2025年高考数学一轮复习教学课件第4章 高考培优4　三角函数中ω的范围问题

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第四章三角函数与解三角形 高考培优4三角函数中ω的范围问题对应学生用书第101页 √题型一　三角函数的单调性与ω的关系[典例1](2024·河北张家口模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递减，则ω的取值范围为()A．(0，1]B．[1，2]C．D．C[设函数f(x)的最小正周期为T，由题意得π－，即T≥π，又T＝，所以解得0＜ω≤2，又x∈，所以ωx＋∈，所以＜ω＋，要使函数f(x)在上单调递减，则解得≤ω≤.故选C.]名师点评根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，从而建立关于ω的不等式组，求得ω的取值范围． [跟进训练]1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)满足f＝2，f(π)＝0，且f(x)在区间上单调，则符合条件的ω的值有________个．9[设函数f(x)的最小正周期为T，由f＝2，f(π)＝0，结合正弦函数图象的特征可知＝，k∈N，故T＝，k∈N.又因为f(x)在区间上单调，所以，故T，所以ω＝≤12，即≤12，所以k≤，k∈N，所以k＝0，1，2，…，8，符合条件的ω的值有9个．]9 √题型二　三角函数图象的对称性与ω的关系[典例2]若函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为()A．(5，8)B．(5，8]C．(5，11]D．[5，11)B[由题意，函数f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin，因为x∈，可得＜ωx＋＜(1＋ω)，要使得函数f(x)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜(1＋ω)≤，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8].]名师点评解决此类问题的关键在于弄清周期T＝与所给区间的关系，建立关于ω的不等式组，进而求出ω的取值范围． [跟进训练]2．(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)，若直线x＝是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，点是函数y＝f(x)的图象的一个对称中心，则ω的最小值为________．[根据题意可得ω×＋φ＝＋k1π，ω×＋φ＝k2π，k1，k2∈Z，两式相减得ωπ＝＋(k1－k2)π＝＋kπ，k∈Z，又ω＞0，故ωmin＝.] √题型三　三角函数的最值与ω的关系[典例3](2024·山东日照模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，且f(x)在区间上只取得一次最大值，则ω的取值范围为()A．B．C．D．B[由于函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，x∈，ωx＋∈，－ω＋－且ω＋，解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤.又因为f(x)在区间上只取得一次最大值，即x∈时，ωx＋∈.所以ω＋＜，解得≤ω＜.综上知，ω的取值范围是.故选B.]名师点评利用三角函数的最值、极值与区间的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的取值范围． [跟进训练]3．若函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是________________．[由f(x)在区间(π，2π)内没有最值，知f(x)在区间(π，2π)上单调．由x∈(π，2π)可得ωx＋∈.当f(x)在区间(π，2π)上单调递增时，可得－＋2kπ≤ωπ＋<2ωπ＋＋2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤ω≤＋k，k∈Z，当k≠0时，无解，令k＝0，得－≤ω≤，又ω>0，故0<ω≤；当f(x)在区间(π，2π)上单调递减时，可得＋2kπ≤ωπ＋<2ωπ＋＋2kπ，k∈Z，解得＋2k≤ω≤＋k，k∈Z，当k≠0时，无解，令k＝0，得≤ω≤.综上，ω∈.] 题型四　三角函数的零点与ω的关系[典例4](2024·江苏南通模拟)已知函数f(x)＝sinπωx－cosπωx(ω＞0)在[0，1]内恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是___________．[因为f(x)＝sinπωx－cosπωx＝2sin(ω＞0)，且当0≤x≤1时，－≤πωx－≤πω－，因为函数f(x)在[0，1]内恰有3个最值点和4个零点，所以3π≤πω－＜，解得≤ω＜.]名师点评三角函数相邻两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围． [跟进训练]4．(多选)(2024·江苏无锡模拟)已知函数f(x)＝cos(ω＞0)，则下列说法正确的是()A．若f(x)＝f(π－x)，则ω的最小值为B．若将f(x)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数，则ω的最小值为C．若f(x)在上单调递减，则0＜ω≤D．若f(x)在上只有1个零点，则0＜ω＜√√√ ABC[对于A，由f(x)＝f(π－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝对称，所以ω·＝kπ，k∈Z，可得ω＝2k－，k∈Z，因为ω＞0，所以ω的最小值为，故A正确；对于B，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数是g(x)＝cos＝cos，因为g(x)为奇函数，所以－ω＋＝＋kπ，k∈Z，则ω＝－－2k，k∈Z，所以ω的最小值为，故B正确； 对于C，函数f(x)＝cos(ω＞0)的单调递减区间为：2kπ≤ωx＋≤π＋2kπ，k∈Z，则≤x≤，k∈Z，令k＝0，－≤x≤，则π⇒0＜ω≤，故C正确；对于D，若f(x)在上只有1个零点，则0＜ω＜，取ω＝1，令f(x)＝cos＝0，则x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z，所以当x∈时，f(x)无零点，故D错误．故选ABC.] THANKS