGAE∴��是��、��的比例中项.(2)解:∵四边形��ᦙᦙ是菱形,∴�ᦙ�ᦙᦙ��ᦙ��,∵DF4,∴ᦙ��ᦙᦙ�ᦙ���,∵�ᦙ��ᦙ,∴�������ᦙ�,86
��������∴����,ᦙ���ᦙ�)�∵�ᦙ���,∴��ᦙ������,������∴��,即:�����,��ᦙ�����∵��������,�)�)∴��������,即�����,��)∴�����).�������题型十五利用相似三角形的性质求线段长例15.(2024·安徽·一模)如图,在Rt���ᦙ中,ACB90,AB2,若点ᦙ为直线�ᦙ左侧一点,当���ᦙ��ᦙ�ᦙ时,则�ᦙ�ᦙᦙ的最大值为()���A.B.C.5D.���【答案】B【分析】本题主要考查了相似三角形的性质,二次函数的最值问题,勾股定理,先利用相似三角形的性质得到�ᦙ���ᦙᦙ,再由勾股定理得到�ᦙ��)��ᦙ�,则ᦙᦙ�����ᦙ�,进而得到ᦙᦙ��ᦙ����ᦙ�������,据此可得答案.�【详解】解:∵���ᦙ��ᦙ�ᦙ,ABAC∴,ACCD∴�ᦙ�����ᦙᦙ��ᦙᦙ,∵在Rt���ᦙ中,ACB90,AB2,∴�ᦙ�������ᦙ��)��ᦙ�,∴�ᦙᦙ�)��ᦙ�,87
��∴ᦙᦙ����ᦙ,������∴ᦙᦙ��ᦙ���ᦙ��ᦙ�����ᦙ���,����∴当�ᦙ��时,ᦙᦙ��ᦙ有最大值,�故选:B.巩固训练1.(23-24九年级上·内蒙古包头·期中)如图,在Rt���ᦙ纸片中,��ᦙ�����ͷ�ᦙ�)ͷ�ᦙ��,ᦙͷ�分别在AB,AC上,连结ᦙ�,将��ᦙ�沿ᦙ�翻折,使点�的对应点�落在�ᦙ的延长线上,若�ᦙ平分����,则�ᦙ�()��������A.B.C.D.����【答案】C【分析】先根据勾股定理求出��,再根据折叠性质得出�ᦙ����ᦙ��,�ᦙ�ᦙ�,然后根据角平分线的定义证得���ᦙ��ᦙ����ᦙ��,进而证得��ᦙ�����,证明Rt���ᦙ�Rt���ᦙ,可求得�ᦙ的长,根据�ᦙ����ᦙ,即可求解.【详解】解:∵��ᦙ�����ͷ�ᦙ�)ͷ�ᦙ��,∴����ᦙ���ᦙ��)������,由折叠性质得:�ᦙ����ᦙ��,�ᦙ�ᦙ�,则�ᦙ����ᦙ,∵�ᦙ平分����,∴���ᦙ��ᦙ����ᦙ��,∵�ᦙ���������,∴��ᦙ��������,即��ᦙ�����,∴Rt���ᦙ�Rt��ᦙ,�ᦙ�ᦙ���ᦙ��即�,ᦙ��ᦙ�ᦙ)88
��解得:AD,������ᦙ����ᦙ������故选:C.【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理,熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.2.(2023·福建南平·二模)在等边三角形��ᦙ中,点ᦙ,�分别是边��,�ᦙ的中点,若���ᦙ的周长为12,则��ᦙ�的周长为()A.3B.4C.6D.9【答案】C【分析】利用中位线定理,得到三角形相似,运用周长之比等于相似比计算选择.【详解】设三角形的周长用C表示,∵点ᦙ,�分别是边��,�ᦙ的中点,�∴ᦙ���ᦙ,ᦙ���ᦙ,�∴��ᦙ�����ᦙ,ᦙ��ᦙ�ᦙ��∴��,ᦙ���ᦙ�ᦙ�ᦙ��ᦙ��∴�,���∴ᦙ��ᦙ���,故选C.【点睛】本题考查了中位线定理,相似三角形的判定和性质,熟练掌握性质是解题的关键.3.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图,在���ᦙ中,D为�ᦙ上一点,BADC.(1)求证:���ᦙ��ᦙ��;(2)若����,�ᦙ��,求ᦙᦙ的长.【答案】(1)见解析(2)ᦙᦙ��89
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,熟练应用相似三角形的判定与性质,正确推出比例线段是解题关键.(1)根据两角对应相等证明���ᦙ��ᦙ��;���ᦙ(2)根据(1)的结论推�,把有关线段的值代入计算即可.�ᦙ��【详解】(1)证明:∵���ᦙ��ᦙ,�����,∴���ᦙ��ᦙ��;(2)解:∵���ᦙ��ᦙ��,���ᦙ∴�.�ᦙ��∵����,�ᦙ��,��∴�,�ᦙ�BC12,∴ᦙᦙ��ᦙ��ᦙ�������.题型十六利用相似三角形的性质求面积例16.(2024·四川广元·一模)如图,在Rt���ᦙ中,��ᦙ�����,根据步骤作图:�分别以点A,C为�圆心,大于�ᦙ的长为半径作弧,两弧相交于点�,m;�作直线�m,交��于点ᦙ,交�ᦙ于点�.若����ᦙ��,�则���ᦙ��()���A.2B.C.3D.))【答案】B【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图以及相似三角形的性质,根据作图识别线段垂直平分线以及利用相似比得出面积比是解题关键.先确定�m垂直平分�ᦙ,再得出��ᦙ�����ᦙ,再利用相似性质的面积.【详解】解:∵根据作图步骤可知�m垂直平分�ᦙ,90
∴����ᦙ,ᦙ���ᦙ,∵��ᦙ�����,∴ᦙ���ᦙ,���∴��ᦙ�����ᦙ,且相似比为�,�ᦙ��∴���ᦙ���,������ᦙ�)∵����ᦙ��,���ᦙ��∴�,�)�∴���ᦙ��,)故选:B.巩固训练1.(2024·甘肃武威·一模)如图,在平行四边形��ᦙᦙ中,如果点M为ᦙᦙ的中点,若已知��ᦙ�m��,那么���ᦙm等于()A.6B.9C.12D.3【答案】A【分析】本题考查线段中点,平行四边形性质,三角形相似判定与性质,等高三角形面积比等于底的比性质,由平行四边形性质证明��ᦙm����m,利用三角形相似判定与性质得出MN:AN=MD:AB=1:2,进一步得出���ᦙm����ᦙ�m进行求解即可.【详解】解:∵四边形��ᦙᦙ是平行四边形,∴ᦙᦙ���,ᦙᦙ���,∵M为ᦙᦙ的中点,�∴�ᦙ��ᦙ�ᦙᦙ,�∵�ᦙ���,∴��ᦙm����m,91
∴�m:�m��ᦙ:����:�,∴�m���m,∴���ᦙm����ᦙ�m,∵��ᦙ�m��,∴���ᦙm������,故选:A.92.(23-24九年级上·福建漳州·期末)如图,矩形���ᦙ的对角线��与反比例函数y���相交于点D,x�ᦙ�且�,则矩形���ᦙ的面积为().�����A.50B.25C.15D.�【答案】B【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,相似三角形以及矩形的性质,解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义于相似三角形的性质;��ᦙ��根据反比例函数系数k的几何意义可得:���ᦙ��,再根据相似三角形的性质得���ᦙ�′������쳌㌳�,�������进而可求出������,由矩形的性质即可解答.�【详解】解:过点D作ᦙ����,垂直为E,如图所示:��则���ᦙ�����,��∵ᦙ����,�����,∴ᦙ����,ODE∽OBA,92
�ᦙ��∴���ᦙ�′������쳌㌳�,������∴������,���∴矩形���ᦙ的面积为�����,�故选:B.�3.(23-24九年级上·吉林长春·阶段练习)如图���ᦙ的两条中线�ᦙ、BE交于点�,����ᦙ,连结���并延长��交�ᦙ于点m,若����ᦙ��,则���ᦙm=()A.6B.8C.9D.12【答案】B�ᦙ���【分析】利用高相等时面积比等于底之比,先求�����,连接ᦙ�,利用中位线得��,进而求出���ᦙ��������,�������,�������,利用两边成比例夹角相等证明�ᦙ����ᦙ��,得到�ᦙ����ᦙ��,得�����,��mᦙ��推出��,得����m,再求���ᦙm即可.m����【详解】∵点ᦙ是�ᦙ中点,�∴�ᦙ��ᦙ,��∵����ᦙ,�ᦙ���,�������ᦙ��,����������ᦙ��,93
�������,����ᦙ��,连接ᦙ�,∵ᦙ,�分别是�ᦙ,�ᦙ中点,�∴ᦙ����,ᦙ����,�∴���ᦙ�����,�ᦙ�����,�����又����ᦙ������ᦙ��,�������,�������,�����ᦙ�ᦙ����ᦙᦙ����ᦙ�����ᦙ����ᦙ�����,��ᦙ�ᦙ��又��,��ᦙ����ᦙ�,ᦙ�ᦙ��∴�ᦙ����ᦙ��,∴�ᦙ����ᦙ��,∴�����,∴ᦙ���m����mᦙ����,m���������m��������,������ᦙm���ᦙ�ᦙ�����ᦙ����m������ᦙ��������.��故选:B.【点睛】本题考查中线平分三角形面积,三角形高相等时面积比等于底之比,三角形中位线性质,三角形相似的判定,平行线分线段成比例等知识点,解题的关键是熟悉并应用相关知识解决问题.题型十七网格中的位似变换例17.(24-25七年级上·山东临沂·开学考试)把三角形A向右平移5格,得到三角形B;将三角形A按���扩大,得到三角形C;把三角形A绕O点顺时针旋转90度得到三角形D.94
【答案】详见解析【分析】图形平移、旋转后与是位置的变化,形状、大小不变,即与原图形全等;图形放大或缩小后,只是大小发生变化,形状不变,即原图形相似,根据平移的特征,把三角形A向右平移5格,得到三角形B;将三角形A按���扩大,得到三角形C;把三角形A绕O点顺时针旋转90度得到三角形D.【详解】解:如图所示:巩固训练1.(2024·江苏无锡·模拟预测)如图,���ᦙ在方格纸中.(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,使�쳌�ͷ�㌳,ᦙ쳌�ͷ�㌳,并求出B点坐标;(2)以原点为位O似中心,相似比为2,在第一象限内将���ᦙ放大,画出放大后的图形�����ᦙ�;(3)计算�����ᦙ�的面积�.【答案】(1)作图见解析,�쳌�ͷ�㌳(2)作图见解析(3)1695
【分析】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法,正确得出对应点位置是解题的关键.画位似图形时先确定位似中心;再分别连接并延长位似中心和关键点;然后根据位似比,确定位似图形的关键点;最后顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.(1)直接利用A,C点坐标得出原点位置进而得出答案;(2)利用位似图形的性质即可得出�����ᦙ�;(3)直接利用(2)中图形求出三角形面积即可.【详解】(1)解:如图所示,即为所求的直角坐标系;��ͷ�;(2)如图:�����ᦙ�即为所求;�(3)������ᦙ����)�����.2.(23-24八年级下·江苏·期末)如下图所示,在�����的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,三角形均为格点三角形(即顶点均在格点上).(1)如图1,���ᦙ绕某一点按逆时针方向旋转一定角度得到�����ᦙ�,则点P,Q,M,N四个点中为旋转中心是点______;96
(2)如图2,以点O为位似中心,把���ᦙ按相似比�′�放大,得到�ᦙ��(其中点A,B,C的对应点分别为点D,E,F).�在图2中画出�ᦙ��;��ᦙ��的面积为______.【答案】(1)Q(2)�见解析;��)【分析】本题主要考查了找旋转中心,画位似图形,割补法求三角形面积:(1)根据旋转中心一定在旋转前后对应点连线的垂直平分线上进行求解即可;(2)�连接��并延长到D使得�ᦙ����,同理得到E、F,再顺次连接D、E、F即可;�利用割补法求解即可.【详解】(1)解:如图所示,线段ᦙᦙ�,���的垂直平分线交于点Q,∴���ᦙ绕点Q按逆时针方向旋转一定角度得到�����ᦙ�,即旋转中心为Q,故答案为:Q;(2)解:�如图所示,�ᦙ��即为所求;97
������ᦙ��������)������)�������),���故答案为:�).3.(2023·安徽淮北·二模)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,已知格点线段��和格点O(格点为网格线的交点).(1)以点O为位似中心,利用网格将线段��放大2倍得到线段����,画出线段����;(2)以线段����为边画格点平行四边形����ᦙ�ᦙ�.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了画已知线段的位似图形以及平行四边形的定义等知识,掌握位似图形的性质是解答本题的关键.(1)根据位似图形的性质画图即可;(2)根据平行四边形的定义,结合网格图即可作答.【详解】(1)解:如图,����即为所求;98
(2)如图,平行四边形����ᦙ�ᦙ�即为所求(本题答案不唯一).题型十八位似中心是坐标原点的位似变化例18.(23-24九年级上·四川宜宾·期末)如图,平面直角坐标系中,���ᦙ的三个顶点坐标分别是��ͷ��、�)ͷ��、ᦙ)ͷ��.(1)画出���ᦙ关于x轴成轴对称的�����ᦙ�;(2)在第一象限内,画出�����ᦙ�以点O为位似中心并扩大到原来的3倍的�����ᦙ�;(3)写出点A2、��的坐标.【答案】(1)见详解(2)见详解(3)点��쳌�ͷ�㌳,点B2(12,9)【分析】本题考查了位似变换,轴对称作图,掌握位似变换的性质是解题的关键.(1)分别作出三顶点关于�轴的对称点,再顺次连接即可得;99
(2)根据位似性质找到A2,��,C2,分别连接起来即可得到答案;(3)根据(2)图即可得A2、��的坐标.【详解】(1)解:如图,�����ᦙ�即为所求作(2)解:如图,�����ᦙ�即为所求作(3)解:由作图知,点��쳌�ͷ�㌳,点B2(12,9).巩固训练1.(23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,���ᦙ的顶点坐标分别为A(2,2),B(4,0),C(4,4).100
(1)在y轴右侧,以O为位似中心,画出�����ᦙ�,使它与���ᦙ的相似比为�′�;(2)写出���ᦙ面积=;�����ᦙ�面积=.【答案】(1)见详解(2)4;1【分析】本题主要考查作图-位似变换,解题的关键是掌握位似变换的定义和性质,并据此得出变换后的对应点及相似三角形的性质.(1)连接��,并延长使OA2OA,同理作出点�和点ᦙ的对应点,再顺次连接即可得;(2)先求出���ᦙ的面积,再利用相似三角形的性质得出两个三角形的面积比求解可得.【详解】(1)解:如图所示,�����ᦙ�即为所求.�(2)解:根据图象可得����ᦙ��)���),�∵�����ᦙ�与���ᦙ的相似比为�′�,∴�����ᦙ�与���ᦙ的面积比为�′),101
��������)��.∴���ᦙ面积����ᦙ))故答案为:4;1.2.(23-24九年级上·山东济南·期末)如图,在平面直角坐标系中,���ᦙ的顶点坐标分别为���ͷ),�)ͷ),ᦙ�ͷ�.(1)以原点O为位似中心,画�����ᦙ�,使它与���ᦙ的相似比为�′�,变换后点A、B的对应点分别为点��、��,点��在第一象限;(2)若��ͷ�为线段�ᦙ上的任一点,则变换后点P的对应点��的坐标为.【答案】(1)见解析��(2)ͷ��【分析】此题主要考查了位似变换,正确得出对应点位置是解题关键.(1)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案;(2)利用位似图形的性质得出对应点坐标即可.【详解】(1)如图所示,���ᦙ即为所求;(2)∵��ͷ�为线段�ᦙ上的任一点,���∴变换后点P的对应点�的坐标为ͷ.��3.(24-25九年级上·山东聊城·阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,���ᦙ的三个顶点坐标分别为���ͷ�、102
���ͷ�、ᦙ��ͷ).(1)以原点O为位似中心,在第二象限内画出将���ᦙ放大为原来的2倍后的�����ᦙ�.(2)画出���ᦙ绕C点逆时针旋转���后得到的�����ᦙ.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了画位似图形,坐标与图形变化—旋转:(1)把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到��、��、ᦙ�的坐标,然后描点连线即可;(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B,C的对应点��、��,即可得到�����ᦙ.【详解】(1)解:如图所示,�����ᦙ�即为所求;(2)解:如图所示,�����ᦙ即为所求.103
题型十九位似中心不是坐标原点的位似变化例19.(23-24九年级上·湖南郴州·期中)已知:���ᦙ在平面直角坐标系内,三个顶点的坐标分别为��ͷ�,��ͷ),ᦙ�ͷ�.(正方形网格中,每个小正方形的边长是�个单位).(1)画出���ᦙ向下平移)个单位得到�����ᦙ�;(2)以点�为位似中心,在网格中画出����ᦙ�,使����ᦙ�与���ᦙ位似,且位似比为�′�,并写出C2点的坐标及����ᦙ�的面积.【答案】(1)见解析(2)见解析,ᦙ��ͷ�,�����ᦙ����【分析】(1)根据平移的性质,将���ᦙ向下平移)个单位长度得到的�����ᦙ�;(2)根据位似的性质,延长��,�ᦙ至A2,C2,使得�������ͷ�ᦙ����ᦙ,连接��ᦙ�,则����ᦙ�即为所求,ᦙ��ͷ�,根据矩形面积减去3个三角形的面积即可求解,本题考查了平移作图,作位似图形,坐标与图形,掌握平移的性质与位似的性质是解题的关键.104
【详解】(1)解:如图所示,�����ᦙ�即为所求,(2)解:如图所示,����ᦙ�即为所求,ᦙ��ͷ�,��������ᦙ����)���������)�����)�����.巩固训练1.(23-24九年级上·湖南郴州·期末)将���ᦙ作下列变化,请画出相应的图形.(1)向上平移)个单位;105
(2)以�点为位似中心,相似比为�.【答案】(1)作图见详解(2)作图见详解【分析】本题主要考查图形的平移,画位似图形,掌握图形平移的方法,位似图形的画法上解题的关键.(1)根据图形平移的方法即可求解;���(2)根据位似图形的做法,延长�ᦙ,��,使得�,即�������即可求解.����【详解】(1)解:向上平移4个单位,作图如下,∴�����ᦙ�即为所求图形;(2)解:以点�为位似中线,相似比为�,作图如下,����∵��,���)�∴�������,即相似比为2,∴����ᦙ�即为所求图形.106
2.(23-24九年级上·湖南衡阳·期末)将图中的���ᦙ作下列变换,画出相应的图形:(1)关于y轴对称图形;(2)以B点为位似中心,将���ᦙ放大到2倍.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据纵坐标不变,横坐标变为相反数,确定变换后的坐标,画图即可.(2)根据位似的性质,确定坐标,后画图即可.本题考查了轴对称作图,位似作图,熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键.【详解】(1)解:根据题意,得��ͷ��,��ͷ��,ᦙ�ͷ�,故对称坐标为��ͷ��,����ͷ��,ᦙ���ͷ�,画图如下:则����ᦙ�即为所求.(2)解:根据题意,画图如下:107
则��ᦙ�即为所求.3.(23-24八年级下·山东淄博·期末)如图,已知点O是坐标原点,小方格的边长为1,A,B,C都在格点上,边�ᦙ与y轴交于点M.(1)以点M为位似中心,在x轴的上方将���ᦙ放大到原图的2倍,(即新图与原图的相似比为2),画出对应的(顶点用实心黑点标记一下);(2)直接写出四边形�����ᦙ�的面积:__________.【答案】(1)见解析(2)33【分析】本题考查基本作图-位似变换,熟练掌握位似变换的性质,正确作出图形是解答的关键.(1)根据位似变换的性质,找到对应点,然后顺次连接即可;(2)利用割补法求解面积即可.【详解】(1)解:如图,�����ᦙ�即为所求作:108
(2)解:四边形�����ᦙ�的面积为�������������������)������������������������33.故答案为:33.题型二十利用位似图形的性质求相似比、周长或面积例20.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)已知在平面直角坐标系中的位置如图所示:(1)在图中画出���ᦙ沿x轴翻折后的�����ᦙ�;(2)以点��ͷ�为位似中心,在第一象限画出与�����ᦙ�位似的三角形�����ᦙ�,使�����ᦙ�与�����ᦙ�的相似比为�′�;(3)点A2的坐标___________;���ᦙ与�����ᦙ�的周长比是___________,���ᦙ与�����ᦙ�的面积比是___________.【答案】(1)图见解析(2)图见解析109
(3)�ͷ�,�′�,�′)【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似:(1)根据轴对称的性质,画出�����ᦙ�即可;(2)根据位似的性质,画出�����ᦙ�即可;(3)直接写出A2的坐标,根据相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方,求解即可.【详解】(1)解:如图所示,�����ᦙ�即为所求;(2)如图所示,�����ᦙ�即为所求;(3)由图可知,���ͷ�,∵翻折,∴���ᦙ������ᦙ�,∵�����ᦙ�与�����ᦙ�的相似比为�′�∴�����ᦙ�与���ᦙ的相似比为�′�,���∴���ᦙ与�����ᦙ�的周长比是�′�,���ᦙ与�����ᦙ�的面积比是�;�)故答案为:�ͷ�,�′�,�′).巩固训练1.(23-24九年级上·山东济南·期末)如图,在平面直角坐标系中,���ᦙ的顶点坐标为���ͷ�,��)ͷ�,ᦙ��ͷ�.110
(1)以点B为位似中心,在点B的下方画出����ᦙ�,使����ᦙ�与���ᦙ位似,且位似比为�′�;(2)求四边形ᦙᦙ����的面积.【答案】(1)作图详见解析��(2)�【分析】本题考查了位似的性质,平面直角坐标系内三角形面积的求法,(1)根据相似比的以及点�ͷ�ͷᦙ的坐标即可求得����ᦙ�;(2)根据位似的性质可得到的坐标,利用割补法即可求得四边形ᦙᦙ����的面积.【详解】(1)解:如图所示,����ᦙ�即为所求,��(2)解:����ᦙ����������,��∵����ᦙ�与���ᦙ位似,且位似比为�′�;����ᦙ�则�,�����ᦙ�)∴������.��ᦙ�����四边形ᦙᦙ����������ᦙ������ᦙ�������.2.(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,���ᦙ的顶点坐标分别是���ͷ�,111
���ͷ�,ᦙ��ͷ�.(1)以原点�为位似中心,在第四象限画一个�����ᦙ�,使�����ᦙ�与���ᦙ的相似比为�′�;点ᦙ�的坐标为_______;(2)若���ᦙ的周长是���cm,则�����ᦙ�的周长为______cm.【答案】(1)画图见解析,�ͷ�)(2)����【分析】本题主要考查了在坐标系中画位似图形,求位似图形对应点坐标,位似图形的性质,正确找到对应点位置从而画出对应的位似图形是解题的关键.(1)把A、B、C的横纵坐标都分别乘以��得到��、��、ᦙ�的横纵坐标,再描出��、��、ᦙ�,并顺次连接��、��、ᦙ�即可;(2)根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可.【详解】(1)解:如图所示,�����ᦙ�即为所求,∴点ᦙ�的坐标为�ͷ�)112
(2)解:∵�����ᦙ�与���ᦙ关于原点位似,且相似比为�′�,���ᦙ的周长是���cm,∴�����ᦙ�的周长为���������cm,故答案为:����.3.(23-24九年级下·湖南郴州·开学考试)如图,平面直角坐标系中,���ᦙ的顶点都在正方形网格的格点上.(1)以O点为位似中心,位似比为2,将���ᦙ放大为�����ᦙ�,请在网格图中画出�����ᦙ�;(2)若���ᦙ,�����ᦙ�的面积为S、��,写出S,��的数量关系.【答案】(1)见解析(2))����【分析】(1)分别确定A,B,C的位似对应点��,��,ᦙ�,再顺次连接即可;(2)由位似图形的面积比等于相似比的平方可得答案.【详解】(1)解:如图所示:�����ᦙ�即为所求;113
(2)由以O点为位似中心,位似比为2,将���ᦙ放大为�����ᦙ�,���ᦙ,�����ᦙ�的面积为S、��,则S,��的数量关系为:)����.【点睛】本题考查的是在坐标系内画位似图形,位似图形的性质,熟记位似图形的性质并应用于画图是解本题的关键.114
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