2025年高考数学一轮复习教学课件第6章 第2课时　等差数列

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第六章　数列 第2课时　等差数列对应学生用书第134页 1234考试要求理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的情境问题中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 链接教材　夯基固本第2课时　等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，_叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝____．同一个常数Aa＋b 2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝_____________．(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.3．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列{an}的第n项an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是一次函数f(x)＝dx＋a1－d当x＝n时的函数值，一次项系数为公差d.若公差d＞0，则{an}为递增数列；若公差d＜0，则{an}为递减数列．(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n可以看成二次函数f(x)＝x2＋x当x＝n时的函数值，常数项为0.a1＋(n－1)d [常用结论]等差数列的常用性质(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(3)等差数列{an}的前n项和Sn满足：数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，且公差为m2d．(4)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的. (5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，＝.(6)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.(7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2．()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()×√√× 二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P15练习T4改编)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于()A．B．C．2D．－√A[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，又a10＝6，∴公差d＝＝＝.故选A.] 2．(人教A版选择性必修第二册P23练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A．35B．42C．49D．63√B[法一：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42.故选B.法二：∵{an}为等差数列，∴也为等差数列，∴＝，∴S15＝42.故选B.] 3．(人教A版选择性必修第二册P23例9改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________．30[由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋d＝－n2＋11n.当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30．]4．(人教A版选择性必修第二册P23练习T5改编)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为________．29[设项数为2n－1，则该数列的中间项为an＝S奇－S偶＝319－290＝29．]3029 典例精研　核心考点第2课时　等差数列考点一　等差数列基本量的运算[典例1](1)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝()A．25B．22C．20D．15(2)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸√√ (1)C(2)B[(1)法一：由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9．设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20.故选C.法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5，①由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，②由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20.故选C.(2)由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，∴解得∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)．即二尺五寸．故选B.] 名师点评解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． [跟进训练]1．(1)设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝a5，则＝()A．15B．1C．－1D．－9(2)在数列{an}中，a1＝2，＝，则数列{an}的通项公式为an＝_______．√(1)D(2)2n2[(1)设等差数列{an}的公差为d，d≠0.∵a4＝a5，∴a4＝(a4＋d)，解得a4＝d，a5＝2d.∴a1＝a4－3d＝－2d，∴a1＋a4＝－d.∴＝＝＝＝－9.故选D.(2)由＝得＝，而＝，于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，则有＝＋(n－1)d＝(n－1)＝n，所以数列的通项公式为an＝2n2．]2n2 【教师备选资源】写出一个“公差为2且前3项之和小于第3项”的等差数列的一个通项公式，则an＝____________________．2n－6(答案不唯一)[要满足“前3项之和小于第3项”，则a1＋a2＋a3<a3，即a1＋a2<0，则不妨设a1＝－4，a2＝－2，则an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6．]2n－6(答案不唯一) 考点二等差数列的判定与证明[典例2](2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.[证明]①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋d＝n2a1.因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，所以＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列． ①②⇒③.已知{an}是等差数列，{}是等差数列．设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d＝n2d＋n.因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{}的公差为d，d>0，则＝＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，当n＝1时，也满足，所以an＝2d2n－d2＝d2＋(n－1)·2d2，所以数列{an}是等差数列． 名师点评判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． [跟进训练]2．(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an－2n-1，证明：是等差数列．(2)已知数列{an}的前n项的积记为Tn，且满足＝，证明：数列{Tn}为等差数列．[证明](1)由Sn＝an－2n-1，得Sn＋1＝an＋1－2n.所以(Sn＋1－Sn)＝an＋1－an－2n-1，即an＋1＝an＋1－an－2n-1，整理得an＋1－2an＝2n，上式两边同时除以2n，得＝1.又Sn＝an－2n-1，所以a1＝a1－1，即a1＝2，所以是首项为2，公差为1的等差数列．(2)因为＝，当n＝1时，＝＝，即＝3a1，易知a1≠0，则T1＝a1＝3，当n≥2时，＝＝＝，所以1＝，即Tn－Tn－1＝2，故数列{Tn}是以3为首项，2为公差的等差数列． 【教师备选资源】数列满足a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1.(1)求a2，a3；(2)证明是等差数列，并求的通项公式．[解](1)由a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1，可知4a2＋1＝3＋a2，a2＝，4a2a3＋1＝3a2＋a3，a3＝.(2)由已知得，an＋1＝.∴＝＝＝＝2，又∵＝＝1，∴是以1为首项，2为公差的等差数列，∴＝2n－1，解得an＝. 考点三　等差数列性质的应用考向1等差数列项的性质[典例3](1)(2024年1月九省联考卷)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝()A．120B．140C．160D．180(2)已知等差数列满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则a4－3a6的值为()A．－6B．6C．－12D．12(1)C(2)A[(1)因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝8(a5＋a12)＝160.故选C.(2)由等差中项的性质可得a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，设等差数列的公差为d，则a4－3a6＝a4－a6－2a6＝－2d－2a6＝－2(a6＋d)＝－2a7＝－6.故选A.]√√ 考向2等差数列前n项和的性质[典例4](1)(2023·广东深圳二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝10，则S30＝()A．0B．－10C．－30D．－40(2)有两个等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn.①若＝，则＝________；②若＝，则＝________．√ (1)C(2)①②[(1)由等差数列{an}的前n项和的性质可得：S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20),∴2×(10－20)＝20＋S30－10，解得S30＝－30.故选C.(2)①若＝，则＝＝＝.②若＝＝，则可设Sn＝(2n2－n)k，Tn＝(3n2＋n)k，所以a5＝S5－S4＝45k－28k＝17k，b4＝T4－T3＝52k－30k＝22k，所以＝.] 名师点评利用等差数列的性质解题的三个关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般考虑应用项的性质，如利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分．(2)在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化．(3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m. [跟进训练]3．(1)(2023·湖南岳阳一模)已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为()A．1666B．1654C．1472D．1460(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且－1＝0，S2m－1＝39，则m等于()A．39B．20C．19D．10(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，＝6，则S2024＝__________．√√10120 (1)A(2)B(3)10120[(1)有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：2，14，26，38，50，…，182，194，共有＋1＝17项，是公差为12的等差数列，故新数列前17项的和为×17＝1666，即数列{an}的各项之和为1666.故选A.(2)数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则－1＝0可化为－1＝0，解得am＝1．又S2m－1＝(2m－1)am＝39，则m＝20.故选B.(3)由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则＝6d＝6，所以d＝1，所以＝＋2023d＝－2018＋2023＝5，所以S2024＝10120．] 考点四　等差数列的前n项和及其最值[典例5]在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．[四字解题]读想算思S10＝S15；求Sn的最大值及相应n的值求最值的方法函数法前n项和Sn数形结合图象法邻项变号法通项an转化化归性质法性质am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*) [解]法一(函数法)：因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，解得d＝－.Sn＝20n＋＝－n2＋n＝－＋.因为n∈N*，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.法二(图象法)：因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，所以d＝－.又＝12.5，所以当n＝12或13时，Sn取得最大值．因为S12＝S13＝12×20＋＝130，所以最大值为S12＝S13＝130. 法三(邻项变号法)：因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，所以d＝－.an＝20＋(n－1)×＝－n＋.因为a1＝20>0，d＝－<0，所以数列{an}是递减数列．由an＝－n＋≤0，得n≥13，即a13＝0.当n≤12时，an＞0；当n≥14时，an＜0.所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋＝130.法四(性质法)：由S10＝S15得S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，所以5a13＝0，即a13＝0.又d＝＝－，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋＝130. 名师点评求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数的最值的方法求解．特别提醒，n∈N*.(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm. [跟进训练]4．(1)(2024·辽宁铁岭模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12>0，S13<0，则以下选项中，最大的是()A．S12B．S7C．S6D．S1(2)(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.①求{an}的通项公式；②求数列{|an|}的前n项和Tn.√ (1)C[因为S12>0，所以＝>0，所以a6＋a7>0，又因为S13<0，所以＝<0，所以a7<0，又a6＋a7>0，所以a6>0，所以为递减数列，且前6项为正值，从第7项开始为负值，所以(Sn)max＝S6.故选C.](2)[解]①设{an}的公差为d，则解得a1＝13，d＝－2.所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n.②由①得|an|＝当n≤7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2，当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2.综上，Tn＝ 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(三十七)等差数列 THANKS