2025年高考数学一轮复习教学课件第4章 第2课时　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第四章三角函数与解三角形 第2课时　同角三角函数的基本关系式与诱导公式对应学生用书第85页 考试要求理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.掌握诱导公式，并会简单应用． 链接教材　夯基固本第2课时　同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝_；(2)商数关系：tanα＝．2．诱导公式角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosα_____余弦cosα－cosαcosα________sinα－sinα正切tanαtanα－tanα________口诀奇变偶不变，符号看象限1cosα－cosα－tanα [常用结论]基本关系常用变形平方关系sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)商数关系sinα＝tanαcosα和积互化(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα弦切互化sin2α＝＝，cos2α＝＝，sinαcosα＝＝，其中α≠＋kπ，k∈Z 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1．()(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若sin＝，则cosα＝－．()×××√ 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P183例6改编)已知sinα＝≤α≤π，则tanα＝()A．－2B．2C．D．－D[因为≤α≤π，所以cosα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－.]2．(人教A版必修第一册P186习题5.2T15改编)已知tanα＝，则的值为________．－[原式＝＝＝－.]√－ 3．(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)化简·cos(π－α)的结果为________．－sinα[原式＝(－cosα)＝－sinα.]4．(人教A版必修第一册P185习题5.2T12改编)已知sinα·cosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα＝________．－[因为＜α＜，所以sinα＞cosα，而(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，所以cosα－sinα＝－.]－sinα－ 典例精研　核心考点第2课时　同角三角函数的基本关系式与诱导公式考点一　同角三角函数的基本关系式考向1“知一求二”问题[典例1](1)若α∈，sin(π－α)＝，则tanα＝()A．－B．C．－D．(2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tanθ＝，则sinθ－cosθ＝_______．(1)C(2)－[(1)因为α∈，sin(π－α)＝sinα＝，所以cosα＝－，所以tanα＝－，故选C.(2)由且θ∈，解得故sinθ－cosθ＝－.]√－ 考向2关于sinα，cosα齐次式的求值问题[典例2]已知tanx＝3，则＝_____，sinx·cosx＝_______．[法一：因为tanx＝3，所以＝3，即sinx＝3cosx，所以＝＝＝.因为sin2x＋cos2x＝1，所以sin2x＋cos2x＝9cos2x＋cos2x＝1，解得cos2x＝，所以sinx·cosx＝3cosx·cosx＝3cos2x＝3×＝.法二：＝＝.sinx·cosx＝＝＝.] 考向3sinα±cosα与sinαcosα关系的应用[典例3](多选)(2024·浙江金华模拟)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则()A．sinθcosθ＝－B．sinθ－cosθ＝C．sinθ－cosθ＝D．tanθ＝－√ACD[对于A，因为sinθ＋cosθ＝，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，即sinθcosθ＝－，所以A正确；对于B，C，(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，因为θ∈(0，π)，且sinθcosθ＝－<0，所以sinθ>0，cosθ<0，即sinθ－cosθ>0，所以sinθ－cosθ＝，所以B错误，C正确；对于D，联立解得sinθ＝，cosθ＝－，所以tanθ＝－，所以D正确．故选ACD.]√√ 名师点评(1)利用“方程”思想，解决知弦求切，知切求弦问题．(2)应用“弦切互化”思想，解决同角三角函数基本关系的齐次式求值问题．(3)sinα±cosα与sinαcosα互化，可解方程组求sinα，cosα. [跟进训练]1．(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝3x上，则cos2θ＝()A．－B．－C．D．(2)(2024·山东济南模拟)已知θ为第三象限角，sinθ－cosθ＝－，则＝()A．－B．－C．D．√√ (1)A(2)B[(1)因为终边在直线y＝3x上，所以分别在第一象限、第三象限取点(1，3)，(－1，－3)，∴tanθ＝3，∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－，故选A.(2)由sinθ－cosθ＝－，且sin2θ＋cos2θ＝1，解得又因为θ为第三象限角，所以sinθ<0，cosθ<0，所以所以＝＝－.故选B.] 考点二　诱导公式的应用[典例4](1)下列各数中，与sin2024°的值最接近的是()A．B．C．－D．－(2)(2024·东北师大附中模拟)已知cos＝，则sincos＝()A．－B．C．－D．(1)C(2)A[(1)∵2024°＝5×360°＋180°＋44°，∴sin2024°＝－sin44°.故选C.(2)由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得sin＝sin＝sin，cos＝cos＝－sin，所以sincos＝－sin2＝cos2－1＝－1＝－.故选A.]√√ 名师点评常见的互余和互补的角互余的角－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α互补的角＋θ与－θ；＋θ与－θ [跟进训练]2．(1)已知cos(75°＋α)＝，则cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝________．(2)(2024·宁夏吴忠模拟)已知角α终边上一点P(1，－2)，则＝________．(1)0(2)3[(1)因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＝0.(2)因为角α终边上一点P(1，－2)，所以tanα＝＝－2，又＝＝＝3．]03 考点三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用[典例5](1)已知α为锐角，且＝tan，则α＝()A．B．C．D．(2)(多选)α为第一象限角，cos＝，则()A．sin＝－B．cos＝－C．sin＝－D．tan＝－(1)C(2)BD[(1)由条件得＝，又因为α为锐角，所以sin＝cos，即sin＝sin，所以α－＝，解得α＝.故选C.√√√ (2)由题意得2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，则2kπ－<α－<＋2kπ，k∈Z，若α－在第四象限，则cos>cos＝>，不合题意．所以α－是第一象限角，所以sin＝.sin＝sin＝cos＝cos＝，A项错误；cos＝cos＝－cos＝－，B项正确；sin＝sin＝－cos＝－cos＝－，C项错误；tan＝－tan＝－＝－，D项正确．故选BD.]名师点评(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．(3)利用诱导公式，关键是符号问题． [跟进训练]3．已知sin(53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin(37°＋α)的值．[解]由已知－270°<α<－90°可得，143°<53°－α<323°，所以cos(53°－α)＝－＝－＝－，所以sin(37°＋α)＝sin[90°－(53°－α)]＝cos(53°－α)＝－. 【教师备选资源】(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件B[当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cosβ＝0成立的必要不充分条件．故选B.]√ 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结同角三角函数的基本关系式与诱导公式课时分层作业(二十四) THANKS