2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第4章　§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα余弦cosα正切tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)使sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　　)(2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.(　　)(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)(4)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　)4 教材改编题1．若cosα＝，α∈，则tanα等于(　　)A．－B.C．－2D．22．若sinα＋cosα＝，则sinαcosα等于(　　)A．－B．－C.D．23．化简·cos(2π－α)的结果为．题型一　同角三角函数基本关系例1　(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，则下列结论正确的是(　　)A．θ∈B．cosθ＝－C．tanθ＝－D．sinθ－cosθ＝(2)已知cosα＝－，则13sinα＋5tanα＝.(3)已知tanα＝2，则＝；sin2α＋cos2α＝.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin2α等于(　　)A.B．－C．－3D．34 (2)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cosα＝，则sinα－cosα的值为(　　)A.B．－C.D．－题型二　诱导公式例2　(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)A．sin(3π－x)＝－sinxB．sin ＝－cos C．cos＝sin3xD．cos＝－sin2x(2)已知sin＝，且0<x<，则sin－cos的值为．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．跟踪训练2　(1)若＝，则tanα等于(　　)A.B．－C．－D.(2)已知cos＝，则sin的值为(　　)A.B．－C.D．－题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3　(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是(　　)A.B.C.D.4 (2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－.则＝.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．跟踪训练3　(1)(2023·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sinα，则2sin2α－sinαcosα等于(　　)A.B.C.D．2(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝，sin＝.4