2025年高考数学一轮复习教学课件第2章 第7课时　指数与指数函数

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第二章函数的概念与性质 第7课时　指数与指数函数对应学生用书第35页 考试要求掌握根式与分数指数幂的互化，掌握指数幂的运算性质.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 链接教材　夯基固本第7课时　指数与指数函数1．根式(1)如果xn＝a，那么__叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)式子叫做______，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)()n＝___．当n为奇数时，＝_；当n为偶数时，＝|a|＝x根式aa 2．分数指数幂正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝____；(ar)s＝___；(ab)r＝___(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中_____是自变量，定义域是R，_是底数．(2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．0ar＋sarsarbr指数xa (3)指数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域R值域___________性质过定点________，即x＝0时，y＝_当x>0时，____；当x<0时，_______当x<0时，____；当x>0时，_______在(－∞，＋∞)上是__函数在(－∞，＋∞)上是__函数(0，＋∞)(0，1)1y>10<y<1y>10<y<1增减 [常用结论]指数函数图象的特点(1)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y＝ax与y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)＝()n＝a．()(2)函数y＝a－x是R上的增函数．()(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n．()××× 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简的结果为()A．5B．C．－D．－5B[原式＝＝.]2．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f(－1)＝()A．1B．2C．D．3C[依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.]√√ √3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5＞1.73B．C．1.70.3＞0.93.1D．＜BCD[因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；因为，y＝，故B正确；因为1.70.3＞1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y＝，又y＝在(0，+∞)上单调递增，所以，故D正确.]√√ 4．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f(x)＝a+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f(－2)＝________．[因为f(x)的图象过原点，所以f(0)＝a＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f(x)的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f(x)＝－＋1，所以f(－2)＝－＋1＝.] 典例精研　核心考点第7课时　指数与指数函数考点一　指数幂的运算[典例1](1)(多选)已知a＋a-1＝3，则下列正确的是()A．a2＋a-2＝7B．a3＋a-3＝18C．+＝±D．a+＝2(2)计算：·＝________(a>0，b>0)．(1)ABD(2)[(1)因为a＋a-1＝3，所以a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝9－2＝7，故选项A正确；因为a＋a-1＝3，所以a3＋a-3＝(a＋a-1)(a2－1＋a-2)＝(a＋a-1)·[(a＋a-1)2－3]＝3×6＝18，故选项B正确；因为a＋a-1＝3，所以(+)2＝a＋a-1＋2＝5，且a＞0，所以+＝，故选项C错误；因为a3＋a-3＝18，且a＞0，所以＝a3＋a-3＋2＝20，所以a＝2，故选项D正确．(2)原式＝＝.]√√√ 名师点评指数幂运算的一般原则(1)将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一． [跟进训练]1．(1)已知x<0，y>0，化简得()A．－x2yB．x2yC．－3x2yD．3x2y(2)计算：＋－10(－2)-1＋π0＝________．√(1)B(2)－[(1)由题意得＝＝x2|y|＝x2y.(2)原式＝＋－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.]－ 考点二　指数函数的图象及应用[典例2](1)(多选)已知实数a，b满足等式2022a＝2023b，则下列式子可以成立的是()A．a＝b＝0B．a<b<0C．0<a<bD．0<b<a(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．√(1)ABD(2)[(1)如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故选ABD.(2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图①，两个图象只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图②，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1，得0<a<.综上可知，a的取值范围为.]√√ 名师点评(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)掌握函数y＝f(|x|)，y＝f(x)，y＝|f(x)|的图象之间的变换与联系．(3)定点与渐近线是作图的关键． [跟进训练]2．(1)(2023·枣庄二模)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点的横坐标的取值范围是()A．B．C．D．(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________．√(1)A(2)[－1，1][(1)由图象知函数为减函数，则0＜a＜1，二次函数y＝ax2＋x图象的顶点的横坐标为x＝－，∵0＜a＜1，∴＞，－＜－，即横坐标的取值范围是.故选A.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].][－1，1] 【教师备选资源】在同一平面直角坐标系中，指数函数y＝，二次函数y＝ax2－bx的图象可能是()√B[指数函数y＝图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y＝ax2－bx＝(ax－b)x有零点，0.A，B选项中，指数函数y＝在R上单调递增，故>1，故A错误，B正确．C，D选项中，指数函数y＝在R上单调递减，故0<<1，故C，D错误．故选B.]ABCD 考点三　指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小[典例3](1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为()A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．a＞b＞cD．b＞a＞c(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0(1)D(2)B[(1)由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5．所以b＞a＞c.故选D.(2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故选B.]√√ 【教师备选资源】已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为()A．f(cx)≥f(bx)B．f(cx)≤f(bx)C．f(cx)>f(bx)D．f(cx)＝f(bx)A[根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，则有＝1，即b＝2.又由f(0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x.若x<0，则cx<bx<1，而f(x)在(－∞，1)上单调递减，此时有f(bx)<f(cx)；若x＝0，则cx＝bx＝1，此时有f(bx)＝f(cx)；若x>0，则有1<bx<cx，而f(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时有f(bx)<f(cx)．综上可得f(bx)≤f(cx)．]√ 考向2解简单的指数方程或不等式[典例4](1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为_____．(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是____________．(1)(2)(－3，1)[(1)当a<1时，41-a＝21，解得a＝；当a>1时，2a－(1-a)＝4a-1无解，故a的值为.(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，则2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0.当a≥0时，则<1，0≤a<1.综上，实数a的取值范围是(－3，1)．](－3，1) 考向3指数函数性质的综合应用[典例5](1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2]B．[－2，0)C．(0，2]D．[2，＋∞)(2)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝()A．－2B．－1C．1D．2(3)不等式4x－2x+1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是_________．√√(1，＋∞) (1)D(2)D(3)(1，＋∞)[(1)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝1，解得a≥2.故选D.法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝－在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C.故选D.(2)法一：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2.故选D.法二：f(x)＝＝，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a-1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2.故选D.(3)原不等式可化为a>－4x＋2x+1对x∈R恒成立，令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝＋1≤1，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，∴a>1．] 【教师备选资源】在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域D内单调递增且有界的函数f(x)，即∃M＞0，∀x∈D，|f(x)|≤M.则下列函数中，所有符合上述条件的序号是________．①f(x)＝；②f(x)＝；③f(x)＝；④f(x)＝.③④[对于①，f(x)＝无界，不符合题意；对于②，f(x)＝＝不单调，不符合题意；对于③，f(x)＝＝＝＝1－单调递增，且f(x)∈(－1，1)，则|f(x)|＜1，符合题意；对于④，f(x)＝单调递增，且f(x)∈(0，1)，则|f(x)|＜1，符合题意．]③④ 名师点评(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． [跟进训练]3．(1)(2024·江苏沭阳模拟)设＜＜＜1，那么()A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是___________．√(1)C(2)(－∞，－1][(1)∵＜＜＜1且y＝在R上是减函数，∴0＜a＜b＜1.当0＜a＜1时，指数函数y＝ax在R上是减函数，∴ab＜aa.当0＜a＜1时，幂函数y＝xa在[0，＋∞)上单调递增，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故选C.(2)∵y＝是减函数，且f(x)的值域是，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，则a>0且＝2，解得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].](－∞，－1] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(十二)指数与指数函数 THANKS