2025年高考数学一轮复习教学课件第4章 高考培优5　与三角形有关的范围(最值)问题

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第四章三角函数与解三角形 高考培优5与三角形有关的范围(最值)问题对应学生用书第108页 题型一　已知三角形的一角求取值范围[典例1](2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2bsinA－a＝0.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．[解](1)由正弦定理，得2sinBsinA＝sinA，因为sinA≠0，0＜B＜，故sinB＝，B＝. (2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A.由△ABC是锐角三角形，得A∈.由cosC＝cos＝－cosA＋sinA，得cosA＋cosB＋cosC＝sinA＋cosA＋＝sin∈.故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是.名师点评题中的三角形形状是锐角三角形，对角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，转化为求三角函数取值范围问题． [跟进训练]1．若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；的取值范围是___________．60°(2，＋∞)[由已知得(a2＋c2－b2)＝acsinB，所以＝sinB，由余弦定理得cosB＝sinB，所以tanB＝，所以B＝60°.又C＞90°，B＝60°，所以A＜30°，且A＋C＝120°，所以＝＝＝.又A＜30°，所以0＜tanA＜，即＞，所以＞＝2．]60°(2，＋∞) 【教师备选资源】1．已知在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，则的取值范围是()A．B．C．D．D[因为A＝，由正弦定理可得＝＝＝＝＝，因为所以<B<<2B－<，所以<sin≤1，<≤2，即的取值范围是.]√ 2．(2023·山东烟台二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsinB＝b2－(a－c)2.(1)求sinB；(2)求的最小值．[解](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得acsinB＝b2－(a－c)2＝－2accosB＋2ac，由ac≠0，得sinB＋2cosB＝2，即cosB＝1－sinB，又因为sin2B＋cos2B＝1，所以sin2B＋＝1，即5sin2B－4sinB＝0，在△ABC中，sinB＞0，所以sinB＝.(2)由(1)知sinB＝，则cosB＝1－sinB＝1－＝，得b2＝a2＋c2－ac，所以＝＝1－·1－＝，当且仅当a＝c时等号成立．所以的最小值为. 题型二　已知三角形的一角及其对边求取值范围[典例2](2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．[四字解题]读想算思BC＝3，求△ABC周长的最大值最值的求法基本不等式余弦定理及AC·AB≤求周长的范围转化化归、函数与方程三角函数利用正弦定理把BC，AC，AB表示成三角函数，再求最值 [解](1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA.②由①②得cosA＝－.因为0＜A＜π，所以A＝.(2)法一(基本不等式)：由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，即(AC＋AB)2－AC·AB＝9.因为AC·AB≤(当且仅当AC＝AB时取等号)，所以9＝(AC＋AB)2－AC·AB≥(AC＋AB)2－＝(AC＋AB)2，解得AC＋AB≤2(当且仅当AC＝AB时取等号)，所以△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋2，所以△ABC周长的最大值为3＋2. 法二(三角函数法)：由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sinB，AB＝2sin(π－A－B)＝3cosB－sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋sinB＋3cosB＝3＋2sin.又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.名师点评本题的求解可采用两种思路：思路一是借助余弦定理及AC·AB≤求周长的范围；思路二是借助正弦定理把AC，AB表示成三角函数，利用三角函数的性质求最值．重视在余弦定理中利用基本不等式，体现a＋b，ab，a2＋b2三者互化，进而求三角形面积的最值或周长的最值． [跟进训练]2．(2023·山东菏泽二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R＝2，且tanB＋tanC＝.(1)求B和b的值；(2)求AC边上高的最大值．[解](1)∵tanB＋tanC＝，∴＝，即sinBcosC＋cosBsinC＝sinAcosB，∴sin(B＋C)＝sinAcosB，∴sinA＝sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝，∵0＜B＜π，∴B＝，由正弦定理得＝2R，∴b＝2R·sinB＝2×2＝4. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得42＝a2＋c2－ac，由基本不等式可得16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，当且仅当a＝c时取等号，∴ac≤＝8(2＋)，∴S△ABC＝acsinB＝ac≤×8(2＋)＝4＋4，又S△ABC＝·b·h，∴h≤2＋2.∴AC边上高的最大值为2＋2. 题型三　已知三角形的一角及其邻边求取值范围[典例3]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sin＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，故sin＝，所以B＝60°. (2)由题设及(1)知S△ABC＝a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝＝＝.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.结合A＋C＝120°，得30°＜C<90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜.因此，△ABC面积的取值范围是.名师点评本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能利用基本不等式求解，可以将边转化成三角函数后进行求解，求解思路类似于典例2．锐角三角形中求最值或范围尽量向角转化，因为用基本不等式无法转化锐角三角形这个条件． [跟进训练]3．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝，则a＋b的取值范围是__________________．(1＋，4＋2)[因为c＝2，A＝，则由正弦定理，可得a＝＝，b＝＝，所以a＋b＝＝1＋＝1＋＝1＋，由△ABC是锐角三角形，可得0<C<，0<－C<，则<C<，所以<<，2－<tan<1.所以1＋<a＋b<4＋2.](1＋，4＋2) 题型四　已知三角形中角(或边)的关系求取值范围[典例4](12分)(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.(1)若C＝，求B；(2)求的最小值．[规范解答](1)因为＝＝＝，所以sinB＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝－cosC＝，而0＜B＜，所以B＝.·····4分 (2)由(1)知，sinB＝－cosC＞0，所以＜C＜π，0＜B＜，而sinB＝－cosC＝sin，··························6分↓所以C＝＋B，所以A＝－2B.····························7分所以＝·······························8分↓＝＝＝4cos2B＋－5················10分≥2－5＝4－5，································11分当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5.················12分名师点评本题第(1)问难度较小，可以从中体会由角B，C的关系求B，进而发现求解第(2)问需要的角A，B，C的关系，再采用消元思想求解，解题的关键点是“sinB＝－cosC＝sin”． [跟进训练]4．(1)(2024·河南安阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围为()A．(3，4]B．C．D．(2，5](2)(2024·山东烟台模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，BD＝1且b＝2，则△ABC周长的最小值为___________．(1)C(2)2＋2[(1)∵A＝2B，B＋2B＋C＝π，∴B∈，sinA＝sin2B＝2sinBcosB，sinC＝sin(A＋B)＝sin3B＝3sinB－4sin3B，由正弦定理可得＝＝＝6cosB＋4(1－cos2B)－3＝－4cos2B＋6cosB＋1，令cosB＝t∈，则＝－4t2＋6t＋1，由二次函数性质知－4t2＋6t＋1∈，∴∈.故选C.√2＋2 (2)因为∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，即acsin∠ABC＝BD·c·sinBD·a·sin，因为sin≠0，所以由二倍角公式可得2accos＝a＋c，即cos＝，所以cos∠ABC＝2cos2－1＝2－1，由余弦定理的推论得，cos∠ABC＝，所以2－1＝，整理得(a＋c)2＝ac[(a＋c)2－4]，所以(a＋c)2＝ac[(a＋c)2－4]≤·[(a＋c)2－4]，整理得(a＋c)2≥8，所以a＋c≥2，当且仅当a＝c＝时等号成立，所以△ABC周长的最小值为2＋2.] 【教师备选资源】(2024·山东济南期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(b，a)，n＝，且m∥n.(1)若c＝4，b＝a，求△ABC的周长；(2)若＝2，||＝，求a＋c的取值范围．[解](1)因为m∥n，所以bcos＝acos，由正弦定理得，sinBsinA＝sinAcos，又sinA≠0，则sinB＝cos＝cos＝sin，即2sincos＝sin，而sin≠0，故cos＝，则B＝，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得7a2＝a2＋16－2a×4×，整理可得3a2－2a－8＝0，解得a＝2或a＝－(舍去)，则b＝2，故△ABC的周长为6＋2. (2)设∠BCM＝α∈，∠BMC＝－α，由正弦定理得，＝＝，即＝＝＝2，故c＝3sinα，a＝－sinα＋cosα，所以a＋c＝2sinα＋cosα＝sin(α＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，tanφ＝，φ∈，因为0<α<，所以φ<α＋φ<＋φ，又因为<φ<，所以φ＋>，即当α＋φ＝时，a＋c取得最大值.又因为sin＝sinφcos＋cosφsin＝＝，所以sin＝>sinφ＝，故a＋c的取值范围为. THANKS