2025年高考数学一轮讲义第4章 第2课时　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第2课时　同角三角函数的基本关系式与诱导公式[考试要求]　1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.2．掌握诱导公式，并会简单应用．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝__；(2)商数关系：tanα＝____．2．诱导公式角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosα_________余弦cosα－cosαcosα____________sinα－sinα正切tanαtanα－tanα____________口诀奇变偶不变，符号看象限[常用结论]基本关系常用变形平方关系sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)商数关系sinα＝tanαcosαα≠kπ+π2，k∈Z和积互化(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα弦切互化sin2α＝sin2αsin2α+cos2α＝tan2αtan2α+1，cos2α＝cos2αsin2α+cos2α＝1tan2α+1，sinαcosα＝sinαcosαsin2α+cos2α＝tanαtan2α+1，其中α≠π2＋kπ，k∈Z5/5 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1．(　　)(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．(　　)(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　　)(4)若sin3π2-α＝13，则cosα＝－13．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P183例6改编)已知sinα＝55，π2≤α≤π，则tanα＝(　　)A．－2　　B．2　C．12　　D．－122．(人教A版必修第一册P186习题5.2T15改编)已知tanα＝13，则sinα-cosαsinα+2cosα的值为________．3．(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)化简cosα-π2sin5π2+α·cos(π－α)的结果为________．4．(人教A版必修第一册P185习题5.2T12改编)已知sinα·cosα＝38，且π4＜α＜π2，则cosα－sinα＝________．考点一　同角三角函数的基本关系式　“知一求二”问题[典例1]　(1)若α∈π2，π，sin(π－α)＝35，则tanα＝(　　)A．－43　　B．43　C．－34　　D．34(2)(2023·全国乙卷)若θ∈0，π2，tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 　关于sinα，cosα齐次式的求值问题[典例2]　已知tanx＝3，则sinx+2cosx2sinx-3cosx＝________，sinx·cosx＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　sinα±cosα与sinαcosα关系的应用[典例3]　(多选)(2024·浙江金华模拟)已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，则(　　)A．sinθcosθ＝－1225　B．sinθ－cosθ＝1225C．sinθ－cosθ＝75　D．tanθ＝－43[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)利用“方程”思想，解决知弦求切，知切求弦问题．(2)应用“弦切互化”思想，解决同角三角函数基本关系的齐次式求值问题．(3)sinα±cosα与sinαcosα互化，可解方程组sinα+cosα=a，sinα-cosα=b，求sinα，cosα.[跟进训练]1．(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝3x上，则cos2θ＝(　　)A．－45　B．－25C．25　D．45(2)(2024·山东济南模拟)已知θ为第三象限角，sinθ－cosθ＝－15，则cosθ1-2sin2θsinθ+cosθ＝(　　)A．－425　B．－3255/5 C．325　D．425考点二　诱导公式的应用[典例4]　(1)下列各数中，与sin2024°的值最接近的是(　　)A．22　B．32C．－22　D．－32(2)(2024·东北师大附中模拟)已知cosπ6-α＝13，则sin5π6+αcos2π3-α＝(　　)A．－89　B．89C．－229　D．229[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　常见的互余和互补的角互余的角π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α互补的角π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ[跟进训练]2．(1)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝________．(2)(2024·宁夏吴忠模拟)已知角α终边上一点P(1，－2)，则2sinπ-α-cosπ+αsinπ2-α+cos3π2+α＝________．考点三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用[典例5]　(1)已知α为锐角，且sinα+π3sinα-π3＝tanα+π3，则α＝(　　)A．π12　B．π6C．π4　D．π3(2)(多选)α为第一象限角，cosα-π8＝74，则(　　)A．sin5π8-α＝－745/5 B．cosα+7π8＝－74C．sin13π8-α＝－34D．tanπ8-α＝－377[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．(3)利用诱导公式，关键是符号问题．[跟进训练]3．已知sin(53°－α)＝15，且－270°<α<－90°，求sin(37°＋α)的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5